五、微分方程的应用

小题

（一）利用微分学建模列方程

1. 【1998-2-5 分】 利用代换 $\displaystyle y=\dfrac{u}{cos x}$ 将方程 $\displaystyle y^{\prime \prime} cos x-2 y' sin x+3 y cos x=e^{x}$化简,并求出原方程的通解.

（二）利用物理规律建模列方程

1. 【1995-3-5 分】 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度 $\displaystyle v|_{t=0}=v_{0}$,已知 阻力和速度成正比(比例常数为1),问t 为多少时此质点的速度为 $\displaystyle \dfrac{v_{0}}{3}$?并求到此时刻该 质点所经过的路程.

2. 【1997-1-5 分】 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的, 设该人群的总人数为 N ,在 $\displaystyle t=0$ 时刻已掌握新技术的人数为 $\displaystyle x_{0}$,在任意时刻 t 已掌握 新技术人数为 $\displaystyle x(t)$ (将 $\displaystyle x(t)$ 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌 握新技术人数之积成正比,比例常数 $\displaystyle k>0$,求 $\displaystyle x(t)$.

大题

（一）利用微分学建模列方程

1. 【1991-12-8 分】 在 x 轴上方求一条凹曲线,其上任一点 $\displaystyle P(x, y)$ 处的曲率等 于此曲线在该点的法线段 $\displaystyle P Q$ 长度的倒数( Q 是法线与 x 轴的交点),且曲线在点(1,1) 处 的切线与 x 轴平行.

2. 【1993-12-6 分】 设物体 A 从点(0,1) 出发,以速度大小为常数 v 沿 y 轴正 向运动. 物体 B 从点( 1,0) − 与 A 同时出发,其速度大小为 $\displaystyle 2 v$,方向始终指向 A . 试 建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.

3. 【1995-3-8 分】 设曲线 L 的方程为 $\displaystyle y=f(x)$,且 $\displaystyle y^{\prime \prime}>0$,又 $\displaystyle M T$, $\displaystyle M P$ 分别为该曲线在点 $\displaystyle M(x_{0}, y_{0})$ 处的切线和法线.已知线段 $\displaystyle M P$ 的长度为 $\displaystyle \dfrac{(1+(y_{0}')^{2})^{\frac{3}{2}}}{y_{0}^{\prime \prime}}$(其中 $\displaystyle y_{0}'=y'(x_{0})$, $\displaystyle y_{0}''=y''(x_{0})$),试推导点P 的坐标表达式

4. 【1995-12-7 分】 设曲线 L 位于 $\displaystyle xOy$ 平面的第一象限内, L 上任一点 M 处 的切线与 y 轴总相交,交点记为 A .已知 $\displaystyle |\overline{M A}|=|\overline{O A}|$ 且 L 过点 $\displaystyle (\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2})$ 求 L 的方程.

5. 【1996-12-7 分】 设对任意 $\displaystyle x>0$,曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 上点 $\displaystyle (x, f(x))$ 处的切线在 y 单上的截距等于 $\displaystyle \dfrac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) d t$,求 $\displaystyle f(x)$ 的一般表达式

6. 【1997-1-6 分】 设函数 $\displaystyle f(u)$ 具有二阶连续导数,而 $\displaystyle z=f(e^{x} sin y)$ 满足方程 $\displaystyle \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=e^{2 x} z$,求 $\displaystyle f(u)$

7. 【2000-2-7 分】 某湖泊的水量为 V ,每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为$\displaystyle \dfrac{V}{6}$,入泊内不含 A 的水量为 $\displaystyle \dfrac{V}{6}$,流出湖泊的水量为 $\displaystyle \dfrac{V}{3}$.已知1999年底湖中 A 的含 量为 $\displaystyle 5 m_{0}$,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含 A 污 水的浓度不超过 $\displaystyle \dfrac{m_{0}}{V}$,问至多需经过多少年,湖泊中污染物 A 的含量降至 $\displaystyle m_{0}$ 以内?(注: 设湖水中 A 的浓度是均匀的.)

8. 【2001-2-9 分】 设 L 是一条平面曲线,其上任意一点 $\displaystyle P(x, y)(x>0)$ 到坐标 原点的距离,恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距,且 L 经过点 $\displaystyle (\dfrac{1}{2}, 0)$ (1)试求曲线 L 的方程; (2)求 L 位于第一象限部分的一条切线,使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积 最小.

