三、简单曲面

小题

1. 【1998-1-5 分】 求直线

$$l:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$$

在平面

$$\pi :x-y+2z-1=0$$

上的投影直线 $l_0$ 的方程，并求 $l_0$ 绕 $y$ 轴旋转一周后所得到的曲面方程。

查看答案与解析

答案： 投影直线为

$$l_0:\{\begin{array}{l}x-y+2z-1=0,\\ x-3y-2z+1=0,\end{array}$$

或参数形式

$$\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}+4t,\\ y=\frac{1}{3}+2t,\\ z=\frac{1}{3}-t.\end{array}$$

旋转曲面方程为

$$4x^2+4z^2=17y^2-2y+1.$$

解析： 直线 $l$ 经过点

$$A=(1,0,1),$$

方向向量为

$$\vec{s}=(1,1,-1).$$

平面 $\pi$ 的法向量为

$$\vec{n}=(1,-1,2).$$

作一个经过直线 $l$ 且垂直于平面 $\pi$ 的平面 ${\pi }_1$。该平面同时包含方向向量 $\vec{s}$ 和法向量 $\vec{n}$，故其法向量可取

$$\begin{array}{rl}{\vec{n}}_1& =\vec{s}\times \vec{n}\\ & =\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -1\\ 1& -1& 2\end{array}\right|\\ & =(1,-3,-2).\end{array}$$

因此 ${\pi }_1$ 的方程为

$$(x-1)-3y-2(z-1)=0,$$

即

$$x-3y-2z+1=0.$$

直线 $l$ 在平面 $\pi$ 上的正投影，就是平面 $\pi$ 与平面 ${\pi }_1$ 的交线，故

$$l_0:\{\begin{array}{l}x-y+2z-1=0,\\ x-3y-2z+1=0.\end{array}$$

联立两平面方程，可取参数形式

$$\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}+4t,\\ y=\frac{1}{3}+2t,\\ z=\frac{1}{3}-t.\end{array}$$

消去参数 $t$，得

$$x=2y,z=\frac{1-y}{2}.$$

直线绕 $y$ 轴旋转时，点到 $y$ 轴的距离保持不变。设旋转后曲面上任一点为 $(x,y,z)$，则

$$\begin{array}{rl}{x}^2+z^2& =(2y{)}^2+{\left(\frac{1-y}{2}\right)}^2\\ & =4y^2+\frac{(1-y{)}^2}{4}\\ & =\frac{17y^2-2y+1}{4}.\end{array}$$

故旋转曲面方程为

$$4x^2+4z^2=17y^2-2y+1.$$

大题

1. 【1994-12-6 分】 已知点 $A$ 与 $B$ 的直角坐标分别为 $(1,0,0)$ 与 $(0,1,1)$，线段 $AB$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成的旋转曲面为 $S$，求由 $S$ 及两平面 $z=0$、$z=1$ 所围成的立体体积。

查看答案与解析

答案：

$$V=\frac{2\pi }{3}.$$

解析： 线段 $AB$ 可参数化为

$$(x,y,z)=(1-t,t,t),0\le t\le 1.$$

由于 $z=t$，故在高度 $z$ 处，线段上的点为

$$(1-z,z,z).$$

该点到 $z$ 轴的距离为旋转截面的半径 $r(z)$，且

$$r^2(z)=(1-z{)}^2+z^2.$$

因此，所围立体在高度 $z$ 处的截面是半径为 $r(z)$ 的圆，其面积为

$$A(z)=\pi r^2(z)=\pi [(1-z{)}^2+z^2].$$

由截面法，体积为

$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_0^{1}A(z)dz\\ & =\pi {\int }_0^1[(1-z{)}^2+z^2]dz\\ & =\pi {\int }_0^1(1-2z+2z^2)dz\\ & =\pi {\left[z-z^2+\frac{2}{3}{z}^3\right]}_0^1\\ & =\frac{2\pi }{3}.\end{array}$$

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2. 【2009-1-11 分】

（Ⅰ）椭球面 $S_1$ 是椭圆

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$$

绕 $x$ 轴旋转而成。$S_2$ 是由过点 $(4,0)$ 且与该椭圆相切的直线绕 $x$ 轴旋转而成，求 $S_1$ 及 $S_2$ 的方程；

（Ⅱ）求 $S_1$ 与 $S_2$ 之间的立体的体积。

查看答案与解析

答案： （Ⅰ）

$$S_1:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2+z^2}{3}=1,$$$$S_2:(x-4{)}^2=4(y^2+z^2).$$

（Ⅱ）

$$V=\pi .$$

解析： （Ⅰ）椭圆绕 $x$ 轴旋转后，原方程中的 $y^2$ 应替换为点到 $x$ 轴距离的平方 $y^2+z^2$，故

$$S_1:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2+z^2}{3}=1.$$

设椭圆上的切点为 $(x_0,y_0)$。椭圆在该点处的切线方程为

$$\frac{x_{0}x}{4}+\frac{y_{0}y}{3}=1.$$

切线经过点 $(4,0)$，故

$$\frac{4x_0}{4}=1,$$

从而

$$x_0=1.$$

又切点在椭圆上，所以

$$\frac{1}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1,$$

于是

$$y_0=\pm \frac{3}{2}.$$

取上方切点 $\left(1,\frac{3}{2}\right)$，相应切线为

$$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1,$$

即

$$y=\frac{4-x}{2}.$$

下方切线关于 $x$ 轴对称，二者绕 $x$ 轴旋转所得曲面相同。旋转后有

$$y^2+z^2={\left(\frac{4-x}{2}\right)}^2,$$

故

$$S_2:(x-4{)}^2=4(y^2+z^2).$$

（Ⅱ）两曲面相切于圆

$$x=1,y^2+z^2=\frac{9}{4}.$$

由 $S_2$ 与 $S_1$ 的右侧椭球面所围成的有限立体，可看成顶点为 $(4,0,0)$、底面位于 $x=1$ 的圆锥，减去椭球在 $1\le x\le 2$ 内的右端部分。

圆锥的高为

$$h=4-1=3,$$

底面半径为

$$R=\frac{3}{2},$$

故圆锥体积为

$$V_{\text{锥}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{9}{4}\cdot 3=\frac{9\pi }{4}.$$

由椭球方程可得，在横坐标 $x$ 处的截面半径平方为

$$r_1^2(x)=3\left(1-\frac{x^2}{4}\right).$$

因此椭球右端部分的体积为

$$\begin{array}{rl}{V}_{\text{帽}}& =\pi {\int }_1^{2}3\left(1-\frac{x^2}{4}\right)dx\\ & =\pi {\left[3x-\frac{x^3}{4}\right]}_1^2\\ & =\frac{5\pi }{4}.\end{array}$$

所以所求体积为

$$V=V_{\text{锥}}-V_{\text{帽}}=\frac{9\pi }{4}-\frac{5\pi }{4}=\pi .$$