一、幂级数的收敛半径与收敛域

39. 【1988-12-3 分】 若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-1{)}^n$ 在 $x=-1$ 处收敛，则此级数在 $x=2$ 处（ ）.

A. 条件收敛    B. 绝对收敛    C. 发散    D. 收敛性不能确定

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答案： B

解析： 令

$$b_n=a_n(-2{)}^n.$$

题设说明级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$ 收敛，因此其通项数列 $\{b_n\}$ 必有界。于是存在常数 $M>0$，使得

$$|b_n|\le M.$$

由 $b_n=a_n(-2{)}^n$，可得

$$|a_n|=\frac{|b_n|}{2^n}\le \frac{M}{2^n}.$$

当 $x=2$ 时，原幂级数化为

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n.$$

而

$$\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|\le M\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}<+\infty ,$$

故该级数绝对收敛，选择 B。

A、C、D 均错误。已知级数在距中心 $x=1$ 为 $2$ 的点 $x=-1$ 处收敛，而 $x=2$ 距中心仅为 $1$，位于收敛区间内部，因此必绝对收敛。

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40. 【1988-12-5 分】 求幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-3{)}^n}{n\cdot 3^n}$ 的收敛域.

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答案： $[0,6)$。

解析： 将级数写成

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{\left(\frac{x-3}{3}\right)}^n.$$

令

$$t=\frac{x-3}{3}.$$

当 $|t|<1$ 时，级数绝对收敛，即

$$\left|\frac{x-3}{3}\right|<1⟺|x-3|<3⟺0<x<6.$$

下面考察端点。

当 $x=0$ 时，$t=-1$，级数化为

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n},$$

这是交错调和级数，收敛。

当 $x=6$ 时，$t=1$，级数化为

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n},$$

即调和级数，发散。

因此收敛域为

$$\boxed{[0,6)}.$$

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41. 【1990-4-5 分】 求级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-3{)}^n}{n^2}$ 的收敛域.

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答案： $[2,4]$。

解析： 设

$$u_n=\frac{(x-3{)}^n}{n^2}.$$

利用根值判别法，得

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|u_n|}=|x-3|\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^{2/n}}=|x-3|.$$

因此，当 $|x-3|<1$ 时级数绝对收敛；当 $|x-3|>1$ 时级数发散。故先得到收敛区间

$$2<x<4.$$

考察端点：

当 $x=2$ 时，级数为

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2},$$

其绝对值级数 $\sum 1/n^2$ 收敛，故绝对收敛。

当 $x=4$ 时，级数为

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2},$$

也收敛。

所以收敛域为

$$\boxed{[2,4]}.$$

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42. 【1992-4-3 分】 级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-2{)}^{2n}}{n{4}^n}$ 的收敛域为 _____.

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答案： $(0,4)$。

解析： 将级数改写为

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{\left(\frac{(x-2{)}^2}{4}\right)}^n.$$

令

$$t=\frac{(x-2{)}^2}{4}\ge 0.$$

级数 $\sum t^n/n$ 在 $|t|<1$ 时收敛，因此

$$\frac{(x-2{)}^2}{4}<1⟺|x-2|<2⟺0<x<4.$$

当 $x=0$ 或 $x=4$ 时，均有 $t=1$，原级数化为调和级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n},$$

故两端点都发散。

因此收敛域为

$$\boxed{(0,4)}.$$

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43. 【1995-12-3 分】 幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n+(-3{)}^n}{x}^{2n-1}$ 的收敛半径 $R=$ _____.

