三、正项级数敛散性的判别

（一）具体级数敛散性的判别

10. 【1988-4-3 分】 讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) !}{n^{n+1}}$ 的敛散性.

11. 【2015-3-4 分】 下列级数中发散的是（ ） A. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}$ B. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ C. $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}+1}{\ln n}$ D. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}}$

12. 【2017-3-4 分】 若级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left[\sin \frac{1}{n}-k \ln \left(1-\frac{1}{n}\right)\right]$ 收敛，则 $\displaystyle k=$（ ） A. 1    B. 2    C. - 1    D. - 2

（二）抽象级数敛散性的讨论

13. 【1996-4-3 分】 下述各选项正确的是（ ）. A. 若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|u_{n} v_{n}|$ 收敛 B. 若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|u_{n} v_{n}|$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛 C. 若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle u_{n} \geq \frac{1}{n}$ D. 若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，且 $\displaystyle u_{n} \geq v_{n}(n=1,2, \cdots)$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 发散

14. 【1998-1-5 分】 设正项数列 $\{a_{n}\}$ 单调递减，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散，试问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{a_{n}+1}\right)^{n}$ 是否收敛？并说明理由.

15. 【2004-1-4 分】 设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，下列结论中正确的是（ ） A. 若 $\displaystyle \lim _{n \to \infty} n a_{n}=0$，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛 B. 若存在非零常数 $\lambda$，使得 $\displaystyle \lim _{n \to \infty} n a_{n}=\lambda$，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散 C. 若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \to \infty} n^{2} a_{n}=0$ D. 若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，则存在非零常数 $\lambda$，使得 $\displaystyle \lim _{n \to \infty} n a_{n}=\lambda$

（三）抽象级数敛散性的证明

16. 【1988-4-3 分】 已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}$ 都收敛，试证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛.

17. 【1994-12-8 分】 设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的某一邻域内具有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=0$，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛.

18. 【1997-1-8 分】 设 $\displaystyle a_{1}=2$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\right)(n=1,2, \cdots)$，证明： (1) $\displaystyle \lim _{n \to \infty} a_{n}$ 存在； (2) 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 收敛.

19. 【1999-1-7 分】 设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x ~d x$，求： (1) 求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(a_{n}+a_{n+2})$ 的值； (2) 试证：对任意的常数 $\lambda>0$，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}$ 收敛.

20. 【2004-1-11 分】 设有方程 $\displaystyle x^{n}+n x-1=0$，其中 $n$ 为正整数.证明此方程存在唯一正实根 $x_{n}$，并证明当 $\alpha>1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{\alpha}$ 收敛.

21. 【2014-1-10 分】 设数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ 满足 $\displaystyle 0<a_{n}<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle 0<b_{n}<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \cos a_{n}-a_{n}=\cos b_{n}$，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛. (1) 证明 $\displaystyle \lim _{n \to \infty} a_{n}=0$； (2) 证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ 收敛.

22. 【2016-1-10 分】 已知函数 $f(x)$ 可导，且 $\displaystyle f(0)=1$，$\displaystyle 0<f'(x)<\frac{1}{2}$，设数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})(n=1,2,\cdots)$，证明： (1) 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(x_{n+1}-x_{n})$ 绝对收敛； (2) $\displaystyle \lim _{n \to \infty} x_{n}$ 存在，且 $\displaystyle 0<\lim _{n \to \infty} x_{n}<2$.