六、经济学应用(数三专项)

小题

1. 【1989-5-3 分】 某商品的需求量$\displaystyle Q$与价格$\displaystyle P$的函数关系为$\displaystyle Q=ap^b$，其中$\displaystyle a$和$\displaystyle b$常数，且$\displaystyle a \neq 0$，则需求量对价格$\displaystyle P$的弹性是

2. 【1992-45-3 分】 设商品的需求函数为$\displaystyle Q=100-5P$，其中$\displaystyle Q$，$\displaystyle P$分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1，则商品价格的取值范围是（元）。

3. 【2001-34-3 分】 设生产函数为$\displaystyle Q=A L^{\alpha} K^{\beta}$，其中$\displaystyle Q$是产出量，$\displaystyle L$是劳动投入量，$\displaystyle K$是资本投入量，而$\displaystyle A$，$\displaystyle \alpha$，$\displaystyle \beta$均为大于零的参数，则当$\displaystyle Q=1$时$\displaystyle K$关于$\displaystyle L$的弹性为

4. 【2007-34-4 分】 设某商品的需求函数为$\displaystyle Q=160-2p$，其中$\displaystyle Q$，$\displaystyle p$分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( ) A. 10    B. 20    C. 30    D. 40

5. 【2009-3-4 分】 设某产品的需求函数为$\displaystyle Q=Q(P)$，其对应价格$\displaystyle P$的弹性$\displaystyle \xi_P=0.2$，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加_________元。

6. 【2010-3-4 分】 设某商品的收益函数为$\displaystyle R(p)$，收益弹性为$\displaystyle 1+p^3$，其中$\displaystyle p$为价格，且$\displaystyle R(1)=1$，则$\displaystyle R(p)=$

7. 【2014-3-4 分】 设某商品的需求函数为$\displaystyle Q=40-2P$($\displaystyle P$为商品的价格)，则该商品的边际收益为

8. 【2017-3-4 分】 设生产某产品的平均成本$\displaystyle \bar{C}(Q)=1+e^{-Q}$，其中$\displaystyle Q$为产量，则边际成本为

9. 【2018-3-4 分】 设某产品的成本函数$\displaystyle C(Q)$可导，其中$\displaystyle Q$为产量，若产量为$\displaystyle Q_0$时平均成本最小，则( ) A. $\displaystyle C'(Q_0)=0$ B. $\displaystyle C'(Q_0)=C(Q_0)$ C. $\displaystyle C'(Q_0)=Q_0 C(Q_0)$ D. $\displaystyle Q_0 C'(Q_0)=C(Q_0)$

10. 【2019-3-4 分】 以$\displaystyle p_A$，$\displaystyle p_B$分别表示A，B两种商品的价格，设商品A的需求函数为$\displaystyle Q_A=500-p_A^2-p_A p_B+2p_B^2$，则当$\displaystyle p_A=10$，$\displaystyle p_B=20$时，商品A的需求量对自身价格的弹性$\displaystyle \eta_{AA}(\eta_{AA}>0)$为

11. 【2020-3-4 分】 设$\displaystyle Q$表示产量，成本为$\displaystyle C(Q)=100+13Q$，单价为$\displaystyle P$，需求量$\displaystyle Q(P)=\dfrac{800}{P+3}-2$。则工厂取得利润最大时的产量为

12. 【2023-3-5 分】 设某公司在$\displaystyle t$时刻的资产为$\displaystyle f(t)$，从0时刻到$\displaystyle t$时刻的平均资产等于$\displaystyle \dfrac{f(t)}{t}-t$，假设$\displaystyle f(t)$连续且$\displaystyle f(0)=0$，则$\displaystyle f(t)=$

13. 【2024-3-5 分】 某产品的价格函数为$\displaystyle p= \begin{cases}25-0.25 Q, & Q \leq 20 \\ 35-0.75 Q, & Q>20\end{cases}$（$\displaystyle p$为单价，单位：万元；$\displaystyle Q$为产量，单位：件），总成本函数为$\displaystyle C=150+5Q+0.25Q^2$(万元)，则经营该产品可获得的最大利润为______万元。

大题

1. 【1987-5-8 分】 设某产品的总成本函数为$\displaystyle C(x)=400+3x+\dfrac{1}{2}x^2$，而需求函数为$\displaystyle p=\dfrac{100}{\sqrt{x}}$，其中$\displaystyle x$为产量(假定等于需求量)，$\displaystyle p$为价格。试求： (1)边际成本；(2)边际收益；(3)边际利润；(4)收益的价格弹性。

