一、一阶微分方程的求解

本小节无例题

小题

（一）变量可分离的微分方程

1. 【1994-3-3 分】 微分方程 $ydx+(x^2-4x)dy=0$ 的通解为

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答案： $\ln |y|=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x}{x-4}\right|+C$，等价地，$y=C{\left|\frac{x}{x-4}\right|}^{\frac{1}{4}}$。

解析： 将方程写成

$(x^2-4x)\frac{dy}{dx}=-y$，

当 $y\ne 0$ 且 $x\ne 0,4$ 时，分离变量得

$\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x(x-4)}=\left(\frac{1}{4x}-\frac{1}{4(x-4)}\right)dx$。

两边积分，得

$\ln |y|=\frac{1}{4}\ln |x|-\frac{1}{4}\ln |x-4|+C=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x}{x-4}\right|+C$。

因此通解可写为

$y=C{\left|\frac{x}{x-4}\right|}^{\frac{1}{4}}$，其中常数 $C$ 可取 $0$，故零解也包含在内。解应分别在不跨越奇点 $x=0,4$ 的区间上讨论。

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2. 【1998-12-3 分】 已知函数 $y=f(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\frac{y\Delta x}{1+x^2}+\alpha$，且当 $\Delta x\to 0$ 时，$\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小量，$y(0)=\pi$，则 $y(1)$ 等于（ ）

A. $2\pi$    B. $\pi$    C. $e^{\frac{\pi }{4}}$    D. $\pi e^{\frac{\pi }{4}}$

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答案： D，$y(1)=\pi e^{\frac{\pi }{4}}$。

解析： 由增量关系

$\Delta y=\frac{y}{1+x^2}\Delta x+o(\Delta x)$，

根据可微的定义可得

$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y}{1+x^2}$。

分离变量：

$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{1+x^2}$。

积分得

$\ln |y|=\arctan x+C$，

即

$y=C{e}^{\arctan x}$。

由 $y(0)=\pi$，得 $C=\pi$，所以

$y(1)=\pi e^{\arctan 1}=\pi e^{\frac{\pi }{4}}$。

A、B 均忽略了微分方程解中的指数因子；C 缺少由初值确定的系数 $\pi$。

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3. 【2005-34-4 分】 微分方程 $x{y}^{\prime }+y=0$ 满足初始条件 $y(1)=2$ 的特解为

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答案： $y=\frac{2}{x}$。

解析： 注意到

$x{y}^{\prime }+y=(xy{)}^{\prime }$，

故原方程等价于

$(xy{)}^{\prime }=0$。

积分得

$xy=C$，即 $y=\frac{C}{x}$。

代入初始条件 $y(1)=2$，得 $C=2$，所以特解为

$y=\frac{2}{x}$。

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4. 【2006-12-4 分】 微分方程 $y^{\prime }=\frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是

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答案： $y=Cx{e}^{-x}$。

解析： 在 $x\ne 0$ 时，方程可写为

$\frac{dy}{dx}=y\left(\frac{1}{x}-1\right)$。

分离变量得

$\frac{dy}{y}=\left(\frac{1}{x}-1\right)dx$。

积分：

$\ln |y|=\ln |x|-x+C$。

指数化后得到

$y=Cx{e}^{-x}$。

当 $C=0$ 时即为零解，因此已包含全部解。由于原方程在 $x=0$ 处无定义，解应在 $x>0$ 或 $x<0$ 的区间内讨论。

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5. 【2008-13-4 分】 微分方程 $x{y}^{\prime }+y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解是 $y=$

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答案： $y=\frac{1}{x}$。

解析： 由

$x{y}^{\prime }+y=(xy{)}^{\prime }$，

原方程化为

$(xy{)}^{\prime }=0$。

于是

$xy=C$，即 $y=\frac{C}{x}$。

由 $y(1)=1$ 得 $C=1$，故

$y=\frac{1}{x}$。

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6. 【2018-3-4 分】 函数 $f(x)$ 满足 $f(x+\Delta x)-f(x)=2xf(x)\Delta x+o(\Delta x)(\Delta x\to 0)$，且 $f(0)=2$，则 $f(1)=$

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答案： $f(1)=2e$。

解析： 将等式两边除以 $\Delta x$，并令 $\Delta x\to 0$，得

$f^{\prime }(x)=2xf(x)$。

分离变量：

$\frac{df}{f}=2xdx$。

积分得

$\ln |f|=x^2+C$，

故

$f(x)=C{e}^{x^2}$。

由 $f(0)=2$ 得 $C=2$，于是

$f(1)=2e$。

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7. 【2019-1-4 分】 微分方程 $2y{y}^{\prime }-y^2-2=0$ 满足条件 $y(0)=1$ 的特解 $y=$

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答案： $y=\sqrt{3e^x-2}$。

解析： 令

$z=y^2$，

则 $z^{\prime }=2y{y}^{\prime }$。原方程化为

$z^{\prime }-z=2$。

这是关于 $z$ 的一阶线性微分方程，其通解为

$z=C{e}^x-2$。

由于 $y(0)=1$，故 $z(0)=1$，从而

$1=C-2$，即 $C=3$。

所以

$y^2=3e^x-2$。

结合初值 $y(0)=1>0$，应取正平方根，得到

$y=\sqrt{3e^x-2}$。

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8. 【2024-12-5 分】 微分方程 $(x+y)y^{\prime }=\frac{1}{(x+y{)}^2}$ 满足 $y(1)=0$ 的解为