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答案： $\sqrt{3}$。

解析： 考察一般项的绝对值：

$$\left|\frac{n}{2^n+(-3{)}^n}{x}^{2n-1}\right|.$$

由于

$$|2^n+(-3{)}^n|\sim 3^n,$$

故一般项的绝对值与

$$\frac{n}{3^n}|x{|}^{2n-1}$$

同阶。对相邻项使用比值判别法，设

$$u_n=\frac{n}{2^n+(-3{)}^n}{x}^{2n-1},$$

则

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|& =|x{|}^2\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{n}\left|\frac{2^n+(-3{)}^n}{2^{n+1}+(-3{)}^{n+1}}\right|\\ & =\frac{|x{|}^2}{3}.\end{array}$$

因此级数在

$$\frac{|x{|}^2}{3}<1$$

时绝对收敛，即

$$|x|<\sqrt{3}.$$

故幂级数的收敛半径为

$$\boxed{R=\sqrt{3}}.$$

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44. 【1997-1-3 分】 设幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径为3，则幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-1{)}^{n+1}$ 的收敛区间为 _____.

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答案： $(-2,4)$。

解析： 原幂级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$$

的收敛半径为 $3$。逐项求导得到

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1},$$

其收敛半径仍为 $3$。将自变量换为 $x-1$，并再乘以 $(x-1{)}^2$，得到

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-1{)}^{n+1}=(x-1{)}^2\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-1{)}^{n-1}.$$

乘上有限次幂不改变收敛半径，因此该幂级数以 $x=1$ 为中心，收敛半径仍为 $3$。于是

$$|x-1|<3⟺-2<x<4.$$

故收敛区间为

$$\boxed{(-2,4)}.$$

题目只要求收敛区间；端点 $x=-2,4$ 的敛散性不能由已知收敛半径单独确定。

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45. 【2000-1-6 分】 求幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^n+(-2{)}^n}\frac{x^n}{n}$ 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.

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答案： 收敛区间为 $(-3,3)$；在 $x=-3$ 处条件收敛，在 $x=3$ 处发散，因此收敛域为 $[-3,3)$。

解析： 记

$$u_n(x)=\frac{x^n}{n\left[3^n+(-2{)}^n\right]}.$$

由于

$$3^n+(-2{)}^n=3^n\left[1+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n\right],$$

且 $1+(-2/3{)}^n\to 1$，所以系数满足

$$\frac{1}{n\left[3^n+(-2{)}^n\right]}\sim \frac{1}{n{3}^n}.$$

因此该幂级数的收敛半径为

$$R=3,$$

收敛区间为 $(-3,3)$。

下面考察端点。

当 $x=3$ 时，原级数变为

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left[1+(-2/3{)}^n\right]}.$$

因为

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{n[1+(-2/3{)}^n]}}{1/n}=1,$$

故由极限比较判别法，该级数与调和级数同敛散，从而发散。

当 $x=-3$ 时，原级数变为

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n\left[1+(-2/3{)}^n\right]}.$$

将一般项写为

$$\frac{(-1{)}^n}{n}+\frac{(-1{)}^n}{n}\left[\frac{1}{1+(-2/3{)}^n}-1\right].$$

第一部分 $\sum (-1{)}^n/n$ 为收敛的交错调和级数。第二部分满足

$$\left|\frac{(-1{)}^n}{n}\left[\frac{1}{1+(-2/3{)}^n}-1\right]\right|=\frac{1}{n}\frac{(2/3{)}^n}{|1+(-2/3{)}^n|},$$

其绝对值级数由几何级数控制，故绝对收敛。因此 $x=-3$ 时原级数收敛。

另一方面，其绝对值级数的一般项与 $1/n$ 等价，故绝对值级数发散，所以 $x=-3$ 时为条件收敛。

综上，收敛域为

$$\boxed{[-3,3)}.$$

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46. 【2002-3-3 分】 设幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{x}^n$ 的收敛半径分别为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ 与 $\frac{1}{3}$，则幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n^2}{b_n^2}{x}^n$ 的收敛半径为（ ）

A. 5    B. $\frac{5}{3}$    C. $\frac{1}{3}$    D. $\frac{1}{5}$

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答案： A

解析： 设两个幂级数的收敛半径分别为

$$R_a=\frac{\sqrt{5}}{3},R_b=\frac{1}{3}.$$

由收敛半径公式，系数的指数增长率分别为

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{R_a}=\frac{3}{\sqrt{5}},$$$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|b_n|}=\frac{1}{R_b}=3.$$

因此新幂级数系数 $c_n=\frac{a_n^2}{b_n^2}$ 的指数增长率为

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|c_n|}={\left(\frac{3/\sqrt{5}}{3}\right)}^2=\frac{1}{5}.$$

故新幂级数的收敛半径为

$$R=\frac{1}{1/5}=5.$$

所以选择 A。

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47. 【2008-1-4 分】 已知幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x+2{)}^n$ 在 $x=0$ 处收敛，在 $x=-4$ 处发散，则幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-3{)}^n$ 的收敛域为 _____.

