一、向量的运算

小题

1. 【1995-12-3 分】 设 $(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=2$，则

$$[(\vec{a}+\vec{b})\times (\vec{b}+\vec{c})]\cdot (\vec{c}+\vec{a})=$$

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答案： $4$。

解析： 利用叉积对加法的分配律，

$$(\vec{a}+\vec{b})\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}.$$

于是

$$\begin{array}{rl}& [(\vec{a}+\vec{b})\times (\vec{b}+\vec{c})]\cdot (\vec{c}+\vec{a})\\ =& (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}+(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{a}+(\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec{c}+(\vec{a}\times \vec{c})\cdot \vec{a}\\ & +(\vec{b}\times \vec{c})\cdot \vec{c}+(\vec{b}\times \vec{c})\cdot \vec{a}.\end{array}$$

叉积与参与叉乘的两个向量均垂直，因此中间四项均为零。又由混合积的轮换性，

$$(\vec{b}\times \vec{c})\cdot \vec{a}=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=2.$$

故原式为

$$2+2=4.$$