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答案： 由隐式方程

$y={\int }_1^{x+y}\frac{dt}{1+t^3}$

确定的解。

解析： 令

$u=x+y$，

则

$\frac{du}{dx}=1+y^{\prime }$。

由原方程得

$y^{\prime }=\frac{1}{u^3}$，

因此

$\frac{du}{dx}=1+\frac{1}{u^3}=\frac{u^3+1}{u^3}$，

即

$\frac{dx}{du}=\frac{u^3}{u^3+1}=1-\frac{1}{u^3+1}$。

初始条件 $y(1)=0$ 对应 $u=1$。故

$$x-1={\int }_1^u\frac{t^3}{t^3+1}dt=u-1-{\int }_1^u\frac{dt}{t^3+1}$$

。

代入 $u=x+y$，得到

$x-1=x+y-1-{\int }_1^{x+y}\frac{dt}{1+t^3}$，

整理即得

$y={\int }_1^{x+y}\frac{dt}{1+t^3}$。

对该隐式关系求导，可得

$y^{\prime }=\frac{1+y^{\prime }}{1+(x+y{)}^3}$，

从而 $(x+y{)}^3{y}^{\prime }=1$，与原方程一致，并且代入 $x=1$ 可得 $y=0$。

（二）齐次微分方程的求解

1. 【1991-4-5 分】 求微分方程 $xy\frac{dy}{dx}=x^2+y^2$ 满足条件 $y{|}_{x=e}=2e$ 的特解。

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答案： $y=x\sqrt{2\ln x+2}$。

解析： 原方程是齐次微分方程。令

$y=vx$，

则

$y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$。

代入原方程：

$x(vx)(v+x{v}^{\prime })=x^2+v^2{x}^2$。

展开并约去相同项，得

$v{x}^3{v}^{\prime }=x^2$，

即

$vdv=\frac{dx}{x}$。

积分得

$\frac{1}{2}{v}^2=\ln x+C$，

所以

${\left(\frac{y}{x}\right)}^2=2\ln x+C_1$。

由 $y(e)=2e$，得

$4=2\ln e+C_1=2+C_1$，

故 $C_1=2$。于是

$y^2=x^2(2\ln x+2)$。

由于 $y(e)=2e>0$，取正支，得到

$y=x\sqrt{2\ln x+2}$。

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2. 【1993-12-5 分】 求微分方程 $x^2{y}^{\prime }+xy=y^2$ 满足初始条件 $y(1)=1$ 的特解。

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答案： $y=\frac{2x}{1+x^2}$。

解析： 令

$y=vx$，

则 $y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$。代入原方程，得

$x^2(v+x{v}^{\prime })+x(vx)=v^2{x}^2$。

两边除以 $x^2$：

$x{v}^{\prime }+2v=v^2$，

即

$\frac{dv}{v(v-2)}=\frac{dx}{x}$。

部分分式分解为

$\frac{1}{v(v-2)}=-\frac{1}{2v}+\frac{1}{2(v-2)}$。

积分得

$\frac{1}{2}\ln \left|\frac{v-2}{v}\right|=\ln |x|+C$，

因此

$\frac{v-2}{v}=C{x}^2$。

解出 $v$：

$v=\frac{2}{1-C{x}^2}$，

所以

$y=\frac{2x}{1-C{x}^2}$。

由初始条件 $y(1)=1$，得

$1=\frac{2}{1-C}$，

故 $C=-1$。因此特解为

$y=\frac{2x}{1+x^2}$。

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3. 【1997-2-5 分】 求微分方程 $(3x^2+2xy-y^2)dx+(x^2-2xy)dy=0$ 的通解。

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答案： $x^3+x^{2}y-x{y}^2=C$。

解析： 方程中各项均为二次齐次式，因此是齐次微分方程。令

$y=vx$，

则

$y^{\prime }=v+x\frac{dv}{dx}$。

将原方程改写为

$(3x^2+2xy-y^2)+(x^2-2xy)y^{\prime }=0$。

代入 $y=vx$ 及 $y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$，并除以 $x^2$，得

$3+2v-v^2+(1-2v)(v+x{v}^{\prime })=0$，

即

$(1-2v)x\frac{dv}{dx}=-3(1+v-v^2)$。

分离变量：

$\frac{1-2v}{1+v-v^2}dv=-3\frac{dx}{x}$。

注意到

$d(1+v-v^2)=(1-2v)dv$，

故积分得

$\ln |1+v-v^2|=-3\ln |x|+C_1$，

从而

$1+v-v^2=\frac{C}{x^3}$。

代回 $v=\frac{y}{x}$，有

$1+\frac{y}{x}-\frac{y^2}{x^2}=\frac{C}{x^3}$。

两边乘以 $x^3$，得到通解

$x^3+x^{2}y-x{y}^2=C$。

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4. 【2007-34-4 分】 微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}-\frac{1}{2}{\left(\frac{y}{x}\right)}^3$ 满足 $y{|}_{x=1}=1$ 的特解为 $y=$

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答案： $y=\frac{x}{\sqrt{1+\ln x}}$。

解析： 右端仅含 $\frac{y}{x}$，故为齐次微分方程。令

$y=vx$，

则

$y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$。

代入方程得

$v+x{v}^{\prime }=v-\frac{1}{2}{v}^3$，

所以

$x{v}^{\prime }=-\frac{1}{2}{v}^3$。

分离变量：

$\frac{dv}{v^3}=-\frac{1}{2}\frac{dx}{x}$。

积分得

$-\frac{1}{2v^2}=-\frac{1}{2}\ln x+C$，

即

$\frac{1}{v^2}=\ln x+C_1$。

由初始条件 $y(1)=1$，得 $v(1)=1$，于是

$1=C_1$。

故

$v^2=\frac{1}{1+\ln x}$。

由于初始点处 $v(1)=1>0$，应取正支，因此

$v=\frac{1}{\sqrt{1+\ln x}}$。

代回 $y=vx$，得到

$y=\frac{x}{\sqrt{1+\ln x}}$。

该初值解所在的最大区间为 $x>e^{-1}$。

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5. 【2014-1-4 分】 微分方程 $x{y}^{\prime }+y(\ln x-\ln y)=0$ 满足 $y(1)=e^3$ 的解为 $y=$

