二、对敛散性的运用

2. 【1987-4-2 分】 判断正误：若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$ 均发散，则 $\sum _{n=1}^{\infty }(a_n+b_n)$ 必发散.

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答案： 错误

解析： 两个发散级数逐项相加后可能由于相互抵消而收敛。例如取

$$a_n=\frac{1}{n},b_n=-\frac{1}{n}.$$

则

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$$

与

$$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n=-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$$

均发散，但

$$\sum _{n=1}^{\infty }(a_n+b_n)=\sum _{n=1}^{\infty }0=0$$

收敛。因此原命题错误。

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3. 【2000-1-3 分】 设级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，则必收敛的级数为（ ）

A. $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{u_n}{n}$    B. $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n^2$

C. $\sum _{n=1}^{\infty }\left(u_{2n-1}-u_{2n}\right)$    D. $\sum _{n=1}^{\infty }\left(u_n+u_{n+1}\right)$

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答案： D

解析： 设

$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=S.$$

则去掉首项后的级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n+1}$ 也收敛，故两个收敛级数逐项相加所得的

$$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n+u_{n+1})$$

必收敛。事实上，其前 $N$ 项和为

$$\sum _{n=1}^N(u_n+u_{n+1})=2\sum _{n=1}^N{u}_n-u_1+u_{N+1}⟶2S-u_1.$$

其余选项均不一定成立：

• A：取 $u_n=\frac{(-1{)}^n}{\ln (n+1)}$，则 $\sum u_n$ 收敛，但 $$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{u_n}{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\ln (n+1)}$$ 发散。
• B：取 $u_n=\frac{(-1{)}^{n-1}}{\sqrt{n}}$，则 $\sum u_n$ 收敛，而 $\sum u_n^2=\sum \frac{1}{n}$ 发散。
• C：取 $u_n=\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$，则 $$u_{2n-1}-u_{2n}=\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n},$$ 相应级数发散。

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4. 【2003-3-4 分】 设 $p_n=\frac{a_n+|a_n|}{2}$，$q_n=\frac{a_n-|a_n|}{2}$，$n=1,2,\cdots$，则下列命题正确的是（ ）.

A. 若 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 条件收敛，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }{q}_n$ 都收敛

B. 若 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 绝对收敛，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }{q}_n$ 都收敛

C. 若 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 条件收敛，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }{q}_n$ 的敛散性都不定

D. 若 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 绝对收敛，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{p}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }{q}_n$ 的敛散性都不定

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答案： B

解析： 由定义可知

$$p_n=\max \{a_n,0\}\ge 0,q_n=\min \{a_n,0\}\le 0,$$

且

$$a_n=p_n+q_n,|a_n|=p_n-q_n=p_n+|q_n|.$$

若 $\sum a_n$ 绝对收敛，即 $\sum |a_n|$ 收敛，则

$$0\le p_n\le |a_n|,0\le |q_n|\le |a_n|.$$

由比较判别法，$\sum p_n$ 与 $\sum |q_n|$ 均收敛，因此 $\sum q_n$ 也收敛，故B正确。

若 $\sum a_n$ 条件收敛，则其正项部分之和发散到 $+\infty$，负项部分之和发散到 $-\infty$，即 $\sum p_n$ 与 $\sum q_n$ 均发散，所以A、C错误；D与上述绝对收敛情形矛盾。

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5. 【2004-3-4 分】 设有以下命题： ①若 $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}+u_{2n})$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛 ②若 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n+100}$ 收敛 ③若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 发散 ④若 $\sum _{n=1}^{\infty }(u_n+v_n)$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n,\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 都收敛 则以上命题说法正确的是（ ）.

A. ①②    B. ②③    C. ③④    D. ①④

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答案： B

解析： 逐项判断如下。

①错误。取

$$u_{2n-1}=1,u_{2n}=-1.$$

则 $u_{2n-1}+u_{2n}=0$，故分组后的级数收敛；但原级数的通项不趋于零，因而发散。分组级数收敛不能反推原级数收敛。

②正确。增减有限项不改变级数的敛散性，故收敛级数的尾级数 $\sum u_{n+100}$ 仍收敛。

③正确。设

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=L>1.$$

取 $q$ 满足 $1<q<L$，则充分大的 $n$ 有

$$\frac{u_{n+1}}{u_n}>q>1.$$

此时相邻项最终同号且绝对值至少按比例 $q$ 增长，因此 $u_n$ 不可能趋于零。由级数收敛的必要条件，$\sum u_n$ 发散。

④错误。例如取 $u_n=1$，$v_n=-1$，则 $\sum (u_n+v_n)=\sum 0$ 收敛，而 $\sum u_n$、$\sum v_n$ 均发散。

