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五、双中值问题

大题​

（一）具有轮换对称性且两点互不相同​

  1. 【2005-12-12 分】 已知函数 f(x)\displaystyle f(x) 在[0,1]\displaystyle [0,1] 上连续，在(0,1)\displaystyle (0,1) 内可导，且 f(0)=0\displaystyle f(0)=0，f(1)=1\displaystyle f(1)=1。证明： (1)存在 ξ∈(0,1)\displaystyle \xi \in(0,1)，使得 f(ξ)=1−ξ\displaystyle f(\xi)=1-\xi； (2)存在两个不同的点 η,ζ∈(0,1)\displaystyle \eta,\zeta \in(0,1)，使得 f′(η)f′(ζ)=1\displaystyle f'(\eta) f'(\zeta)=1。

  2. 【2010-2-10 分】 设函数 f(x)\displaystyle f(x) 在闭区间[0,1]\displaystyle [0,1]上连续，在开区间(0,1)\displaystyle (0,1)内可导，且 f(0)=0, f(1)=13\displaystyle f(0)=0,\ f(1)=\dfrac{1}{3}，证明：存在 ξ∈(0,12), η∈(12,1)\displaystyle \xi \in\left(0, \dfrac{1}{2}\right),\ \eta \in\left(\dfrac{1}{2}, 1\right) 使得 f′(ξ)+f′(η)=ξ2+η2\displaystyle f'(\xi)+f'(\eta)=\xi^{2}+\eta^{2}。

（二）不具备轮换对称性也没有要求互不相同​

  1. 【1998-4-6 分】 设函数 f(x)\displaystyle f(x) 在 [a,b]\displaystyle [a,b] 上连续，在 (a,b)\displaystyle (a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)=1\displaystyle f(a)=f(b)=1，试证存在 ξ,η∈(a,b)\displaystyle \xi,\eta \in(a,b)，使得
eη−ξ[f(η)+f′(η)]=1e^{\eta-\xi}[f(\eta)+f'(\eta)]=1
  1. 【1998-3-7 分】 设函数 f(x)\displaystyle f(x) 在 [a,b]\displaystyle [a,b] 上连续，在 (a,b)\displaystyle (a,b) 内可导，且 f′(x)≠0\displaystyle f'(x) \ne 0，试证：存在 ξ,η∈(a,b)\displaystyle \xi,\eta \in(a,b)，使得
f′(ξ)f′(η)=eb−eab−ae−η\dfrac{f'(\xi)}{f'(\eta)}=\dfrac{e^{b}-e^{a}}{b-a} e^{-\eta}