六、泰勒中值定理

大题

【1996-12-8 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有二阶导数，且满足条件 $\displaystyle |f(x)| \le a$ ， $\displaystyle |f''(x)| \le b$ ，其中 $\displaystyle a,b$ 都是非负常数， $\displaystyle c$ 是 $\displaystyle (0,1)$ 内的任意一点，证明：

|f'(c)| ≤2 a+\dfrac{b}{2}

【1999-2-8 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有三阶连续导数，且 $\displaystyle f(-1)=0$ ， $\displaystyle f(1)=1$ ， $\displaystyle f'(0)=0$ ，证明：在开区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使 $\displaystyle f'''(\xi)=3$ 。
【2001-1-7 分】 设 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 内具有二阶连续导数且 $\displaystyle f''(x) \ne 0$ ，试证： (1)对于 $\displaystyle (-1,1)$ 内的任一 $\displaystyle x \ne 0$ ，存在唯一的 $\displaystyle \theta(x) \in(0,1)$ ，使 $\displaystyle f(x)=f(0)+x f'(\theta(x) x)$ 成立； (2) $\displaystyle \lim _{x \to 0} \theta(x)=\dfrac{1}{2}$ 。
【2001-2-8 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-a,a](a>0)$ 上具有二阶连续导数， $\displaystyle f(0)=0$ ， (1)写出 $\displaystyle f(x)$ 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在 $\displaystyle [-a,a]$ 上至少存在一点 $\displaystyle \eta$ ，使

a^{3} f''(\eta)=3 \int_{-a}^{a} f(x) d x

【2023-123-12 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a,a]$ 上具有2 阶连续导数，证明： (1)若 $\displaystyle f(0)=0$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in(-a,a)$ ，使得

f''(\xi)=\dfrac{1}{a^{2}}[f(a)+f(-a)]

(2)若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-a,a)$ 内取得极值，则存在 $\displaystyle \eta \in(-a,a)$ ，使得

|f''(\eta)| ≥\dfrac{1}{2 a^{2}}|f(a)-f(-a)|

【2024-123-12 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 具有二阶导数，且 $\displaystyle f'(0)=f'(1)$ ， $\displaystyle |f''(x)| \le 1$ 。证明:(1)当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时，有

|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| ≤\dfrac{x(1-x)}{2}

(2)

\left|\int_{0}^{1} f(x) d x-\dfrac{f(0)+f(1)}{2}\right| ≤\dfrac{1}{12}