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一、不定积分的概念及性质

小题​

  1. 【1987-3-3 分】 ∫f′(x)dx=___\displaystyle \int f'(x)dx = \_\_\_；

  2. 【1990-3-3 分】 设函数 f(x)\displaystyle f(x) 在 (−∞,+∞)\displaystyle (-\infty,+\infty) 上连续，则 d[∫f(x)dx]\displaystyle d\left[\int f(x) dx\right] 等于( ). A. f(x)\displaystyle f(x)    B. f(x)dx\displaystyle f(x) dx C. f(x)+C\displaystyle f(x)+C    D. f′(x)dx\displaystyle f'(x) dx

  3. 【1992-3-3 分】 若 f(x)\displaystyle f(x) 的导数是 sin⁡x\displaystyle \sin x，则 f(x)\displaystyle f(x) 有一个原函数为(). A. 1+sin⁡x\displaystyle 1+\sin x    B. 1−sin⁡x\displaystyle 1-\sin x C. 1+cos⁡x\displaystyle 1+\cos x    D. 1−cos⁡x\displaystyle 1-\cos x

  4. 【1995-45-3 分】 设 f′(ln⁡x)=1+x\displaystyle f'(\ln x)=1+x，则 f(x)=___\displaystyle f(x)=\_\_\_

  5. 【1996-45-3 分】 设 ∫xf(x)dx=arcsin⁡x+C\displaystyle \int x f(x) dx=\arcsin x+C，则 ∫1f(x)dx=___\displaystyle \int \dfrac{1}{f(x)} dx=\_\_\_.

  6. 【2004-1-4 分】 已知 f′(ex)=xe−x\displaystyle f'(e^{x})=x e^{-x}，且 f(1)=0\displaystyle f(1)=0，则 f(x)=___\displaystyle f(x)=\_\_\_

  7. 【2014-12-4 分】 设 f(x)\displaystyle f(x) 是周期为4 的可导奇函数，且 f′(x)=2(x−1), x∈[0,2]\displaystyle f'(x)=2(x-1),\ x \in[0,2]，则 f(7)=___\displaystyle f(7)=\_\_\_.

  8. 【2016-12-4 分】 已知函数

f(x)={2(x−1),x<1ln⁡x,x≥1f(x)= \begin{cases} 2(x-1), & x<1 \\ \ln x, & x \ge 1 \end{cases}

则 f(x)\displaystyle f(x) 的一个原函数是( )

A. F(x)={(x−1)2,x<1x(ln⁡x−1),x≥1B. F(x)={(x−1)2,x<1x(ln⁡x+1)−1,x≥1C. F(x)={(x−1)2,x<1x(ln⁡x+1)+1,x≥1D. F(x)={(x−1)2,x<1x(ln⁡x−1)+1,x≥1\begin{aligned} &A.\ F(x)=\begin{cases}(x-1)^2, &x<1\\x(\ln x-1), &x \ge1\end{cases} \\ &B.\ F(x)=\begin{cases}(x-1)^2, &x<1\\x(\ln x+1)-1, &x \ge1\end{cases} \\ &C.\ F(x)=\begin{cases}(x-1)^2, &x<1\\x(\ln x+1)+1, &x \ge1\end{cases} \\ &D.\ F(x)=\begin{cases}(x-1)^2, &x<1\\x(\ln x-1)+1, &x \ge1\end{cases} \end{aligned}
  1. 【2024-2-5 分】
f(x)={11+x2,x≤0(x+1)cos⁡x,x>0f(x)= \begin{cases} \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}, & x \le0 \\[4pt] (x+1)\cos x, & x>0 \end{cases}

求 f(x)\displaystyle f(x) 的原函数为( ).

A. F(x)={ln⁡(1+x2−x),x≤0(x+1)cos⁡x−sin⁡x,x>0B. F(x)={ln⁡(1+x2−x)+1,x≤0(x+1)cos⁡x−sin⁡x,x>0C. F(x)={ln⁡(1+x2−x),x≤0(x+1)sin⁡x+cos⁡x,x>0D. F(x)={ln⁡(1+x2+x)+1,x≤0(x+1)sin⁡x+cos⁡x,x>0\begin{aligned} &A.\ F(x)=\begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, & x>0\end{cases} \\ &B.\ F(x)=\begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)+1, & x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, & x>0\end{cases} \\ &C.\ F(x)=\begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, & x>0\end{cases} \\ &D.\ F(x)=\begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)+1, & x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, & x>0\end{cases} \end{aligned}