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五、功(数三不做)

小题​

（一）变力沿直线做功​

  1. 【1991-3-3 分】 x\displaystyle x 轴上有一线密度为常数 μ\displaystyle \mu，长度为 l\displaystyle l 的细杆，若质量为 m\displaystyle m 的质点到杆右端的距离为 a\displaystyle a，引力系数为 k\displaystyle k，则质点和细杆之间引力的大小为 A. ∫−l0kmμdx(a−x)2\displaystyle \int_{-l}^{0} \dfrac{k m \mu d x}{(a-x)^{2}} B. ∫0lkmμdx(a−x)2\displaystyle \int_{0}^{l} \dfrac{k m \mu d x}{(a-x)^{2}} C. 2∫−l20kmμdx(a+x)2\displaystyle 2 \int_{-\frac{l}{2}}^{0} \dfrac{k m \mu d x}{(a+x)^{2}} D. 2∫0l2kmμdx(a+x)2\displaystyle 2 \int_{0}^{\frac{l}{2}} \dfrac{k m \mu d x}{(a+x)^{2}}

题图：1991-3-3 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_1991_3_3.png）

  1. 【2025-2-5 分】 设单位质点 P\displaystyle P，Q\displaystyle Q 分别位于点(0,0)\displaystyle (0,0)和(0,1)\displaystyle (0,1)处，P\displaystyle P 从点(0,0)\displaystyle (0,0)出发沿 x\displaystyle x 轴正向移动，记 G\displaystyle G 为引力常量，则当质点 P\displaystyle P 移动到点(l,0)\displaystyle (l,0)时，克服质点 Q\displaystyle Q 的引力所做的功为( ) A. ∫0lGx2+1dx\displaystyle \int_{0}^{l} \dfrac{G}{x^{2}+1} d x B. ∫0lG(x2+1)32dx\displaystyle \int_{0}^{l} \dfrac{G}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x C. ∫0lGx(x2+1)32dx\displaystyle \int_{0}^{l} \dfrac{G x}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x D. ∫0lG(x+1)(x2+1)32dx\displaystyle \int_{0}^{l} \dfrac{G(x+1)}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x

大题​

（一）变力沿直线做功​

  1. 【1999-12-7 分】 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(见图)。已知井深30m\displaystyle 30m，抓斗自重400N\displaystyle 400N，缆绳每米重50N\displaystyle 50N，抓斗抓起的污泥重2000N\displaystyle 2000N，提升速度为3m/s\displaystyle 3m/s。在提升过程中，污泥以20N/s\displaystyle 20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:① 1 N×1 m=1 J\displaystyle 1 ~N \times 1 ~m=1 ~J；m,N,s,J\displaystyle m,N,s,J分别表示米、牛顿、秒、焦耳②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。)

题图：1999-12-7 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_1999_12_7.png）

  1. 【2003-1-10 分】 某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功。设土层对桩的阻力大小与桩被打入地下的深度成正比(比例系数为 k\displaystyle k，k>0\displaystyle k>0)，汽锤第一次击打将桩打进地下 a m\displaystyle a ~m。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数 r(0<r<1)\displaystyle r(0<r<1)。问: (1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？

（二）抽水做功​

  1. 【2011-2-11 分】 一容器的内侧是由图中曲线绕 y\displaystyle y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x2+y2=2y(y≥12)\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 y\left(y \ge \dfrac{1}{2}\right) 与 x2+y2=1(y≤12)\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\left(y \le \dfrac{1}{2}\right) 连接而成。 (Ⅰ)求容器的容积； (Ⅱ)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位: m\displaystyle m，重力加速度为 gm/s2\displaystyle gm/s^2，水的密度为 103 kg/m3\displaystyle 10^{3} ~kg / m^{3} )。

题图：2011-2-11 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_2011_2_11.png）