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答案： $(1,5]$。

解析： 令

$$t=x+2.$$

原幂级数可写为 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n$。当 $x=0$ 时，$t=2$，级数收敛；当 $x=-4$ 时，$t=-2$，级数发散。

由幂级数的基本性质，若在 $t=2$ 处收敛，则收敛半径满足 $R\ge 2$；若在 $t=-2$ 处发散，则 $R\le 2$。故

$$R=2.$$

对新幂级数 $\sum a_n(x-3{)}^n$，其中心为 $x=3$，收敛半径仍为 $2$，所以内部收敛区间为

$$|x-3|<2⟺1<x<5.$$

考察端点：

• 当 $x=5$ 时，$x-3=2$，对应原级数在 $t=2$ 处，故收敛；
• 当 $x=1$ 时，$x-3=-2$，对应原级数在 $t=-2$ 处，故发散。

因此收敛域为

$$\boxed{(1,5]}.$$

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48. 【2009-3-4 分】 幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{e^n-(-1{)}^n}{n^2}{x}^n$ 的收敛半径为 _____.

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答案： $\frac{1}{e}$。

解析： 记

$$a_n=\frac{e^n-(-1{)}^n}{n^2}.$$

由于

$$e^n-(-1{)}^n=e^n\left[1-{\left(-\frac{1}{e}\right)}^n\right],$$

且 $1-(-1/e{)}^n\to 1$，故

$$\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{e\sqrt[n]{\left|1-(-1/e{)}^n\right|}}{\sqrt[n]{n^2}}⟶e.$$

由柯西—阿达马公式，收敛半径为

$$R=\frac{1}{\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{e}.$$

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49. 【2011-1-4 分】 设数列 $\{a_n\}$ 单调减少，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$，$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k(n=1,2,\cdots )$ 无界，则幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-1{)}^n$ 的收敛域为（ ）

A. $(-1,1]$    B. $[-1,1)$    C. $[0,2)$    D. $(0,2]$

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答案： C

解析： 因为 $a_n\to 0$，所以数列 $\{a_n\}$ 有界。于是当

$$|x-1|<1$$

时，有

$$|a_n(x-1{)}^n|\le M|x-1{|}^n,$$

故原幂级数绝对收敛。

又因为 $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ 无界，所以级数 $\sum a_n$ 发散。因此在 $x=2$ 时，原幂级数化为

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n,$$

该级数发散。

当 $x=0$ 时，原幂级数化为

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n.$$

由于 $a_n$ 单调减少且趋于 $0$，由莱布尼茨判别法，该交错级数收敛。

此外，若收敛半径大于 $1$，则 $x=2$ 位于收敛区间内部，级数应绝对收敛，这与 $\sum a_n$ 发散矛盾。因此收敛半径恰为 $1$。

综上，收敛域为

$$\boxed{[0,2)}.$$

所以选择 C。A、B 的中心位置错误，D 错误地舍去了收敛端点 $x=0$ 并包含了发散端点 $x=2$。

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50. 【2015-1-4 分】 若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 条件收敛，则 $x=\sqrt{3}$ 与 $x=3$ 依次为幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-1{)}^n$ 的（ ）

A. 收敛点，收敛点    B. 收敛点，发散点

C. 发散点，收敛点    D. 发散点，发散点

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答案： B

解析： 由于 $\sum a_n$ 条件收敛，所以它收敛但不绝对收敛。考虑幂级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{t}^n.$$

