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二、高阶微分方程

小题​

（一）可降阶的微分方程的求解​

  1. 【2000-1-3 分】 微分方程 xy′′+3y′=0\displaystyle x y^{\prime \prime}+3 y'=0 的通解为

  2. 【2002-12-3 分】 微分方程 yy′′+y′2=0\displaystyle y y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=0 满足初始条件 y∣x=0=1\displaystyle y|_{x=0}=1 . y′∣x=0=12\displaystyle y'|_{x=0}=\dfrac{1}{2} 的特解是

（二）二阶常系数齐次微分方程的求解​

  1. 【1994-4-5 分】 设函数 y=y(x)\displaystyle y=y(x) 满足相关条件，求广义积分 ∫0+∞y(x)dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y(x) d x

  2. 【1996-3-3 分】 微分方程 y′′+2y′+5y=0\displaystyle y^{\prime \prime}+2 y'+5 y=0 的通解为_

  3. 【2000-2-3 分】 具有特解y1=e−x, y2=2xe−x, y3=3ex\displaystyle y_{1}=e^{-x},\ y_{2}=2 x e^{-x},\ y_{3}=3 e^{x}的3阶常系数齐次线性微分方程是( ) A. y′′′−y′′−y′+y=0\displaystyle y^{\prime \prime \prime}-y''-y'+y=0 B. y′′′+y′′−y′−y=0\displaystyle y^{\prime \prime \prime}+y''-y'-y=0 C. y′′′−6y′′+11y′−6y=0\displaystyle y^{\prime \prime \prime}-6 y''+11 y'-6 y=0 D. y′′′−2y′′−y′+2y=0\displaystyle y^{\prime \prime \prime}-2 y''-y'+2 y=0

  4. 【2001-1-3 分】 设 y=ex(c1sinx+c2cosx)\displaystyle y=e^{x}(c_{1} sin x+c_{2} cos x) ( c1\displaystyle c_{1} , c2\displaystyle c_{2} 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为

  5. 【2008-12-4 分】 在下列微分方程中,以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x\displaystyle y=C_{1} e^{x}+C_{2} cos 2 x+C_{3} sin 2 x ( C1,C2,C3\displaystyle C_{1},C_{2},C_3为任意常数)为通解的是() A. y′′′+y′′−4y′−4y=0\displaystyle y^{\prime \prime \prime}+y''-4 y'-4 y=0 B. y′′′+y′′+4y′+4y=0\displaystyle y^{\prime \prime \prime}+y''+4 y'+4 y=0 C. y′′′−y′′−4y′+4y=0\displaystyle y^{\prime \prime \prime}-y''-4 y'+4 y=0 D. y′′′−y′′+4y′−4y=0\displaystyle y^{\prime \prime \prime}-y''+4 y'-4 y=0

  6. 【2010-2-4 分】 3阶常系数线性齐次微分方程 y′′′−2y′′+y′−2y=0\displaystyle y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y'-2 y=0 的通 解为 y=\displaystyle y=

  7. 【2012-1-4 分】 若函数 f(x)\displaystyle f(x) 满足方程 f′′(x)+f′(x)−2f(x)=0\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+f'(x)-2 f(x)=0 及 f′′(x)+f(x)=2ex\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 e^{x} ,则 f(x)=\displaystyle f(x)=

  8. 【2013-3-4 分】 微分方程 y′′−y′+14y=0\displaystyle y^{\prime \prime}-y'+\dfrac{1}{4} y=0 通解为 y=\displaystyle y=

  9. 【2015-23-4 分】 设函数 y=y(x)\displaystyle y=y(x) 是微分方程 y′′+y′−2y=0\displaystyle y^{\prime \prime}+y'-2 y=0 的解,且在 x=0\displaystyle x=0 处 y(x)\displaystyle y(x) 取得极值3 ,则 y(x)=\displaystyle y(x)=

  10. 【2017-1-4 分】 微分方程 y′′+2y′+3y=0\displaystyle y^{\prime \prime}+2 y'+3 y=0 的通解为 y=\displaystyle y=

  11. 【2020-2-4 分】 设 y=y(x)\displaystyle y=y(x) 满足 y′′+2y′+y=0\displaystyle y^{\prime \prime}+2 y'+y=0,且 y(0)=0\displaystyle y(0)=0, y′(0)=1\displaystyle y'(0)=1 则 ∫0+∞y(x)dx=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y(x) d x=

  12. 【2020-1-4 分】 若函数 f(x)\displaystyle f(x) 满足 f′′(x)+af′(x)+f(x)=0(a>0)\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+a f'(x)+f(x)=0(a>0),且 f(0)=m\displaystyle f(0)=m. f′(0)=n\displaystyle f'(0)=n 则 ∫0+∞f(x)dx=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x=