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答案： $y=x{e}^{1+2x}$。

解析： 由对数的定义可知应在 $x>0$、$y>0$ 的范围内求解。令

$y=vx$，

则

$y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$，且

$\ln x-\ln y=\ln \frac{x}{y}=-\ln v$。

代入原方程：

$x(v+x{v}^{\prime })-vx\ln v=0$。

两边除以 $x$，得

$v+x{v}^{\prime }-v\ln v=0$，

即

$x{v}^{\prime }=v(\ln v-1)$。

分离变量：

$\frac{dv}{v(\ln v-1)}=\frac{dx}{x}$。

令 $u=\ln v-1$，则 $du=\frac{dv}{v}$，故

$\ln |\ln v-1|=\ln x+C$。

于是

$\ln v-1=C_{1}x$，

从而

$v=e^{1+C_{1}x}$。

因此

$y=x{e}^{1+C_{1}x}$。

由 $y(1)=e^3$，有

$e^{1+C_1}=e^3$，

故 $C_1=2$。所以所求解为

$y=x{e}^{1+2x}$。

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6. 【2025-2-5 分】 微分方程 $(2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解为

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答案： $5y^2-4xy+3x^2=4$，或在初始点附近写为 $y=\frac{2x+\sqrt{20-11x^2}}{5}$。

解析： 将方程写成导数形式：

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x-2y}{2x-5y}$。

右端分子、分母均为一次齐次式，令

$y=vx$，

则

$y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$。

代入得

$v+x{v}^{\prime }=\frac{3-2v}{2-5v}$，

所以

$x{v}^{\prime }=\frac{5v^2-4v+3}{2-5v}$。

分离变量：

$\frac{2-5v}{5v^2-4v+3}dv=\frac{dx}{x}$。

由于

$d(5v^2-4v+3)=(10v-4)dv$，

且

$2-5v=-\frac{1}{2}(10v-4)$，

故积分得

$-\frac{1}{2}\ln (5v^2-4v+3)=\ln |x|+C$。

整理为

$x^2(5v^2-4v+3)=C_1$。

代回 $v=\frac{y}{x}$，得

$5y^2-4xy+3x^2=C_1$。

由初始条件 $y(1)=1$，有

$C_1=5-4+3=4$。

因此初值问题的解为

$5y^2-4xy+3x^2=4$。

若显式解出 $y$，则

$y=\frac{2x\pm \sqrt{20-11x^2}}{5}$。

代入 $x=1$ 时，正号分支给出 $y(1)=1$，故应取

$y=\frac{2x+\sqrt{20-11x^2}}{5}$。

（三）一阶线性微分方程的求解

1. 【1987-3-5 分】 求微分方程 $x\frac{dy}{dx}=x-y$，满足条件 $y{|}_{x=\sqrt{2}}=0$ 的解。

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答案： $y=\frac{x}{2}-\frac{1}{x}=\frac{x^2-2}{2x}$。

解析： 原方程可化为一阶线性方程

$y^{\prime }+\frac{1}{x}y=1$。

由于初始点 $x=\sqrt{2}>0$，在 $x>0$ 上取积分因子

$\mu (x)=e^{\int \frac{1}{x}dx}=x$。

方程两边乘以 $x$，得

$x{y}^{\prime }+y=x$，

即

$(xy{)}^{\prime }=x$。

积分得

$xy=\frac{x^2}{2}+C$，

所以

$y=\frac{x}{2}+\frac{C}{x}$。

由 $y(\sqrt{2})=0$，得

$0=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{C}{\sqrt{2}}$，

从而 $C=-1$。因此

$y=\frac{x}{2}-\frac{1}{x}$。

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2. 【1988-3-5 分】 求微分方程 $y^{\prime }+\frac{1}{x}y=\frac{1}{x(x^2+1)}$ 的通解（一般解）。

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答案： $y=\frac{\arctan x+C}{x}$，其中 $x\ne 0$。

解析： 这是标准的一阶线性微分方程。在任一不跨越 $x=0$ 的区间上，积分因子可取

$\mu (x)=e^{\int \frac{1}{x}dx}=x$。

方程两边乘以 $x$，得

$x{y}^{\prime }+y=\frac{1}{x^2+1}$，

即

$(xy{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$。

积分得

$xy=\arctan x+C$。

因此通解为

$y=\frac{\arctan x+C}{x}$。

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3. 【1990-4-5 分】 求微分方程 $y^{\prime }+y\cos x=(\ln x)e^{-\sin x}$ 的通解。

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答案： $y=e^{-\sin x}(x\ln x-x+C)$，其中 $x>0$。

解析： 方程中的 $\ln x$ 要求 $x>0$。该方程为一阶线性微分方程，积分因子为

$\mu (x)=e^{\int \cos xdx}=e^{\sin x}$。

方程两边乘以 $e^{\sin x}$，得

$e^{\sin x}{y}^{\prime }+e^{\sin x}y\cos x=\ln x$，

即

$(y{e}^{\sin x}{)}^{\prime }=\ln x$。

积分得

$y{e}^{\sin x}=\int \ln xdx=x\ln x-x+C$。

所以通解为

$y=e^{-\sin x}(x\ln x-x+C)$。

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4. 【1991-3-5 分】 求微分方程 $x{y}^{\prime }+y=x{e}^x$ 满足 $y(1)=1$ 的特解。

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答案： $y=\frac{(x-1)e^x+1}{x}$。

解析： 将方程两边除以 $x$，得

$y^{\prime }+\frac{1}{x}y=e^x$。

在包含初始点 $x=1$ 的区间 $x>0$ 上，积分因子为

$\mu (x)=x$。

方程两边乘以 $x$，得到

$(xy{)}^{\prime }=x{e}^x$。

积分：

$xy=\int x{e}^{x}dx=(x-1)e^x+C$。

因此

$y=\frac{(x-1)e^x+C}{x}$。

利用初始条件 $y(1)=1$，得 $C=1$。故所求特解为

$y=\frac{(x-1)e^x+1}{x}$。

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5. 【1992-3-5 分】 求微分方程 $(y-x^3)dx-2xdy=0$ 的通解。

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答案： $y=-\frac{x^3}{5}+C\sqrt{|x|}$，其中在不跨越 $x=0$ 的区间上取常数 $C$；当 $x>0$ 时可写为 $y=-\frac{x^3}{5}+C\sqrt{x}$。

