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六、两类函数相乘的积分

小题​

  1. 【1989-5-5 分】 求不定积分 ∫x+ln⁡(1−x)x2dx\displaystyle \int \dfrac{x+\ln (1-x)}{x^{2}} d x .

  2. 【1989-3-4 分】 求 ∫dxxln⁡2x\displaystyle \int \dfrac{d x}{x \ln ^{2} x} .

  3. 【1990-3-5 分】 计算 ∫ln⁡x(1−x)2dx\displaystyle \int \dfrac{\ln x}{(1-x)^{2}} d x .

  4. 【1990-5-5 分】 求不定积分 ∫xcos⁡4x2sin⁡3xdx\displaystyle \int \dfrac{x \cos ^{4} \frac{x}{2}}{\sin ^{3} x} d x

  5. 【1991-5-5 分】 求不定积分 I=∫x21+x2arctan⁡xdx\displaystyle I=\int \dfrac{x^{2}}{1+x^{2}} \arctan xdx.

  6. 【1991-3-5 分】 求 ∫xsin⁡2xdx\displaystyle \int x \sin ^{2} x d x

  7. 【1992-45-5 分】 计算 I=∫arccot⁡exexdx\displaystyle I=\int \dfrac{\operatorname{arccot} e^{x}}{e^{x}} d x .

  8. 【1993-12-5 分】 求 ∫xexex−1dx\displaystyle \int \dfrac{x e^{x}}{\sqrt{e^{x}-1}} d x

  9. 【1993-3-3 分】 已知曲线 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 过点 (0,−12)\displaystyle (0,-\dfrac{1}{2})，且其上任一点 (x,y)\displaystyle (x, y) 处的切线斜率为 xln⁡(1+x2)\displaystyle x \ln (1+x^{2})，则 f(x)=___\displaystyle f(x)=\_\_\_

  10. 【1994-3-3 分】 ∫x3ex2dx=___\displaystyle \int x^{3} e^{x^{2}} d x=\_\_\_

  11. 【1997-2-5 分】 计算 ∫e2x(tan⁡x+1)2dx\displaystyle \int e^{2 x}(\tan x+1)^{2} d x .

  12. 【1998-34-3 分】 ∫ln⁡x−1x2dx=___\displaystyle \int \dfrac{\ln x-1}{x^{2}} d x=\_\_\_

  13. 【1998-2-3 分】 ∫ln⁡sin⁡xsin⁡2xdx=___\displaystyle \int \dfrac{\ln \sin x}{\sin ^{2} x} d x=\_\_\_

  14. 【2000-2-5 分】 设 f(ln⁡x)=ln⁡(1+x)x\displaystyle f(\ln x)=\dfrac{\ln (1+x)}{x}，计算 ∫f(x)dx\displaystyle \int f(x) d x .

  15. 【2000-4-3 分】 ∫arcsin⁡xxdx=___\displaystyle \int \dfrac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x=\_\_\_

  16. 【2002-4-3 分】 已知 f(x)\displaystyle f(x) 的一个原函数为 ln⁡2x\displaystyle \ln ^{2} x，则 ∫xf′(x)dx=___\displaystyle \int x f'(x) d x=\_\_\_

  17. 【2018-3-4 分】 ∫earcsin⁡exexdx=___\displaystyle \int \dfrac{e^{\arcsin e^{x}}}{e^{x}}dx=\_\_\_

大题​

  1. 【1994-5-6 分】 已知 sin⁡xx\displaystyle \dfrac{\sin x}{x} 是函数 f(x)\displaystyle f(x) 的一个原函数，求 ∫x3f′(x)dx\displaystyle \int x^{3} f'(x) d x

  2. 【1995-5-7 分】 求不定积分 ∫(arcsin⁡x)2dx\displaystyle \int(\arcsin x)^{2} d x .

  3. 【1996-3-8 分】 计算不定积分 ∫arctan⁡xx2(1+x2)dx\displaystyle \int \dfrac{\arctan x}{x^{2}(1+x^{2})} d x

  4. 【1999-4-6 分】 设 F(x)\displaystyle F(x) 为 f(x)\displaystyle f(x) 的原函数，且当 x≥0\displaystyle x \ge0 时，f(x)F(x)=xex2(1+x)2\displaystyle f(x) F(x)=\dfrac{x e^{x}}{2(1+x)^{2}}，已知 F(0)=1\displaystyle F(0)=1，F(x)>0\displaystyle F(x)>0，试求 f(x)\displaystyle f(x) .

  5. 【2001-1-6 分】 求 ∫arctan⁡exe2xdx\displaystyle \int \dfrac{\arctan e^{x}}{e^{2 x}} d x .

  6. 【2002-34-6 分】 设 f(sin⁡2x)=xsin⁡x\displaystyle f(\sin ^{2} x)=\dfrac{x}{\sin x}，求 ∫x1−xf(x)dx\displaystyle \int \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} f(x) d x .

  7. 【2003-2-9 分】 计算不定积分 ∫xearctan⁡x(1+x2)32dx\displaystyle \int \dfrac{x e^{\arctan x}}{(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}} d x .

  8. 【2006-2-10 分】 求 ∫arcsin⁡exexdx\displaystyle \int \dfrac{\arcsin e^{x}}{e^{x}} d x

  9. 【2009-23-10 分】 计算不定积分 ∫ln⁡(1+1+xx)dx(x>0)\displaystyle \int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) d x(x>0)

  10. 【2011-3-10 分】 求不定积分 ∫arcsin⁡x+ln⁡xxdx\displaystyle \int \dfrac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}} d x

  11. 【2018-12-10 分】 求不定积分 ∫e2xarctan⁡ex−1dx\displaystyle \int e^{2 x}\arctan \sqrt{e^{x}-1} d x