  13. 【2022-2-5 分】 微分方程 y′′′−2y′′+5y′=0\displaystyle y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+5 y'=0 的通解 y(x)=\displaystyle y(x)=

  14. 【2025-2-5 分】 如果对微分方程 y′′−2ay′+(a+2)y=0\displaystyle y^{\prime \prime}-2 a y'+(a+2) y=0 的任一解 y(x)\displaystyle y(x), 反常积分 ∫0+∞y(x)dx\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y(x) d x 均收敛,那么 a 的取值范围是( )

（三）二阶常系数非齐次微分方程的求解​

  1. 【1987-3-5 分】 求微分方程 y′′+2y′+y=xex\displaystyle y^{\prime \prime}+2 y'+y=x e^{x} 的通解.

  2. 【1989-3-3 分】 微分方程 y′′−y=ex+1\displaystyle y^{\prime \prime}-y=e^{x}+1 的一个特解应具有的形式(式中 a , b 为常数)是( ). A. aex+b\displaystyle a e^{x}+b    B. axex+b\displaystyle axe^{x}+b C. aex+bx\displaystyle a e^{x}+b x    D. axex+bx\displaystyle axe^{x}+b x

  3. 【1990-12-5 分】 求微分方程 y′′+4y′+4y=e−2x\displaystyle y^{\prime \prime}+4 y'+4 y=e^{-2 x} 的通解(一般解).

  4. 【1995-3-3 分】 微分方程 y′′+y=−2x\displaystyle y^{\prime \prime}+y=-2 x 的通解为

  5. 【1996-3-5 分】 求微分方程 y′′+y′=x2\displaystyle y^{\prime \prime}+y'=x^{2} 的通解.

  6. 【1996-12-3 分】 微分方程 y′′−2y′+2y=ex\displaystyle y^{\prime \prime}-2 y'+2 y=e^{x} 的通解为

  7. 【1999-12-3 分】 微分方程 y′′−4y=e2x\displaystyle y^{\prime \prime}-4 y=e^{2 x} 的通解为

  8. 【2004-2-4 分】 微分方程 y′′+y=x2+1+sinx\displaystyle y^{\prime \prime}+y=x^{2}+1+sin x 的特解形式可设为( ). A. y∗=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)\displaystyle y^{*}=a x^{2}+b x+c+x(A sin x+B cos x) B. y∗=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)\displaystyle y^{*}=x\left(a x^{2}+b x+c+A sin x+B cos x\right) C. y∗=ax2+bx+c+Asinx\displaystyle y^{*}=a x^{2}+b x+c+A sin x D. y∗=ax2+bx+c+Acosx\displaystyle y^{*}=a x^{2}+b x+c+A cos x

  9. 【2006-2-4 分】 函数 y=C1ex+c2e−2x+xex\displaystyle y=C_{1} e^{x}+c_{2} e^{-2 x}+x e^{x} 满足的一个微分方程是( ) A. y′′−y′−2y=3xex\displaystyle y''-y'-2 y=3 x e^{x} B. y′′−y′−2y=3ex\displaystyle y''-y'-2 y=3 e^{x} C. y′′+y′−2y=3xex\displaystyle y''+y'-2 y=3 x e^{x} D. y′′+y′−2y=3ex\displaystyle y''+y'-2 y=3 e^{x}

  10. 【2007-12-4 分】 二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′−4y′+3y=2e2x\displaystyle y^{\prime \prime}-4 y'+3 y=2 e^{2 x} 的通 解为 y=\displaystyle y=

  11. 【2009-1-4 分】 若二阶常系数线性齐次微分方程 y′′+ay′+by=0\displaystyle y^{\prime \prime}+a y'+b y=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex\displaystyle y=(C_{1}+C_{2} x) e^{x},则非齐次方程 y′′+ay′+by=x\displaystyle y^{\prime \prime}+a y'+b y=x 满足条件 y(0)=2\displaystyle y(0)=2, y′(0)=0\displaystyle y'(0)=0 的解为 y=\displaystyle y=

  12. 【2011-2-4 分】 微分方程 y′′−λ2y=eλx+e−λx(λ>0)\displaystyle y^{\prime \prime}-\lambda^{2} y=e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}(\lambda>0) 的特解形式为 ( ) A. a(eλx+e−λx)\displaystyle a\left(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}\right) B. ax(eλx+e−λx)\displaystyle ax\left(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}\right) C. x(aeλx+be−λx)\displaystyle x\left(a e^{\lambda x}+b e^{-\lambda x}\right) D. x2(aeλx+be−λx)\displaystyle x^{2}\left(a e^{\lambda x}+b e^{-\lambda x}\right)