9. 【2003-2-12 分】 设位于第一象限的曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 过点$\displaystyle (\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{1}{2})$,其上任一P点处的法线与 y 轴的交点为 Q ,且线段 PQ 被 x 轴平分. (1)求曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的方程; (2)已知曲线 $\displaystyle y=sin x$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上的弧长为 l ,试用 l 表示曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 的弧长 S .

10. 【2003-12-12 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数,且 $\displaystyle y' \ne 0$, $\displaystyle x=x(y)$ 是 $\displaystyle y=y(x)$ 的反函数 (1)试将 $\displaystyle x=x(y)$ 所满足的微分方程 $\displaystyle \dfrac{d^{2} x}{~d y^{2}}+(y+sin x)(\dfrac{d x}{~d y})^{3}=0$ 变换为 $\displaystyle y=y(x)$ 调定的微分方程; (2)求变换后的微分方程满足初始条件 $\displaystyle y(0)=0$. $\displaystyle y'(0)=\dfrac{3}{2}$ 的解

11. 【2003-3-9 分】 设 $\displaystyle F(x)=f(x) g(x)$,其中 $\displaystyle f(x)$, $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内 满足以下条件: $\displaystyle f'(x)=g(x)$, $\displaystyle g'(x)=f(x)$,且 $\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f(x)+g(x)=2 e^{x}$. (1)求 $\displaystyle F(x)$ 所满足的一阶微分方程; (2)求出 $\displaystyle F(x)$ 的表达式.

12. 【2004-4-12 分】 设 $\displaystyle f(u, v)$ 具有连续偏导数,且满足 $\displaystyle f_{u}'(u, v)+f_{v}'(u, v)=u v$, 求 $\displaystyle y(x)=e^{-2 x} f(x, x)$ 所满足的一阶微分方程,并求其通解.

13. 【2005-2-12 分】 用变量代换 $\displaystyle x=cos t(0<t<\pi)$ 化简微分方程 $\displaystyle (1-x^{2}) y^{\prime \prime}-x y'+y=0$,并求满足 $\displaystyle y|_{x=0}=1$, $\displaystyle y'|_{x=0}=2$ 的特解｡

14. 【2024-2-12 分】 设 $\displaystyle y(x)$ 为微分方程 $\displaystyle x^{2} y^{\prime \prime}+x y'-9 y=0$ 满足条件 $\displaystyle y|_{x=1}=2$, $\displaystyle y'|_{x=1}=6$ 的解. (1)利用变换$\displaystyle x=e^{t}$将上述方程化为常系数线性方程,并求 $\displaystyle y(x)$: (2)计算$\displaystyle \int_{1}^{2} y(x) \sqrt{4-x^{2}} d x$.

15. 【2006-3-8 分】 在 $\displaystyle xOy$ 坐标平面上,连续曲线 L 过点 $\displaystyle M(1,0)$,其上任意点 $\displaystyle P(x, y)(x \ne 0)$ 处的切线斜率与直线 $\displaystyle O P$ 的斜率之差等于 $\displaystyle ax$(常数 $\displaystyle a>0$). (1)求 L 的方程; (2)当 L 与直线 $\displaystyle y=a x$ 所围成平面图形的面积为 $\displaystyle \dfrac{8}{3}$ 时,确定 a 的值.

16. 【2009-2-12 分】 设 $\displaystyle y=y(x)$ 是区间 $\displaystyle (-\pi, \pi)$ 内过点 $\displaystyle (-\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}, \dfrac{\pi}{\sqrt{2}})$ 的光滑曲 线,当 $\displaystyle -\pi<x<0$ 时,曲线上任一点处的法线都过原点,当 $\displaystyle 0 \le x<\pi$ 时,函数 $\displaystyle y(x)$ 满 足 $\displaystyle y^{\prime \prime}+y+x=0$,求 $\displaystyle y(x)$ 的表达式。

17. 【2010-2-11 分】 设函数由参数方程$\displaystyle \begin{cases}x=2 t+t^{2} & (t>-1) \\ y=\psi(t) & (t>-1)\end{cases}$确定，已知$\displaystyle \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=\dfrac{3}{4(1+t)}$，$\displaystyle \psi(1)=\dfrac{5}{2},\psi'(1)=6$，求$\displaystyle \psi(t)$

18. 【2011-2-10 分】 设函数 $\displaystyle y(x)$ 具有二阶导数,且曲线 $\displaystyle l: y=y(x)$ 与直线 $\displaystyle y=x$ 相切于原点,记 α 为曲线 l 在点 $\displaystyle (x, y)$ 处切线的倾斜角,若 $\displaystyle \dfrac{d \alpha}{d x}=\dfrac{d y}{d x}$ 求 $\displaystyle y(x)$ 的 表达式｡

