四、旋转曲面面积(数三不做)

大题

（一）参数方程下旋转曲面面积

1. 【2016-2-11 分】 设 $\displaystyle D$ 是由曲线 $\displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}(0 \le x \le 1)$ 与

$$\begin{cases}x=\cos ^{3} t \\ y=\sin ^{3} t\end{cases}\left(0 ≤t ≤\dfrac{\pi}{2}\right)$$

围成的平面区域，求 $\displaystyle D$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

（二）直角坐标系下旋转曲面面积

1. 【1998-2-8 分】 设有曲线 $\displaystyle y=\sqrt{x-1}$，过原点作其切线，求由此曲线、切线及 $\displaystyle x$ 轴围成的平面图形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所得旋转体的表面积。

2. 【2004-2-12 分】 曲线 $\displaystyle y=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ 与直线 $\displaystyle x=0$，$\displaystyle x=t(t>0)$ 及 $\displaystyle y=0$ 围成一曲边梯形。该曲边梯形绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 $\displaystyle V(t)$，侧面积为 $\displaystyle S(t)$，在 $\displaystyle x=t$ 处的底面积为 $\displaystyle F(t)$。 (1)求 $\displaystyle \dfrac{S(t)}{V(t)}$ 的值； (2)计算极限 $\displaystyle \lim _{t \to +\infty} \dfrac{S(t)}{F(t)}$。

3. 【2021-2-12 分】 $\displaystyle \int \dfrac{f(x)}{\sqrt{x}} d x=\dfrac{1}{6} x^{2}-x+C$。$\displaystyle L$ 为曲线 $\displaystyle y=f(x)(4 \le x \le 9)$，$\displaystyle L$ 的弧长为 $\displaystyle S$，$\displaystyle L$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转一周所形成的曲面的面积为 $\displaystyle A$，求 $\displaystyle S$ 和 $\displaystyle A$。