解析： 将原方程写成关于 $y(x)$ 的形式：

$y-x^3-2x{y}^{\prime }=0$，

即

$y^{\prime }-\frac{1}{2x}y=-\frac{x^2}{2}(x\ne 0)$。

这是一阶线性微分方程。在 $x>0$ 的区间上，积分因子为

$\mu (x)=e^{\int -\frac{1}{2x}dx}=x^{-\frac{1}{2}}$。

方程两边乘以 $x^{-\frac{1}{2}}$，得

${\left(\frac{y}{\sqrt{x}}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{2}{x}^{\frac{3}{2}}$。

积分得

$\frac{y}{\sqrt{x}}=-\frac{1}{5}{x}^{\frac{5}{2}}+C$，

所以

$y=-\frac{x^3}{5}+C\sqrt{x}$。

同理，在 $x<0$ 的区间上可得

$y=-\frac{x^3}{5}+C\sqrt{-x}$。

将两种情形合并，可写成

$y=-\frac{x^3}{5}+C\sqrt{|x|}$。

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6. 【1992-12-3 分】 微分方程 $y^{\prime }+y\tan x=\cos x$ 的通解为 $y=$

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答案： $y=(x+C)\cos x$。

解析： 这是标准的一阶线性微分方程。积分因子为

$\mu (x)=e^{\int \tan xdx}=e^{-\ln |\cos x|}=\sec x$，

其中所讨论区间不能跨越 $\cos x=0$ 的点。

方程两边乘以 $\sec x$，得

$y^{\prime }\sec x+y\sec x\tan x=1$，

即

$(y\sec x{)}^{\prime }=1$。

积分得

$y\sec x=x+C$，

故通解为

$y=(x+C)\cos x$。

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7. 【1993-3-5 分】 求微分方程 $(x^2-1)dy+(2xy-\cos x)dx=0$ 满足初始条件 $y(0)=1$ 的特解。

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答案： $y=\frac{\sin x-1}{x^2-1}=\frac{1-\sin x}{1-x^2}$。

解析： 将原方程写成

$(x^2-1)y^{\prime }+2xy=\cos x$。

注意到左端恰为乘积的导数：

$[(x^2-1)y{]}^{\prime }=(x^2-1)y^{\prime }+2xy$。

因此原方程可化为

$[(x^2-1)y{]}^{\prime }=\cos x$。

两边积分，得

$(x^2-1)y=\sin x+C$，

从而

$y=\frac{\sin x+C}{x^2-1}$。

由初始条件 $y(0)=1$，有

$1=\frac{C}{-1}$，

故 $C=-1$。所以所求特解为

$y=\frac{\sin x-1}{x^2-1}$。

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8. 【2001-2-3 分】 过点 $\left(\frac{1}{2},0\right)$ 且满足关系式 $y^{\prime }\arcsin x+\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}=1$ 的曲线方程。

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答案： $y=\frac{x-\frac{1}{2}}{\arcsin x}$。

解析： 因为

$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，

所以方程左端是乘积 $y\arcsin x$ 的导数：

$y^{\prime }\arcsin x+\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}=(y\arcsin x{)}^{\prime }$。

于是原方程化为

$(y\arcsin x{)}^{\prime }=1$。

积分得

$y\arcsin x=x+C$。

曲线经过点 $\left(\frac{1}{2},0\right)$，故

$0\cdot \arcsin \frac{1}{2}=\frac{1}{2}+C$，

从而 $C=-\frac{1}{2}$。因此曲线方程为

$y=\frac{x-\frac{1}{2}}{\arcsin x}$。

在经过初始点的解区间内有 $0<x<1$，因而分母不为零。

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9. 【2004-2-4 分】 微分方程 $(y+x^3)dx-2xdy=0$ 确定 $y{|}_{x=1}=\frac{6}{5}$ 的特解为

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答案： $y=\sqrt{x}+\frac{x^3}{5}$。

解析： 将方程写成

$y+x^3-2x{y}^{\prime }=0$，

即

$y^{\prime }-\frac{1}{2x}y=\frac{x^2}{2}$。

初始点 $x=1>0$，故在 $x>0$ 上取积分因子

$\mu (x)=e^{\int -\frac{1}{2x}dx}=x^{-\frac{1}{2}}$。

方程两边乘以 $x^{-\frac{1}{2}}$，得

${\left(\frac{y}{\sqrt{x}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{3}{2}}$。

积分得

$\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{1}{5}{x}^{\frac{5}{2}}+C$，

所以

$y=\frac{x^3}{5}+C\sqrt{x}$。

由 $y(1)=\frac{6}{5}$，得

$\frac{6}{5}=\frac{1}{5}+C$，

故 $C=1$。因此所求特解为

$y=\sqrt{x}+\frac{x^3}{5}$。

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10. 【2005-12-4 分】 微分方程 $x{y}^{\prime }+2y=x\ln x$ 满足 $y(1)=-\frac{1}{9}$ 的解为

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答案： $y=\frac{x\ln x}{3}-\frac{x}{9}$。

解析： 由于方程中含有 $\ln x$，故 $x>0$。原方程除以 $x$，得

$y^{\prime }+\frac{2}{x}y=\ln x$。

积分因子为

$\mu (x)=e^{\int \frac{2}{x}dx}=x^2$。

方程两边乘以 $x^2$，得

$(x^{2}y{)}^{\prime }=x^2\ln x$。

分部积分可得

$\int x^2\ln xdx=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C$。

因此

$x^{2}y=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C$，

即

$y=\frac{x\ln x}{3}-\frac{x}{9}+\frac{C}{x^2}$。

由 $y(1)=-\frac{1}{9}$，得 $C=0$。故所求解为

$y=\frac{x\ln x}{3}-\frac{x}{9}$。

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11. 【2008-24-4 分】 微分方程 $(y+x^2{e}^{-x})dx-xdy=0$ 的通解是 $y=$