  13. 【2015-1-4 分】 设 y=12e2x+(x−13)ex\displaystyle y=\dfrac{1}{2} e^{2 x}+(x-\dfrac{1}{3}) e^{x} 是二阶常系数非齐次线性数 分方程 y′′+ay′+by=cex\displaystyle y^{\prime \prime}+a y'+b y=c e^{x} 的一个特解,则() A. a=−3,b=2,c=−1\displaystyle a=-3,b=2,c=-1    B. a=3,b=2,c=−1\displaystyle a=3,b=2,c=-1 C. a=−3,b=2,c=1\displaystyle a=-3,b=2,c=1    D. a=3,b=2,c=1\displaystyle a=3,b=2,c=1

  14. 【2017-2-4 分】 微分方程 y′′−4y′+8y=e2x(1+cos2x)\displaystyle y^{\prime \prime}-4 y'+8 y=e^{2 x}(1+cos 2 x) 的特解可设为 y∗=\displaystyle y^{*}= ( ) A. Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)\displaystyle A e^{2 x}+e^{2 x}(B cos 2 x+C sin 2 x) B. Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)\displaystyle A x e^{2 x}+e^{2 x}(B cos 2 x+C sin 2 x) C. Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)\displaystyle A e^{2 x}+x e^{2 x}(B cos 2 x+C sin 2 x) D. Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)\displaystyle A x e^{2 x}+x e^{2 x}(B cos 2 x+C sin 2 x)

  15. 【2023-23-5 分】 已知微分方程 y′′+ay′+by=0\displaystyle y^{\prime \prime}+a y'+b y=0 的解在 (−∞,+∞)\displaystyle (-\infty,+\infty) 上有界,则 a , b 的取值范围为(). A. a<0,b>0\displaystyle a<0,b>0    B. a>0,b>0\displaystyle a>0,b>0 C. a=0,b>0\displaystyle a=0,b>0    D. a=0,b<0\displaystyle a=0,b<0

（四）欧拉方程的求解​

  1. 【2004-1-4 分】 欧拉方程 x2d2ydx2+4xdydx+2y=0(x>0)\displaystyle x^{2} \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 x \dfrac{d y}{d x}+2 y=0(x>0) 的通解为

  2. 【2021-1-5 分】 欧拉方程 x2y′′+xy′−4y=0\displaystyle x^{2} y^{\prime \prime}+x y'-4 y=0 满足条件 y(1)=1\displaystyle y(1)=1, y′(1)=2\displaystyle y'(1)=2 的 解为 y=\displaystyle y=

大题​

（一）可降阶的微分方程的求解​

  1. 【1998-2-8 分】 设 y=y(x)\displaystyle y=y(x) 是一凸的连续曲线,其上任意一点 (x,y)\displaystyle (x, y) 处的曲率为 11+(y′)2\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{1+(y')^{2}}} ,且此曲线上的点处的切线方程为 y=x+1\displaystyle y=x+1 ,求该曲线的方程,并求函数 y=y(x)\displaystyle y=y(x) 的极值.

  2. 【2006-12-10 分】 设函数 f(u)\displaystyle f(u) 在 (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) 内具有二阶导数,且 z=f(x2+y2)\displaystyle z=f(\sqrt{x^{2}+y^{2}}) 满足等式 ∂2z∂x2+∂2z∂y2=0\displaystyle \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0 (1)验证 f′′(u)+f′(u)u=0\displaystyle f''(u)+\dfrac{f'(u)}{u}=0 (2)若 f(1)=0\displaystyle f(1)=0 , f′(1)=1\displaystyle f'(1)=1 ,求函数 f(u)\displaystyle f(u) 的表达式.

  3. 【2007-2-10 分】 求微分方程 y′′(x+y′2)=y′\displaystyle y^{\prime \prime}(x+y^{\prime 2})=y' 满足初始条件 y(1)=y′(1)=1\displaystyle y(1)=y'(1)=1 的特解｡

  4. 【2009-2-10 分】 设非负函数 y=y(x)(x≥0)\displaystyle y=y(x)(x \ge 0) 满足微分方程 xy′′−y′+2=0\displaystyle x y^{\prime \prime}-y'+2=0 , 当曲线 y=y(x)\displaystyle y=y(x) 过原点时,其与直线 x=1\displaystyle x=1 及 y=0\displaystyle y=0 围成平面区域 D 的面积为2 ,求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积｡