该级数在 $t=1$ 处收敛，故收敛半径 $R\ge 1$；若 $R>1$，则 $t=1$ 位于收敛区间内部，从而 $\sum a_n$ 应绝对收敛，与题设矛盾。因此其收敛半径为

$$R=1.$$

逐项求导不改变收敛半径，所以

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{t}^{n-1}$$

以及乘以 $t$ 后的

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{t}^n$$

收敛半径仍为 $1$。

令 $t=x-1$。

当 $x=\sqrt{3}$ 时，

$$|t|=\sqrt{3}-1<1,$$

故为收敛点，而且是绝对收敛点。

当 $x=3$ 时，

$$|t|=2>1,$$

位于收敛区间外，故级数发散。

所以依次为“收敛点、发散点”，选择 B。

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51. 【2020-3-4 分】 设幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-2{)}^n$ 的收敛区间为 $(-2,6)$，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x+1{)}^{2n}$ 的收敛区间为（ ）

A. $(-2,6)$    B. $(-3,1)$    C. $(-5,3)$    D. $(-17,15)$

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答案： B

解析： 幂级数 $\sum n{a}_n(x-2{)}^n$ 的中心为 $2$，其收敛区间为 $(-2,6)$，故收敛半径为

$$R=4.$$

乘以系数 $n$ 不改变幂级数的收敛半径，因此幂级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{t}^n$$

关于变量 $t$ 的收敛半径也为 $4$。

在待求级数中令

$$t=(x+1{)}^2.$$

由于 $t\ge 0$，在收敛区间内部应满足

$$(x+1{)}^2<4.$$

即

$$|x+1|<2⟺-3<x<1.$$

所以所求收敛区间为

$$\boxed{(-3,1)}.$$

选择 B。题目未给出原幂级数在端点处的具体敛散信息，故这里只能确定开收敛区间。

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52. 【2020-1-4 分】 设 $R$ 为幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径，$r$ 是实数，则（ ）

A. $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}{r}^{2n}$ 发散时，$|r|\ge R$    B. $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}{r}^{2n}$ 发散时，$|r|\le R$

C. $|r|\ge R$ 时，$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}{r}^{2n}$ 发散    D. $|r|\le R$ 时，$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}{r}^{2n}$ 发散

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答案： A

解析： 当 $|r|<R$ 时，原幂级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{r}^n$$

绝对收敛，即

$$\sum _{n=1}^{\infty }|a_n{r}^n|<+\infty .$$

其偶数项组成的子级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{2n}{r}^{2n}|$$

也必收敛。因此

$$|r|<R⟹\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}{r}^{2n}\text{ 收敛}.$$

取其逆否命题，得到

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}{r}^{2n}\text{ 发散}⟹|r|\ge R.$$

故 A 正确。

B 与上述结论相反；C 错误，因为即使 $|r|\ge R$，原幂级数的发散也可能仅由奇数项造成，偶数项子级数未必发散；D 显然错误，例如 $r=0$ 时该级数恒收敛。

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53. 【2022-1-5 分】 设级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!}{n^n}{e}^{-nx}$ 的收敛域为 $(a,+\infty )$，则 $a=$ _____.

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答案： $-1$。

解析： 记

$$u_n=\frac{n!}{n^n}{e}^{-nx}>0.$$

使用比值判别法，

$$\begin{array}{rl}\frac{u_{n+1}}{u_n}& =\frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}{e}^{-(n+1)x}\cdot \frac{n^n}{n!}{e}^{nx}\\ & ={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n{e}^{-x}.\end{array}$$

因此

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=e^{-1}{e}^{-x}=e^{-(x+1)}.$$

当

$$e^{-(x+1)}<1⟺x>-1$$

时，级数收敛；当 $x<-1$ 时，比值极限大于 $1$，级数发散。

在端点 $x=-1$ 处，

$$u_n=\frac{n!}{n^n}{e}^n.$$

由斯特林公式

$$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n,$$

可得

$$u_n\sim \sqrt{2\pi n},$$

故一般项不趋于 $0$，级数发散。

因此实际收敛域为

$$(-1,+\infty ),$$

从而

$$\boxed{a=-1}.$$