三、费马引理与罗尔定理

小题

1. 【1996-5-5 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a,b)$ 内可导，且 $\displaystyle \dfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x=f(b)$。求证：在 $\displaystyle (a,b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$，使 $\displaystyle f'(\xi)=0$。

大题

1. 【1991-12-7 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在$\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle (0,1)$ 内可导，且 $\displaystyle 3 \int_{\frac{2}{3}}^{1} f(x) d x=f(0)$，证明在$\displaystyle (0,1)$ 内存在一点 $\displaystyle c$，使 $\displaystyle f'(c)=0$。

2. 【1993-4-6 分】 假设函数 $\displaystyle f(x)$ 在$\displaystyle [0,1]$上连续，在$\displaystyle (0,1)$内二阶可导，过点 $\displaystyle A(0,f(0))$ 与 $\displaystyle B(1,f(1))$ 的直线与曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 相交于点 $\displaystyle C(c,f(c))$，其中 $\displaystyle 0<c<1$。证明：在$\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$，使 $\displaystyle f''(\xi)=0$。

3. 【1996-3-8 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,b]$ 上具有二阶导数，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$，$\displaystyle f'(a) f'(b)>0$，试证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a,b)$ 和 $\displaystyle \eta \in(a,b)$，使 $\displaystyle f(\xi)=0$ 及 $\displaystyle f''(\eta)=0$。

4. 【2000-1234-8 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,\pi]$ 上连续，且

$$\int_{0}^{\pi} f(x) d x=0,\quad \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x ~d x=0$$

试证：在 $\displaystyle (0,\pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\displaystyle \xi_{1},\xi_{2}$，使 $\displaystyle f(\xi_{1})=f(\xi_{2})=0$。

5. 【2003-3-8 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在$\displaystyle [0,3]$上连续，在$\displaystyle (0,3)$内可导，且 $\displaystyle f(0)+f(1)+f(2)=3$，$\displaystyle f(3)=1$，试证必存在 $\displaystyle \xi \in(0,3)$ 使 $\displaystyle f'(\xi)=0$。

6. 【2007-34-11 分】 设函数 $\displaystyle f(x),g(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a,b)$ 内二阶可导且存在相等的最大值，又 $\displaystyle f(a)=g(a)$，$\displaystyle f(b)=g(b)$，证明： (1)存在 $\displaystyle \eta \in(a,b)$，使得 $\displaystyle f(\eta)=g(\eta)$； (2)存在 $\displaystyle \xi \in(a,b)$，使得 $\displaystyle f''(\xi)=g''(\xi)$。

7. 【2007-12-11 分】 设函数 $\displaystyle f(x),g(x)$ 在 $\displaystyle [a,b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a,b)$ 内具有二阶导数且存在相等的最大值，$\displaystyle f(a)=g(a)$，$\displaystyle f(b)=g(b)$，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a,b)$，使得 $\displaystyle f''(\xi)=g''(\xi)$。

8. 【2010-3-10 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在$\displaystyle [0,3]$上连续，在$\displaystyle (0,3)$内存在二阶导数，且

$$2 f(0)=\int_{0}^{2} f(x) d x=f(2)+f(3)$$

(Ⅰ)证明存在 $\displaystyle \eta \in(0,2)$，使 $\displaystyle f(\eta)=f(0)$； (Ⅱ)证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,3)$，使 $\displaystyle f''(\xi)=0$。

9. 【2017-12-11 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间$\displaystyle [0,1]$ 上具有2 阶导数，且 $\displaystyle f(1)>0$，$\displaystyle \lim _{x \to 0^{+}} \dfrac{f(x)}{x}<0$ 证明： (Ⅰ)方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在区间$\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一个实根； (Ⅱ)方程 $\displaystyle f(x) f''(x)+[f'(x)]^{2}=0$ 在区间$\displaystyle (0,1)$ 内至少存在两个不同实根。