（二）二阶常系数齐次微分方程的求解​

  1. 【2016-1-10 分】 设函数 y(x)\displaystyle y(x) 满足方程 y′′+2y′+ky=0\displaystyle y^{\prime \prime}+2 y'+k y=0,其中 0<k<1\displaystyle 0<k<1. (1)证明:反常积分 J=∫0+∞y(x)dx\displaystyle J=\int_{0}^{+\infty} y(x) d x 收敛 (2)若 y(0)=1\displaystyle y(0)=1, y′(0)=1\displaystyle y'(0)=1,求 J=∫0+∞y(x)dx\displaystyle J=\int_{0}^{+\infty} y(x) d x

  2. 【2020-3-10 分】 设函数 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 满足 y′′+2y′+5y=0\displaystyle y^{\prime \prime}+2 y'+5 y=0 且 f(0)=1,f′(0)=−1\displaystyle f(0)=1, f'(0)=-1 (1)求 f(x)\displaystyle f(x) 的表达式; (2)设 an=∫nπ+∞f(x)dx\displaystyle a_{n}=\int_{n \pi}^{+\infty} f(x) d x,求 ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}

（三）二阶常系数非齐次微分方程的求解​

  1. 【1987-12-8 分】 求微分方程 y′′′+6y′′+(9+a2)y′=1\displaystyle y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}+(9+a^{2}) y'=1 的通解,其中常数 a>0\displaystyle a>0

  2. 【1988-123-8 分】 设函数 y=y(x)\displaystyle y=y(x) 满足微分方程 y′′−3y′+2y=2ex\displaystyle y^{\prime \prime}-3 y'+2 y=2 e^{x},且 图形在点(0,1) 处的切线与曲线 y=x2−x+1\displaystyle y=x^{2}-x+1 在该点的切线重合,求函数 y=y(x)\displaystyle y=y(x).

  3. 【1990-3-10 分】 求微分方程 y′′+4y′+4y=eax\displaystyle y^{\prime \prime}+4 y'+4 y=e^{a x} 的通解,其中 a 为实数.

  4. 【1991-3-9 分】 求微分方程 y′′+y=x+cosx\displaystyle y^{\prime \prime}+y=x+cos x 的通解.

  5. 【1992-3-9 分】 求微分方程 y′′−3y′+2y=xex\displaystyle y^{\prime \prime}-3 y'+2 y=x e^{x} 的通解.

  6. 【1992-12-6 分】 求微分方程 y′′+2y′−3y=e−3x\displaystyle y^{\prime \prime}+2 y'-3 y=e^{-3 x} 的通解.

  7. 【1993-3-9 分】 设二阶常系数线性微分方程 y′′+αy′+βy=γex\displaystyle y^{\prime \prime}+\alpha y'+\beta y=\gamma e^{x} 的一个特 解为 y∗=e2x+(1+x)ex\displaystyle y^{*}=e^{2 x}+(1+x) e^{x}. 试确定常数 α , β ,γ ,并求该方程的通解.

  8. 【1994-3-9 分】 求微分方程 y′′+a2y=sinx\displaystyle y^{\prime \prime}+a^{2} y=sin x 的通解,其中常数 a>0\displaystyle a>0.

  9. 【2000-3-6 分】 求微分方程 y′′−2y′−e2x=0\displaystyle y^{\prime \prime}-2 y'-e^{2 x}=0 满足条件 y(0)=1\displaystyle y(0)=1 . y′(0)=1\displaystyle y'(0)=1 的解.

  10. 【2010-1-10 分】 求微分方程 y′′−3y′+2y=2xex\displaystyle y^{\prime \prime}-3 y'+2 y=2 x e^{x} 的通解.

  11. 【2012-23-10 分】 已知函数 f(x)\displaystyle f(x) 满足方程 f′′(x)+f′(x)−2f(x)=0\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+f'(x)-2 f(x)=0 及 f′′(x)+f(x)=2ex\displaystyle f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 e^{x} (Ⅰ)求 f(x)\displaystyle f(x) 的表达式: (Ⅱ)求曲线 y=f(x2)∫0xf(−t2)dt\displaystyle y=f(x^{2}) \int_{0}^{x} f(-t^{2}) d t 的拐点｡

  12. 【2016-2-10 分】 已知 y1=ex\displaystyle y_{1}=e^{x}, y2=xex\displaystyle y_{2}=x e^{x} 是二阶微分方程 (2x−1)y′′−(2x+1)y′+2y=0\displaystyle (2 x-1) y^{\prime \prime}-(2 x+1) y'+2 y=0 的两个解,若 u(−1)=e\displaystyle u(-1)=e, u(0)=1\displaystyle u(0)=1,求 ux\displaystyle u x,并写出该微分方程的通解.