19. 【2012-1-10 分】 已知曲线$\displaystyle L: \begin{cases}x=f(t) & (0 \le t<\dfrac{\pi}{2}) \\ y=cos t & (0 \le t<\dfrac{\pi}{2})\end{cases}$,其中函数 $\displaystyle f(t)$具有连续导数，$\displaystyle f'(t)>0(0<t<\dfrac{\pi}{2})$，$\displaystyle f(0)=0$。若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为1,求函数 $\displaystyle f(t)$ 的表达式,并求以曲线 L 及 x 轴和 y 轴为边界的区域的面积.

20. 【2014-3-10 分】 设函数 $\displaystyle f(u)$ 具有连续导数,且 $\displaystyle z=f(e^{x} cos y)$ 满足 $cos y \dfrac{\partial z}{\partial x}-sin y \dfrac{\partial z}{\partial y}=\left(4 z+e^{x} cos y\right) e^{x}.$ 若 $\displaystyle f(0)=0$,求 $\displaystyle f(u)$ 的表达式.

21. 【2014-12-10 分】 设函数 $\displaystyle f(u)$ 具有2阶连续导数, $\displaystyle z=f(e^{x} cos y)$ 满足 $\displaystyle \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=(4 z+e^{x} cos y) e^{2 x}$.若 $\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f'(0)=0$,求 $\displaystyle f(u)$ 的表达式.

22. 【2015-13-10 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在定义域 I 上的导数大于0,若对任意的 $\displaystyle x_{0} \in I$, 曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle (x_{0}, f(x_{0}))$ 处切线与直线 $\displaystyle x=x_{0}$ 及 x 轴所围成区域的面积恒为4 且 $\displaystyle f(0)=2$,求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式.

23. 【2017-2-11 分】 点 $\displaystyle P$ 是曲线 $\displaystyle l: y=y(x)$ 上的任意一点，$\displaystyle l$ 在点 $\displaystyle P$ 处的切线交 $\displaystyle y$ 轴于 $\displaystyle (0,Y_{p})$，法线交 $\displaystyle x$ 轴于 $\displaystyle (X_{p},0)$，若 $\displaystyle X_{p}=Y_{p}$，求 $\displaystyle l$ 上点的坐标 $\displaystyle (x,y)$ 满足的方程.

24. 【2020-2-11 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 可导, $\displaystyle f'(x)>0 (x \ge 0)$),已知曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 过 原点 o,曲线上任意一点 M 的切线交 x 轴于 T , $\displaystyle M P\perp x$轴于 P 点,且由MP、曲线、x轴围成面积与 $\displaystyle \triangle MTP$ 面积比为3:2 .求曲线方程.

25. 【2023-2-10 分】 设曲线 $\displaystyle L: y=y(x)(x>e)$ 经过点 $\displaystyle (e^{2}, 0)$, L 上任一点 $\displaystyle P(x, y)$ 到 y 轴的距离等于该点 处的切线在 y 轴上的截距, (1)求 $\displaystyle y(x)$ : (2)在 L 上求一点,使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小,并求此最小面积.

26. 【2023-1-10 分】 设曲线 $\displaystyle y=y(x)(x>0)$ 经过点(1,2),该曲线上任一点 $\displaystyle P(x, y)$ 到 y 轴的距离等于该点 处的切线在 y 轴上的截距, (1)求 $\displaystyle y(x)$ : (2)求函数 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} y(t) d t$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的最大值.

（二）利用积分学建模列方程

1. 【1993-4-8 分】 假设: (1)函数 $\displaystyle y=f(x)(0 \le x<+\infty)$ 满足条件 $\displaystyle f(0)=0$ 和 $\displaystyle 0 \le f(x) \le e^{x}-1$: (2)平行于 y 轴的动直线 $\displaystyle M N$ 与曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 和 $\displaystyle y=e^{x}-1$ 分别交于点 $\displaystyle P_{1}$ 和 $\displaystyle P_{2}$: (3)曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 、直线 $\displaystyle M N$ 与 x 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 $\displaystyle P_{1} P_{2}$ 的长度. 求函数 $\displaystyle y=f(x)$ 的表达式.

2. 【1997-2-8 分】 设曲线 L 的极坐标为 $\displaystyle r=r(\theta)$, $\displaystyle M(r, \theta)$ 为 L 上任一点, $\displaystyle M_{0}(2,0)$ 为 L 上一定点,若极径 $\displaystyle OM_{0}$, $\displaystyle OM$ 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 $\displaystyle M_{0}$, M 两点间弧长值的一半,求曲线 L 的方程.