查看答案与解析

答案： $y=Cx-x{e}^{-x}$。

解析： 将原方程写成

$y+x^2{e}^{-x}-x{y}^{\prime }=0$，

即

$y^{\prime }-\frac{1}{x}y=x{e}^{-x}$。

这是一个一阶线性微分方程。在 $x\ne 0$ 的区间上，积分因子为

$\mu (x)=e^{\int -\frac{1}{x}dx}=\frac{1}{|x|}$。

在任一固定符号区间内可取 $\mu (x)=\frac{1}{x}$，于是

${\left(\frac{y}{x}\right)}^{\prime }=e^{-x}$。

积分得

$\frac{y}{x}=-e^{-x}+C$。

因此通解为

$y=Cx-x{e}^{-x}$。

---

12. 【2011-12-4 分】 微分方程 $y^{\prime }+y=e^{-x}\cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解 $y=$

查看答案与解析

答案： $y=e^{-x}\sin x$。

解析： 积分因子为

$\mu (x)=e^{\int 1dx}=e^x$。

方程两边乘以 $e^x$，得

$e^x{y}^{\prime }+e^{x}y=\cos x$，

即

$(e^{x}y{)}^{\prime }=\cos x$。

积分得

$e^{x}y=\sin x+C$，

故

$y=e^{-x}(\sin x+C)$。

由 $y(0)=0$，得 $C=0$。所以

$y=e^{-x}\sin x$。

---

13. 【2012-2-4 分】 微分方程 $ydx+(x-3y^2)dy=0$ 满足条件 $y{|}_{x=1}=1$ 的解为 $y=$

查看答案与解析

答案： $y=\sqrt{x}$。

解析： 由于方程中 $x$ 关于 $y$ 是线性的，将 $x$ 看作 $y$ 的函数。原方程可写为

$y\frac{dx}{dy}+x-3y^2=0$，

即

$\frac{dx}{dy}+\frac{1}{y}x=3y(y\ne 0)$。

这是关于 $x(y)$ 的一阶线性微分方程，其积分因子为

$\mu (y)=e^{\int \frac{1}{y}dy}=y$。

方程两边乘以 $y$，得

$\frac{d}{dy}(xy)=3y^2$。

积分得

$xy=y^3+C$，

即

$x=y^2+\frac{C}{y}$。

由条件 $x=1$ 时 $y=1$，得

$1=1+C$，

故 $C=0$。因此

$x=y^2$。

由于初始点处 $y=1>0$，应取正分支，故

$y=\sqrt{x}$。

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14. 【2025-3-5 分】 微分方程 $x{y}^{\prime }-y+x^2{e}^x=0$ 满足条件 $y(1)=-e$ 的解为 $y=$

查看答案与解析

答案： $y=-x{e}^x$。

解析： 原方程可化为

$y^{\prime }-\frac{1}{x}y=-x{e}^x$。

初始点 $x=1>0$，在 $x>0$ 上积分因子为

$\mu (x)=e^{\int -\frac{1}{x}dx}=\frac{1}{x}$。

方程两边乘以 $\frac{1}{x}$，得

${\left(\frac{y}{x}\right)}^{\prime }=-e^x$。

积分得

$\frac{y}{x}=-e^x+C$，

所以

$y=x(C-e^x)$。

由 $y(1)=-e$，得

$C-e=-e$，

故 $C=0$。因此所求解为

$y=-x{e}^x$。

大题

（一）齐次微分方程的求解

1. 【1996-4-7 分】 求微分方程 $\frac{dy}{dx}=\frac{y-\sqrt{x^2+y^2}}{x}$ 的通解。

查看答案与解析

答案： $y+\sqrt{x^2+y^2}=C(C>0)$，等价地，$y=\frac{C^2-x^2}{2C}(C>0)$。

解析： 记

$r=\sqrt{x^2+y^2}$。

由平方差公式，原方程右端可有理化为

$\frac{y-r}{x}=\frac{(y-r)(y+r)}{x(y+r)}=-\frac{x}{y+r}$。

因此

$y^{\prime }=-\frac{x}{y+r}$。

令

$z=y+r=y+\sqrt{x^2+y^2}$，

则

$$z^{\prime }=y^{\prime }+\frac{x+y{y}^{\prime }}{r}=\frac{y^{\prime }(r+y)+x}{r}$$

。

代入 $y^{\prime }=-\frac{x}{y+r}$，得

$z^{\prime }=\frac{-x+x}{r}=0$。

故 $z$ 为常数，即

$y+\sqrt{x^2+y^2}=C$。

由于 $x\ne 0$ 时 $y+\sqrt{x^2+y^2}>0$，故 $C>0$。将根式移项并平方，得到等价的显式形式

$y=\frac{C^2-x^2}{2C}$。

---

2. 【1999-2-7 分】 求初值问题

$$\{\begin{array}{l}\left(y+\sqrt{x^2+y^2}\right)dx-xdy=0,x>0,\\ y{|}_{x=1}=0\end{array}$$

的解。

查看答案与解析

答案： $y=\frac{x^2-1}{2}$。

解析： 由原方程得

$\frac{dy}{dx}=\frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}$。

因 $x>0$，令

$y=ux$，

则

$y^{\prime }=u+x\frac{du}{dx}$，且

$\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}=\sqrt{1+u^2}$。

代入方程，得

$u+x\frac{du}{dx}=u+\sqrt{1+u^2}$，

即

$\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\frac{dx}{x}$。

积分得

$\ln \left(u+\sqrt{1+u^2}\right)=\ln x+C$。

由初始条件 $x=1$ 时 $y=0$，可知 $u=0$，故 $C=0$。于是

$u+\sqrt{1+u^2}=x$。

由此

$u=\frac{x-x^{-1}}{2}$。

再由 $y=ux$，得到

$y=\frac{x^2-1}{2}$。

（二）一阶线性微分方程的求解

1. 【1989-3-6 分】 微分方程 $y^{\prime }+\frac{1-x}{x}y=\frac{e^{2x}}{x}(0<x<+\infty )$ 满足 $y(1)=0$ 的解。