因此正确的是②③，选B。

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6. 【2005-3-4 分】 设 $a_n>0$，$n=1,2,\cdots$，若 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 发散，$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n$ 收敛，则下列结论正确的是（ ）

A. $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n-1}$ 收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}$ 发散

B. $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n}$ 收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{2n-1}$ 发散

C. $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{2n-1}+a_{2n})$ 收敛

D. $\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{2n-1}-a_{2n}\right)$ 收敛

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答案： D

解析： 将交错级数按相邻两项分组，有

$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{2n-1}-a_{2n}).$$

原交错级数收敛，且分组不改变收敛级数的和，因此D正确。

又因为 $a_n>0$ 且 $\sum a_n$ 发散，所以

$$\sum _{n=1}^{\infty }(a_{2n-1}+a_{2n})=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$$

发散，C错误。

若奇数项级数与偶数项级数中一个收敛、另一个发散，则二者之差不可能收敛，这与

$$\sum (a_{2n-1}-a_{2n})$$

收敛矛盾，故A、B均错误。事实上，此时奇数项级数与偶数项级数都发散，但二者之差收敛。

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7. 【2006-13-4 分】 若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，则级数（ ）

A. $\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|$ 收敛    B. $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$ 收敛

C. $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{a}_{n+1}$ 收敛    D. $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n+a_{n+1}}{2}$ 收敛

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答案： D

解析： 由于 $\sum a_n$ 收敛，其尾级数 $\sum a_{n+1}$ 也收敛，所以

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n+a_{n+1}}{2}=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n+1}$$

必收敛，故D正确。

其余选项错误：

• A：条件收敛级数不绝对收敛，如 $\sum (-1{)}^{n-1}/n$。
• B：取 $a_n=(-1{)}^n/n$，则 $\sum a_n$ 收敛，但 $$\sum (-1{)}^n{a}_n=\sum \frac{1}{n}$$ 发散。
• C：取 $a_n=(-1{)}^{n-1}/\sqrt{n}$，则 $\sum a_n$ 收敛，而 $$a_n{a}_{n+1}=-\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\sim -\frac{1}{n},$$ 故 $\sum a_n{a}_{n+1}$ 发散。

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8. 【2011-3-4 分】 设 $\{u_n\}$ 是数列，则下列命题正确的是（ ）

A. 若 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}+u_{2n})$ 收敛

B. 若 $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}+u_{2n})$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛

C. 若 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}-u_{2n})$ 收敛

D. 若 $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}-u_{2n})$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛

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答案： A

解析： 若 $\sum u_n$ 收敛，记其部分和为

$$S_N=\sum _{k=1}^N{u}_k.$$

则分组级数的前 $N$ 项和为

$$\sum _{n=1}^N(u_{2n-1}+u_{2n})=S_{2N}.$$

因为 $S_N$ 收敛，所以其偶数项子列 $S_{2N}$ 也收敛，故A正确。

B错误：取 $u_{2n-1}=1$、$u_{2n}=-1$，分组级数为零级数，但原级数发散。

C错误：取 $u_n=(-1{)}^{n-1}/n$，则原级数收敛，而

$$u_{2n-1}-u_{2n}=\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n},$$

相应级数发散。

D错误：例如取 $u_{2n-1}=u_{2n}=1$，则 $u_{2n-1}-u_{2n}=0$，但原级数发散。

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9. 【2019-3-4 分】 若 $\sum _{n=1}^{\infty }n{u}_n$ 绝对收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{v_n}{n}$ 条件收敛，则（ ）

A. $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n{v}_n$ 条件收敛    B. $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n{v}_n$ 绝对收敛

C. $\sum _{n=1}^{\infty }(u_n+v_n)$ 收敛    D. $\sum _{n=1}^{\infty }(u_n+v_n)$ 发散

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答案： B

解析： 令

$$a_n=n{u}_n,b_n=\frac{v_n}{n}.$$

由 $\sum a_n$ 绝对收敛可得

$$\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|<\infty .$$

又因为 $\sum b_n$ 条件收敛，所以 $b_n\to 0$，从而数列 $\{b_n\}$ 有界，即存在常数 $M>0$，使

$$|b_n|\le M.$$

注意到

$$u_n{v}_n=(n{u}_n)\frac{v_n}{n}=a_n{b}_n,$$

因而

$$\sum _{n=1}^{\infty }|u_n{v}_n|=\sum _{n=1}^{\infty }|a_n{b}_n|\le M\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|<\infty .$$

所以 $\sum u_n{v}_n$ 绝对收敛，选B。

A与“绝对收敛”矛盾；而由已知条件不能单独确定 $\sum (u_n+v_n)$ 的敛散性，所以C、D均不成立。