二、对变限积分的讨论

小题

1. 【1999-1234-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，$\displaystyle F(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的原函数，则(). A. 当 $\displaystyle f(x)$ 是奇函数时，$\displaystyle F(x)$ 必是偶函数 B. 当 $\displaystyle f(x)$ 是偶函数时，$\displaystyle F(x)$ 必是奇函数 C. 当 $\displaystyle f(x)$ 是周期函数时，$\displaystyle F(x)$ 必是周期函数 D. 当 $\displaystyle f(x)$ 是单调增函数时，$\displaystyle F(x)$ 必是单调增函数

2. 【2001-34-3 分】 设

$$f(x)= \begin{cases} \displaystyle \dfrac{1}{2}(x^{2}+1), & 0 \le x<1 \\[4pt] \displaystyle \dfrac{1}{3}(x-1), & 1 \le x \le2 \end{cases},\quad g(x)=\int_{0}^{x} f(u) d u$$

则$\displaystyle g(x)$ 在区间$\displaystyle (0,2)$内(). A. 无界    B. 递减    C. 不连续    D. 连续

3. 【2002-24-3 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 连续，则下列函数中，必为偶函数的是(). A. $\displaystyle \int_{0}^{x} f\left(t^{2}\right) d t$ B. $\displaystyle \int_{0}^{x} f^{2}(t) d t$ C. $\displaystyle \int_{0}^{x} t[f(t)-f(-t)] d t$ D. $\displaystyle \int_{0}^{x} t[f(t)+f(-t)] d t$

4. 【2004-4-4 分】 设

$$f(x)= \begin{cases} 1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0 \end{cases},\quad F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t$$

则( ). A. $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 点不连续 B. $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，在 $\displaystyle x=0$ 点不可导 C. $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内可导，且满足 $\displaystyle F'(x)=f(x)$ D. $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内可导，但不一定满足 $\displaystyle F'(x)=f(x)$

5. 【2005-12-4 分】 设 $\displaystyle F(x)$ 是连续函数 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，“$\displaystyle M \Leftrightarrow N$”表示 "$\displaystyle M$ 的充分必要条件是 $\displaystyle N$”，则必有( ) A. $\displaystyle F(x)$ 是偶函数 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 是奇函数 B. $\displaystyle F(x)$ 是奇函数 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 是偶函数 C. $\displaystyle F(x)$ 是周期函数 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 是周期函数 D. $\displaystyle F(x)$ 是单调函数 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 是单调函数

6. 【2006-2-4 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 是奇函数，除 $\displaystyle x=0$ 外处处连续，$\displaystyle x=0$ 是其第一类间断点，则 $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) d t$ () A. 连续的奇函数    B. 连续的偶函数 C. 在 $\displaystyle x=0$ 间断的奇函数    D. 在 $\displaystyle x=0$ 间断的偶函数

7. 【2009-123-4 分】

题图：2009-123-4 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_down_2009_123_4.png）

8. 【2013-2-4 分】 设函数

$$f(x)= \begin{cases} \sin x, & 0 \le x<\pi \\ 2, & \pi \le x \le2\pi \end{cases},\quad F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t$$

则( ) A. $\displaystyle x=\pi$ 是函数 $\displaystyle F(x)$ 的跳跃间断点 B. $\displaystyle x=\pi$ 是函数 $\displaystyle F(x)$ 的可去间断点 C. $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle x=\pi$ 处连续但不可导 D. $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle x=\pi$ 处可导

9. 【2020-3-4 分】 设奇函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，则() A. $\displaystyle \int_{0}^{x}[\cos f(t)+f'(t)] d t$ 是奇函数 B. $\displaystyle \int_{0}^{x}[\cos f(t)+f'(t)] d t$ 是偶函数 C. $\displaystyle \int_{0}^{x}\left[\cos f'(t)+f(t)\right] d t$ 是奇函数 D. $\displaystyle \int_{0}^{x}[\cos f'(t)+f(t)] d t$ 是偶函数

10. 【2024-12-5 分】 已知函数 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} e^{\cos t} d t,\ g(x)=\int_{0}^{\sin x} e^{t^{2}} d t$，则() A. $\displaystyle f(x)$ 是奇函数，$\displaystyle g(x)$ 是偶函数 B. $\displaystyle f(x)$ 是偶函数，$\displaystyle g(x)$ 是奇函数 C. $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 均为奇函数 D. $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 均为周期函数

大题

1. 【1993-3-9 分】 设 $\displaystyle f'(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续，且 $\displaystyle f(0)=0$，证明：$\displaystyle \left|\int_{0}^{a} f(x) d x\right| \le\dfrac{M a^{2}}{2}$，其中 $\displaystyle M=\max _{0 \le x \le a}|f'(x)|$

2. 【1997-4-7 分】 设$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(t) d t$ 试证: (1)若 $\displaystyle f(x)$ 为偶函数，则 $\displaystyle F(x)$ 也是偶函数； (2)若 $\displaystyle f(x)$ 为单调不增，则 $\displaystyle F(x)$ 单调不减。

3. 【2008-1-10 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数。 (Ⅰ)利用定义证明函数 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t$ 可导，且 $\displaystyle F'(x)=f(x)$； (Ⅱ)当 $\displaystyle f(x)$ 是以$\displaystyle 2$为周期的周期函数时，证明 $\displaystyle G(x)=2 \int_{0}^{x} f(t) d t-x \int_{0}^{2} f(t) d t$ 也是以$\displaystyle 2$为周期的周期函数。

4. 【2008-34-10 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 是周期为2的连续函数， (Ⅰ)证明对任意实数 $\displaystyle t$，有 $\displaystyle \int_{t}^{t+2} f(x) d x=\int_{0}^{2} f(x) d x$ (Ⅱ)证明 $\displaystyle G(x)=\int_{0}^{x}\left[2 f(t)-\int_{t}^{t+2} f(s) d s\right] d t$ 是周期为$\displaystyle 2$ 的周期函数。