查看答案与解析

答案： $y=\frac{e^x(e^x-e)}{x}$。

解析： 原方程是一阶线性微分方程，其中

$P(x)=\frac{1-x}{x}=\frac{1}{x}-1$。

积分因子为

$\mu (x)=e^{\int (\frac{1}{x}-1)dx}=x{e}^{-x}$。

方程两边乘以 $x{e}^{-x}$，得

$(x{e}^{-x}y{)}^{\prime }=e^x$。

积分可得

$x{e}^{-x}y=e^x+C$，

即

$y=\frac{e^{2x}+C{e}^x}{x}$。

由 $y(1)=0$，得

$e^2+Ce=0$，

故 $C=-e$。因此

$y=\frac{e^x(e^x-e)}{x}$。

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2. 【1990-23-6 分】 求微分方程 $x\ln xdy+(y-\ln x)dx=0$ 满足条件 $y{|}_{x=e}=1$ 的特解。

查看答案与解析

答案： $y=\frac{1}{2}\left(\ln x+\frac{1}{\ln x}\right)$。

解析： 在包含初始点 $x=e$ 的区间 $x>1$ 上，原方程化为

$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x\ln x}y=\frac{1}{x}$。

积分因子为

$\mu (x)=e^{\int \frac{1}{x\ln x}dx}=\ln x$。

方程两边乘以 $\ln x$，得

$(y\ln x{)}^{\prime }=\frac{\ln x}{x}$。

积分得

$y\ln x=\frac{1}{2}(\ln x{)}^2+C$，

所以

$y=\frac{1}{2}\ln x+\frac{C}{\ln x}$。

由 $y(e)=1$，得

$1=\frac{1}{2}+C$，

故 $C=\frac{1}{2}$。因此特解为

$y=\frac{1}{2}\left(\ln x+\frac{1}{\ln x}\right)$。

---

3. 【1995-3-8 分】 设 $y=e^x$ 是微分方程 $x{y}^{\prime }+p(x)y=x$ 的一个解，求此微分方程满足条件 $y{|}_{x=\ln 2}=0$ 的特解。

查看答案与解析

答案： $y=e^x\left[1-e^{e^{-x}-\frac{1}{2}}\right]$。

解析： 因为 $y=e^x$ 是原方程的一个解，将 $y=e^x$、$y^{\prime }=e^x$ 代入，得

$x{e}^x+p(x)e^x=x$。

因此

$p(x)=x{e}^{-x}-x$。

原方程化为

$x{y}^{\prime }+(x{e}^{-x}-x)y=x$。

在包含初始点 $x=\ln 2$ 的正区间上除以 $x$，得

$y^{\prime }+(e^{-x}-1)y=1$。

积分因子为

$\mu (x)=e^{\int (e^{-x}-1)dx}=e^{-e^{-x}-x}$。

注意到

${\left(e^{-e^{-x}}\right)}^{\prime }=e^{-x-e^{-x}}=\mu (x)$，

故

$(\mu y{)}^{\prime }=\mu$，

积分得

$e^{-x-e^{-x}}y=e^{-e^{-x}}+C$。

于是通解为

$y=e^x+C{e}^{x+e^{-x}}$。

由 $y(\ln 2)=0$，且

$e^{\ln 2}=2,e^{-\ln 2}=\frac{1}{2}$，

得

$0=2+2C{e}^{1/2}$，

所以

$C=-e^{-1/2}$。

因此所求特解为

$y=e^x-e^{x+e^{-x}-1/2}=e^x\left[1-e^{e^{-x}-\frac{1}{2}}\right]$。

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4. 【1996-3-8 分】 设 $y(x)$ 是

$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }+ay=f(x),\\ y{|}_{x=0}=0\end{array}$$

的解，其中 $a$ 为正常数。若 $|f(x)|\le k$（$k$ 为常数），证明：当 $x\ge 0$ 时，有

$|y(x)|\le \frac{k}{a}\left(1-e^{-ax}\right)$。

查看答案与解析

答案： 当 $x\ge 0$ 时，恒有

$|y(x)|\le \frac{k}{a}\left(1-e^{-ax}\right)$。

解析： 原方程为一阶线性微分方程

$y^{\prime }+ay=f(x)$。

其积分因子为

$\mu (x)=e^{\int adx}=e^{ax}$。

方程两边乘以 $e^{ax}$，得到

${\left(e^{ax}y\right)}^{\prime }=e^{ax}f(x)$。

从 $0$ 到 $x$ 积分，并利用初始条件 $y(0)=0$，可得

$e^{ax}y(x)={\int }_0^x{e}^{at}f(t)dt$，

从而

$y(x)=e^{-ax}{\int }_0^x{e}^{at}f(t)dt$。

当 $x\ge 0$ 时，由 $|f(t)|\le k$，有

$$\begin{array}{rl}|y(x)|& =e^{-ax}\left|{\int }_0^x{e}^{at}f(t)dt\right|\\ & \le e^{-ax}{\int }_0^x{e}^{at}|f(t)|dt\\ & \le k{e}^{-ax}{\int }_0^x{e}^{at}dt\\ & =k{e}^{-ax}\cdot \frac{e^{ax}-1}{a}\\ & =\frac{k}{a}\left(1-e^{-ax}\right).\end{array}$$

故结论成立。

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5. 【1999-3-6 分】 设有微分方程 $y^{\prime }-2y=\phi (x)$，其中

$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}2,& x\le 1,\\ 0,& x>1.\end{array}$$

试求在 $(-\infty ,+\infty )$ 内的连续函数 $y=y(x)$，使之在 $(-\infty ,1)$ 和 $(1,+\infty )$ 内都满足所给方程，且满足条件 $y(0)=0$。

查看答案与解析

答案：

$$y(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{2x}-1,& x\le 1,\\ \left(1-e^{-2}\right)e^{2x},& x>1.\end{array}$$

