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四、辅助函数的构造

小题​

  1. 【1995-5-5 分】 设 f(x)\displaystyle f(x) 在区间 [a,b]\displaystyle [a,b] 上连续，在 (a,b)\displaystyle (a,b) 内可导，证明：在 (a,b)\displaystyle (a,b) 内至少存在一点 ξ\displaystyle \xi，使
bf(b)−af(a)b−a=f(ξ)+ξf′(ξ)\dfrac{b f(b)-a f(a)}{b-a}=f(\xi)+\xi f'(\xi)

大题​

  1. 【1995-12-8 分】 设函数 f(x)\displaystyle f(x) 和 g(x)\displaystyle g(x) 在 [a,b]\displaystyle [a,b] 上存在二阶导数，并且 g′′(x)≠0\displaystyle g''(x) \ne 0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0\displaystyle f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证： (1)在开区间 (a,b)\displaystyle (a,b) 内 g(x)≠0\displaystyle g(x) \ne 0； (2)在开区间 (a,b)\displaystyle (a,b) 内至少存在一点 ξ\displaystyle \xi 使
f(ξ)g(ξ)=f′′(ξ)g′′(ξ)\dfrac{f(\xi)}{g(\xi)}=\dfrac{f''(\xi)}{g''(\xi)}
  1. 【1996-4-6 分】 设 f(x)\displaystyle f(x) 在区间[0,1]\displaystyle [0,1] 上可微，且满足条件
f(1)=2∫012xf(x)dxf(1)=2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) d x

试证：存在 ξ∈(0,1)\displaystyle \xi \in(0,1) 使 f(ξ)+ξf′(ξ)=0\displaystyle f(\xi)+\xi f'(\xi)=0。

  1. 【1998-12-8 分】 设 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 是区间[0,1]\displaystyle [0,1]上任一非负连续函数。 (1)试证存在 x0∈(0,1)\displaystyle x_{0} \in(0,1)，使得在区间 [0,x0]\displaystyle [0,x_{0}] 上以 f(x0)\displaystyle f(x_{0}) 为高的矩形的面积等于在区间 [x0,1]\displaystyle [x_{0},1] 上以 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 为曲边的曲边梯形的面积； (2)又设 f(x)\displaystyle f(x) 在(0,1)\displaystyle (0,1)上可导，且 f′(x)>−2f(x)x\displaystyle f'(x)>\dfrac{-2 f(x)}{x}，证明(1)中的 x0\displaystyle x_{0} 是唯一的。

  2. 【1999-3-7 分】 设函数 f(x)\displaystyle f(x) 在区间[0,1]\displaystyle [0,1] 上连续，在(0,1)\displaystyle (0,1) 内可导，且

f(0)=f(1)=0,f(12)=1f(0)=f(1)=0,\quad f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1

试证:(1)存在 η∈(12,1)\displaystyle \eta \in\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)，使 f(η)=η\displaystyle f(\eta)=\eta； (2)对任意实数 λ\displaystyle \lambda，必存在 ξ∈(0,η)\displaystyle \xi \in(0,\eta)，使得 f′(ξ)−λ[f(ξ)−ξ]=1\displaystyle f'(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1。

  1. 【2001-34-6 分】 设 f(x)\displaystyle f(x) 在[0,1]\displaystyle [0,1]上连续，在(0,1)\displaystyle (0,1)内可导，且满足
f(1)=k∫01kxe1−xf(x)dx(k>1)f(1)=k \int_{0}^{\frac{1}{k}} x e^{1-x} f(x) d x\quad(k>1)

证明至少存在一点 ξ∈(0,1)\displaystyle \xi \in(0,1)，使得 f′(ξ)=(1−ξ−1)f(ξ)\displaystyle f'(\xi)=\left(1-\xi^{-1}\right) f(\xi)。

  1. 【2009-123-11 分】 (1)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)\displaystyle f(x) 在 [a,b]\displaystyle [a,b] 上连续，在 (a,b)\displaystyle (a,b) 可导，则存在 ξ∈(a,b)\displaystyle \xi \in(a,b)，使得 f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)\displaystyle f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)。 (2)证明：若函数 f(x)\displaystyle f(x) 在 x=0\displaystyle x=0 处连续，在 (0,δ)(δ>0)\displaystyle (0,\delta)(\delta>0) 内可导，且 lim⁡x→0+f′(x)=A\displaystyle \lim _{x \to 0^{+}} f'(x)=A，则 f+′(0)\displaystyle f_{+}'(0) 存在，且 f+′(0)=A\displaystyle f_{+}'(0)=A。

  2. 【2013-12-10 分】 设奇函数 f(x)\displaystyle f(x) 在[−1,1]\displaystyle [-1,1]上具有2阶导数，且 f(1)=1\displaystyle f(1)=1 证明： (Ⅰ)存在 ξ∈(0,1)\displaystyle \xi \in(0,1)，使得 f′(ξ)=1\displaystyle f'(\xi)=1； (Ⅱ)存在 η∈(−1,1)\displaystyle \eta \in(-1,1)，使得 f′′(η)+f′(η)=1\displaystyle f''(\eta)+f'(\eta)=1。

  3. 【2020-2-11 分】 设函数

f(x)=∫1xet2dtf(x)=\int_{1}^{x} e^{t^{2}} d t

证明 (1)存在 ξ∈(1,2)\displaystyle \xi \in(1,2)，使得 f(ξ)=(2−ξ)eξ2\displaystyle f(\xi)=(2-\xi) e^{\xi^{2}}； (2)存在 η∈(1,2)\displaystyle \eta \in(1,2)，使得 f(2)=ln⁡2⋅ηeη2\displaystyle f(2)=\ln 2 \cdot \eta e^{\eta^{2}}。