3. 【1998-3-7 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续,若由曲线 $\displaystyle y=f(x)$,直线 $\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=t(t>1)$ 与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积为 $\displaystyle V(t)=\dfrac{\pi}{3}[t^{2} f(t)-f(1)]$ 试求 $\displaystyle y=f(x)$ 所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件 $\displaystyle y|_{x=2}=\dfrac{2}{9}$ 的解.

4. 【1999-12-8 分】 设函数 $\displaystyle y(x)(x \ge 0)$ 二阶可导且 $\displaystyle y'(x)>0$, $\displaystyle y(0)=1$.过曲 线 $\displaystyle y=y(x)$ 上任意一点 $\displaystyle P(x, y)$ 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围 成的三角形的面积记为 $\displaystyle S_{1}$,区间 $\displaystyle [0, x]$ 上以 $\displaystyle y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $\displaystyle S_{2}$,并 设 $\displaystyle 2 S_{1}-S_{2}$ 恒为1,求此曲线 $\displaystyle y=y(x)$ 的方程.

5. 【2003-2-10 分】 有一平底容器,其内侧壁是由曲线 $\displaystyle x=\varphi(y)(y \ge 0)$ 绕 y 轴 旋转而成的旋转曲面(如图见图，原点O，底面半径2m),容器的底面圆的半径为2m .根据设计要求,当以 $\displaystyle 3 ~m^{3} / min$ 的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以 $\displaystyle \pi m^{2} / min$ 的速率均匀扩大(假设注入液 体前,容器内无液体).

题图：2003-2-10 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_2003_2_10.png） (1)根据 t 时刻液面的面积,写出 t 与 $\displaystyle \varphi(y)$ 之间的关系式; (2)求曲线 $\displaystyle x=\varphi(y)$ 的方程.

6. 【2003-4-9 分】 设 $\displaystyle y=f(x)$ 是第一象限内连接点 $\displaystyle A(0,1)$, $\displaystyle B(1,0)$ 的一段连 续曲线, $\displaystyle M(x, y)$ 为该曲线上任意一点,点 C 为 M 在 x 轴上的投影, o 为坐标原点. 若梯形 $\displaystyle OCMA$ 的面积与曲边三角形 $\displaystyle CBM$ 的面积之和为 $\displaystyle \dfrac{x^{3}}{6}+\dfrac{1}{3}$,求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式.

7. 【2005-2-11 分】

题图：2005-2-11 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_2005_2_11.png）

8. 【2008-2-11 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有连续导数的单调增加函数, 且 $\displaystyle f(0)=1$。对于任意的 $\displaystyle t \in[0,+\infty)$,直线 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=t$,曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 以及 x 轴所 围成曲边梯形绕 x 轴旋转一周生成一旋转体｡若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体 积的2 倍,求函数 $\displaystyle f(x)$ 的表达式｡

9. 【2009-3-10 分】 设曲线 $\displaystyle y=f(x)$,其中 $\displaystyle f(x)$ 是可导函数,且 $\displaystyle f(x)>0$。 已知曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 与直线 $\displaystyle y=0$, $\displaystyle x=1$ 及 $\displaystyle x=t(t>1)$ 所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周 所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 $\displaystyle \pi t$ 倍,求该曲线方程｡

10. 【2021-2-12 分】 函数 $\displaystyle y=y(x)$ 的微分方程 $\displaystyle x y'-6 y=-6$,满足 $\displaystyle y(\sqrt{3})=10$ (I)求 $\displaystyle y(x)$ (II) P 为曲线 $\displaystyle y=y(x)$ 上的一点,曲线在P的法线在 y 轴上的截距为 $\displaystyle I_{y}$。为使 $\displaystyle I_{y}$ 最小,求 P 的坐标。

（三）利用物理规律建模列方程

1. 【1998-12-6 分】 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器 的下沉深度 y (从海平面算起)与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 m, 体积为 B,海水比重为 ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为 $\displaystyle k(k>0)$.试 建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出函数关系式 $\displaystyle y=y(v)$.

2. 【2004-12-11 分】 某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的 瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h . 经测试,减速伞打开后,飞机所受 的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 $\displaystyle k=6.0 \times 10^{6}$ ). 问从着陆点算起,飞机滑 行的最长距离是多少?注:kg 表示千克,km/h表示千米/小时.