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四、一般项级数敛散性的判别

  1. 【1987-12-3 分】 设常数 k>0k>0，则级数 ∑n=1∞(−1)nk+nn2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{k+n}{n^{2}}（ ） A. 发散    B. 绝对收敛    C. 条件收敛    D. 收敛与发散与 kk 的值有关

  2. 【1990-123-3 分】 设 aa 为常数，则级数 ∑n=1∞[sin⁡(na)n2−1n]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{\sin (n a)}{n^{2}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right]（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与 aa 的取值有关

  3. 【1991-4-3 分】 设 0≤an<1n(n=1,2,⋯ )\displaystyle 0 \leq a_{n}<\frac{1}{n}(n=1,2,\cdots)，则下列级数中肯定收敛的是（ ）. A. ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} B. ∑n=1∞(−1)nan\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n} C. ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_{n}} D. ∑n=1∞(−1)nan2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}^{2}

  4. 【1992-12-3 分】 级数 ∑n=1∞(−1)n(1−cos⁡αn)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)（α>0\displaystyle \alpha>0）（ ） A. 发散    B. 条件收敛    C. 绝对收敛    D. 敛散性与 α\alpha 有关

  5. 【1994-124-3 分】 设常数 λ>0\lambda>0，且级数 ∑n=1∞an2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} 收敛，则级数 ∑n=1∞(−1)n⋅∣an∣n2+λ\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \frac{|a_{n}|}{\sqrt{n^{2}+\lambda}}（ ） A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与 λ\lambda 有关

  6. 【1995-12-3 分】 设 un=(−1)nln⁡(1+1n)\displaystyle u_{n}=(-1)^{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)，则级数（ ）. A. ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 与 ∑n=1∞un2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2} 都收敛 B. ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 与 ∑n=1∞un2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2} 都发散 C. ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 收敛，而 ∑n=1∞un2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2} 发散 D. ∑n=1∞un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} 发散，而 ∑n=1∞un2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2} 收敛

  7. 【1996-12-3 分】 设 an>0(n=1,2,⋯ )\displaystyle a_{n}>0(n=1,2,\cdots)，且 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 收敛，常数 λ∈(0,π2)\displaystyle \lambda \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)，则级数 ∑n=1∞(−1)n(ntan⁡λn)a2n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(n \tan \frac{\lambda}{n}\right) a_{2 n}（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性与 λ\lambda 有关

  8. 【2002-1-3 分】 设 un≠0(n=1,2,3,⋯ )\displaystyle u_{n} \ne 0(n=1,2,3, \cdots)，且 lim⁡n→∞nun=1\displaystyle \lim _{n \to \infty} \frac{n}{u_{n}}=1，则级数 ∑n=1∞(−1)n+1(1un+1un+1)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)（ ） A. 发散 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 收敛性根据所给条件不能判定

  9. 【2009-1-4 分】 设有两个数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\}，若 lim⁡n→∞an=0\displaystyle \lim _{n \to \infty} a_{n}=0，则（ ） A. 当 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} 收敛时，∑n=1∞anbn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n} 收敛 B. 当 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} 发散时，∑n=1∞anbn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n} 发散 C. 当 ∑n=1∞∣bn∣\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|b_{n}| 收敛时，∑n=1∞an2bn2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2} 收敛 D. 当 ∑n=1∞∣bn∣\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|b_{n}| 发散时，∑n=1∞an2bn2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} b_{n}^{2} 发散

  10. 【2012-3-4 分】 已知级数 ∑n=1∞(−1)nnsin⁡1nα\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sqrt{n} \sin \frac{1}{n^{\alpha}} 绝对收敛，∑n=1∞(−1)nn2−α\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2-\alpha}} 条件收敛，则（ ） A. 0<α≤12\displaystyle 0 < \alpha \leq \frac{1}{2} B. 12<α≤1\displaystyle \frac{1}{2} < \alpha \leq 1 C. 1<α≤32\displaystyle 1 < \alpha \leq \frac{3}{2} D. 32<α<2\displaystyle \frac{3}{2} < \alpha < 2

  11. 【2013-3-4 分】 设 {an}\{a_{n}\} 为正项数列，下列选项正确的是（ ） A. 若 an>an+1a_{n}>a_{n+1}，则 ∑n=1∞(−1)n−1an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n} 收敛 B. 若 ∑n=1∞(−1)n−1an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n} 收敛，则 an>an+1a_{n}>a_{n+1} C. 若 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 收敛，则存在常数 p>1p>1，使 lim⁡n→∞npan\displaystyle \lim _{n \to \infty} n^{p} a_{n} 存在 D. 若存在常数 p>1p>1，使 lim⁡n→∞npan\displaystyle \lim _{n \to \infty} n^{p} a_{n} 存在，则 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 收敛

  12. 【2016-3-4 分】 级数 ∑n=1∞(1n−1n+1)sin⁡(n+k)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \sin (n+k)（ ） A. 绝对收敛    B. 条件收敛    C. 发散    D. 收敛性与 kk 有关

  13. 【2019-1-4 分】 设 {un}\{u_{n}\} 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ） A. ∑n=1∞unn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_{n}}{n} B. ∑n=1∞(−1)n1un\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{u_{n}} C. ∑n=1∞(1−unun+1)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right) D. ∑n=1∞(un+12−un2)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}^{2}-u_{n}^{2}\right)

  14. 【2023-13-5 分】 已知 an<bna_{n}<b_{n}，且级数 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 与 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} 都收敛，则“级数 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 绝对收敛”是“级数 ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} 绝对收敛”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不必要也不充分条件

  15. 【2025-1-5 分】 已知级数：① ∑n=1∞sin⁡n3πn2+1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{n^{3} \pi}{n^{2}+1}；② ∑n=1∞(−1)n(1n23−tan⁡1n23)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}-\tan \frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}\right)，则（ ） A. ①与②均条件收敛 B. ①条件收敛，②绝对收敛 C. ①绝对收敛，②条件收敛 D. ①与②均绝对收敛

  16. 【2025-3-5 分】 已知 kk 为常数，则级数 ∑n=1∞(−1)n[1n−ln⁡(1+kn2)]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left[\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)\right]（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性与 kk 有关