解析： 当 $x<1$ 时，方程为

$y^{\prime }-2y=2$。

其通解为

$y=C_1{e}^{2x}-1$。

由条件 $y(0)=0$，得

$C_1=1$，

故在 $x<1$ 时

$y=e^{2x}-1$。

于是

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y(x)=e^2-1$。

当 $x>1$ 时，方程为

$y^{\prime }-2y=0$，

其通解为

$y=C_2{e}^{2x}$。

因为要求 $y(x)$ 在整个实数轴上连续，所以在 $x=1$ 处应满足

$C_2{e}^2=e^2-1$，

从而

$C_2=1-e^{-2}$。

因此

$$y(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{2x}-1,& x\le 1,\\ \left(1-e^{-2}\right)e^{2x},& x>1.\end{array}$$

该函数在 $x=1$ 处连续，并分别在 $(-\infty ,1)$、$(1,+\infty )$ 内满足原微分方程。

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6. 【2002-2-7 分】 求微分方程 $xdy+(x-2y)dx=0$ 的一个解 $y=y(x)$，使得由曲线 $y=y(x)$ 与直线 $x=1$、$x=2$ 以及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周的旋转体体积最小。

查看答案与解析

答案： 所求解为

$y=x-\frac{75}{124}{x}^2$。

此时最小体积为

$V_{\min }=\frac{97\pi }{1488}$。

解析： 将原方程化为

$x{y}^{\prime }+x-2y=0$，

即

$y^{\prime }-\frac{2}{x}y=-1$。

在区间 $[1,2]$ 上，积分因子为

$\mu (x)=e^{\int -\frac{2}{x}dx}=x^{-2}$。

因此

${\left(\frac{y}{x^2}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$。

积分得

$\frac{y}{x^2}=\frac{1}{x}+C$，

所以微分方程的通解为

$y=x+C{x}^2$。

该曲线与 $x$ 轴之间的图形绕 $x$ 轴旋转所得体积为

$$V(C)=\pi {\int }_1^2{y}^{2}dx=\pi {\int }_1^2{\left(x+C{x}^2\right)}^{2}dx$$

。

展开可得

$$\begin{array}{rl}\frac{V(C)}{\pi }& ={\int }_1^2\left(x^2+2C{x}^3+C^2{x}^4\right)dx\\ & =\frac{7}{3}+\frac{15}{2}C+\frac{31}{5}{C}^2.\end{array}$$

这是关于 $C$ 的开口向上的二次函数。令其导数为零：

$$\frac{d}{dC}\left(\frac{V(C)}{\pi }\right)=\frac{15}{2}+\frac{62}{5}C=0$$

，

解得

$C=-\frac{75}{124}$。

因此使体积最小的解为

$y=x-\frac{75}{124}{x}^2$。

代回体积表达式，得

$$\begin{array}{rl}\frac{V_{\min }}{\pi }& ={\int }_1^2{x}^2{\left(1-\frac{75}{124}x\right)}^{2}dx\\ & =\frac{7}{3}-\frac{{\left(\frac{15}{4}\right)}^2}{\frac{31}{5}}\\ & =\frac{97}{1488}.\end{array}$$

故

$V_{\min }=\frac{97\pi }{1488}$。

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7. 【2018-1-10 分】 已知微分方程 $y^{\prime }+y=f(x)$，其中 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的连续函数。

（Ⅰ）若 $f(x)=x$，求方程的通解；

（Ⅱ）若 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，证明：方程存在唯一的以 $T$ 为周期的解。

查看答案与解析

答案： （Ⅰ）$y=x-1+C{e}^{-x}$。

（Ⅱ）方程存在唯一的 $T$ 周期解，其初值可取为

$y(0)=\frac{1}{e^T-1}{\int }_0^T{e}^{t}f(t)dt$。

解析： （Ⅰ）当 $f(x)=x$ 时，方程为

$y^{\prime }+y=x$。

积分因子为 $e^x$，故

$(e^{x}y{)}^{\prime }=x{e}^x$。

积分得

$e^{x}y=e^x(x-1)+C$，

从而通解为

$y=x-1+C{e}^{-x}$。

（Ⅱ）对一般连续函数 $f(x)$，方程乘以积分因子 $e^x$，得

$(e^{x}y{)}^{\prime }=e^{x}f(x)$。

设 $y(0)=C$，则

$y(x)=e^{-x}\left[C+{\int }_0^x{e}^{t}f(t)dt\right]$。

若要使该解为 $T$ 周期函数，必要条件是

$y(T)=y(0)=C$。

即

$e^{-T}\left[C+{\int }_0^T{e}^{t}f(t)dt\right]=C$。

由于 $T>0$，有 $e^T-1\ne 0$，故唯一确定

$C=\frac{1}{e^T-1}{\int }_0^T{e}^{t}f(t)dt$。

取上述 $C$，下面验证所得解确为周期解。由 $f(t+T)=f(t)$，有

$$\begin{array}{rl}y(x+T)& =e^{-(x+T)}\left[C+{\int }_0^{x+T}{e}^{t}f(t)dt\right]\\ & =e^{-(x+T)}\left[C+{\int }_0^T{e}^{t}f(t)dt+{\int }_T^{x+T}{e}^{t}f(t)dt\right].\end{array}$$

作代换 $t=u+T$，则

$${\int }_T^{x+T}{e}^{t}f(t)dt=e^T{\int }_0^x{e}^{u}f(u)du$$

。

又由 $C(e^T-1)={\int }_0^T{e}^{t}f(t)dt$，得到

$C+{\int }_0^T{e}^{t}f(t)dt=C{e}^T$。

故

$$\begin{array}{rl}y(x+T)& =e^{-(x+T)}{e}^T\left[C+{\int }_0^x{e}^{u}f(u)du\right]\\ & =y(x).\end{array}$$

因此周期解存在。

再证明唯一性。若 $y_1,y_2$ 都是 $T$ 周期解，则

$z=y_1-y_2$

满足齐次方程

$z^{\prime }+z=0$，

故

$z=K{e}^{-x}$。

由周期性

$K{e}^{-(x+T)}=K{e}^{-x}$，

即

$K(e^{-T}-1)=0$。

因为 $e^{-T}\ne 1$，所以 $K=0$，从而 $y_1\equiv y_2$。因此 $T$ 周期解唯一。

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8. 【2019-23-10 分】 设函数 $y(x)$ 是微分方程

$y^{\prime }-xy=\frac{1}{2\sqrt{x}}{e}^{\frac{x^2}{2}}$

满足条件 $y(1)=\sqrt{e}$ 的特解。

（1）求 $y(x)$；

（2）设平面区域

$$D=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2,0\le y\le y(x)\}$$

，

求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。

查看答案与解析

答案： （1）$y(x)=\sqrt{x}{e}^{\frac{x^2}{2}}$；

（2）$V=\frac{\pi }{2}\left(e^4-e\right)$。

解析： （1）原方程为一阶线性微分方程

$y^{\prime }-xy=\frac{1}{2\sqrt{x}}{e}^{\frac{x^2}{2}},x>0$。

积分因子为

$\mu (x)=e^{\int -xdx}=e^{-\frac{x^2}{2}}$。

方程两边乘以 $e^{-x^2/2}$，得

${\left(e^{-\frac{x^2}{2}}y\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$。

积分得

$e^{-\frac{x^2}{2}}y=\sqrt{x}+C$，

所以

$y=e^{\frac{x^2}{2}}\left(\sqrt{x}+C\right)$。

利用初始条件 $y(1)=\sqrt{e}$，有

$\sqrt{e}=e^{1/2}(1+C)$，

故 $C=0$。因此

$y(x)=\sqrt{x}{e}^{\frac{x^2}{2}}$。

（2）区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转，所得旋转体的体积为

$V=\pi {\int }_1^2[y(x){]}^{2}dx$。

由于

$[y(x){]}^2=x{e}^{x^2}$，

故

$$\begin{array}{rl}V& =\pi {\int }_1^{2}x{e}^{x^2}dx\\ & =\frac{\pi }{2}{\int }_1^2{e}^{x^2}d(x^2)\\ & =\frac{\pi }{2}\left(e^4-e\right).\end{array}$$

因此所求体积为

$V=\frac{\pi }{2}\left(e^4-e\right)$。

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9. 【2022-13-10 分】 设函数 $y=y(x)$ 是微分方程

$y^{\prime }+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}$

满足 $y(1)=3$ 的解，求曲线 $y=y(x)$ 的渐近线。

查看答案与解析

答案： $y=2x+e^{1-\sqrt{x}}$，曲线的渐近线为

$y=2x$。

解析： 原方程是一阶线性微分方程，且由系数中的 $\sqrt{x}$ 可知定义域取 $x>0$。

标准形式为

$y^{\prime }+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}$。

积分因子为

$\mu (x)=e^{\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx}=e^{\sqrt{x}}$。

方程两边同乘 $e^{\sqrt{x}}$，得

${\left(e^{\sqrt{x}}y\right)}^{\prime }=(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}$。

注意到

${\left(2x{e}^{\sqrt{x}}\right)}^{\prime }=(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}$，

故积分得

$e^{\sqrt{x}}y=2x{e}^{\sqrt{x}}+C$，

即

$y=2x+C{e}^{-\sqrt{x}}$。

利用初始条件 $y(1)=3$，有

$3=2+C{e}^{-1}$，

所以

$C=e$。

因此

$y=2x+e^{1-\sqrt{x}}$。

当 $x\to +\infty$ 时，

$y-2x=e^{1-\sqrt{x}}\to 0$，

故直线

$y=2x$

是曲线的斜渐近线。

又当 $x\to 0^{+}$ 时，

$y(x)\to e$，

函数不趋于无穷大，因此 $x=0$ 不是竖直渐近线。故曲线只有渐近线

$y=2x$。

---

10. 【2022-2-12 分】 设 $y(x)$ 是微分方程

$2x{y}^{\prime }-4y=2\ln x-1$

满足 $y(1)=\frac{1}{4}$ 的解，求曲线 $y=y(x)(1\le x\le e)$ 的弧长。

查看答案与解析

答案： $y=\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\ln x$，所求弧长为

$L=\frac{e^2+1}{4}$。

解析： 原方程除以 $2x$，得

$y^{\prime }-\frac{2}{x}y=\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{2x}$。

这是关于 $y$ 的一阶线性微分方程，其积分因子为

$\mu (x)=e^{\int -\frac{2}{x}dx}=x^{-2}$。

方程两边同乘 $x^{-2}$，得

${\left(x^{-2}y\right)}^{\prime }=x^{-3}\ln x-\frac{1}{2}{x}^{-3}$。

计算右端积分：

$\int x^{-3}\ln xdx=-\frac{\ln x}{2x^2}-\frac{1}{4x^2}$，

且

$-\frac{1}{2}\int x^{-3}dx=\frac{1}{4x^2}$。

因此

$x^{-2}y=-\frac{\ln x}{2x^2}+C$，

从而

$y=-\frac{1}{2}\ln x+C{x}^2$。

利用初始条件 $y(1)=\frac{1}{4}$，得

$C=\frac{1}{4}$。

故

$y=\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\ln x$。

于是

$y^{\prime }=\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}=\frac{x^2-1}{2x}$。

曲线在 $[1,e]$ 上的弧长为

$L={\int }_1^e\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$。

又

$$\begin{array}{rl}1+[y^{\prime }(x){]}^2& =1+\frac{(x^2-1{)}^2}{4x^2}\\ & =\frac{(x^2+1{)}^2}{4x^2}。\end{array}$$

由于 $x\in [1,e]$，故

$\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}=\frac{x^2+1}{2x}$。

因此

$$\begin{array}{rl}L& ={\int }_1^e\frac{x^2+1}{2x}dx\\ & ={\int }_1^e\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\right)dx\\ & ={\left[\frac{x^2}{4}+\frac{1}{2}\ln x\right]}_1^e\\ & =\frac{e^2+1}{4}。\end{array}$$

故所求弧长为

$L=\frac{e^2+1}{4}$。