2. 【1987-4-6 分】 已知某商品的需求量$\displaystyle x$对价格$\displaystyle p$的弹性为$\displaystyle \eta=-3p^3$，而市场对商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数。

3. 【1988-4-8 分】 已知某商品的需求量$\displaystyle D$和供给量都是价格$\displaystyle p$的函数：$\displaystyle D=D(p)=\dfrac{a}{p^2}$，$\displaystyle S=S(p)=bp$，其中$\displaystyle a>0$和$\displaystyle b>0$是常数；价格$\displaystyle p$是时间$\displaystyle t$的函数，且满足方程$\displaystyle \dfrac{dp}{dt}=k[D(p)-S(p)]$（$\displaystyle k$是常数），假设当$\displaystyle t=0$时价格为1。试求： (1)需求量等于供给量时的均衡价格$\displaystyle p_e$； (2)价格函数$\displaystyle p(t)$； (3)极限$\displaystyle \lim_{t \to \infty} p(t)$。

4. 【1989-4-9 分】 设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为$\displaystyle p=p(x)=10e^{-\frac{x}{2}}$，且最大需求量为6，其中$\displaystyle x$表示需求量，$\displaystyle p$表示价格。 (1)求该商品的边际收益函数。 (2)求使收益最大时的产量，最大收益和相应价格。 (3)画出收益函数的图形。

5. 【1989-5-6 分】 已知某企业的总收入函数为$\displaystyle R=26x-2x^2-4x^3$，总成本函数为$\displaystyle C=8x+x^2$，其中$\displaystyle x$表示产品的产量，求利润函数，边际收入函数，边际成本函数，以及企业获得最大利润时的产量和最大利润。

6. 【1991-45-8 分】 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为$\displaystyle P_1$和$\displaystyle P_2$，销售分别为$\displaystyle q_1$和$\displaystyle q_2$，需求函数分别为$\displaystyle q_1=24-0.2P_1$和$\displaystyle q_2=10-0.05P_2$，总成本函数为$\displaystyle C=35+40(q_1+q_2)$，试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？

7. 【1992-5-6 分】 设生产某产品的固定成本为10，而当产量为$\displaystyle x$时的边际成本函数为$\displaystyle MC=-40-20x+3x^2$，边际收入函数为$\displaystyle MR=32+10x$，试求： (1)总利润函数； (2)使总利润最大的产量。

8. 【1993-5-7 分】 已知某厂生产$\displaystyle x$件产品的成本为$\displaystyle C=25000+200x+\dfrac{1}{40}x^2$，问： (1)要使平均成本最小，应生产多少件产品？ (2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

9. 【1993-4-9 分】 设某产品的成本函数为$\displaystyle C=aq^2+bq+c$，需求函数为$\displaystyle q=\dfrac{1}{e}(d-p)$，其中$\displaystyle C$为成本，$\displaystyle q$为需求量(即产量)，$\displaystyle p$为单价，$\displaystyle a,b,c,d,e$都是正的常数，且$\displaystyle d>b$，求： (1)利润最大时的产量及最大利润； (2)需求对价格的弹性； (3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量。

10. 【1995-45-6 分】 设某产品的需求函数为$\displaystyle Q=Q(P)$，收益函数为$\displaystyle R=PQ$，其中$\displaystyle P$为产品价格，$\displaystyle Q$为需求量(产品的产量)，$\displaystyle Q(P)$是单调减函数，如果当价格为$\displaystyle P_0$，对应的产量为$\displaystyle Q_0$时，边际收益$\displaystyle \dfrac{dR}{dQ}|_{Q=Q_0}=a>0$，收益对价格的边际效应$\displaystyle \dfrac{dR}{dP}|_{P=P_0}=c<0$，需求对价格的弹性为$\displaystyle E_p=b>1$，求$\displaystyle P_0$和$\displaystyle Q_0$。

11. 【1996-45-6 分】 设某种商品的单价为$\displaystyle p$时，售出的商品数量$\displaystyle Q$可以表示成$\displaystyle Q=\dfrac{a}{p+b}-c$，其中$\displaystyle a,b,c$均为正数，且$\displaystyle a>bc$。 (1)求$\displaystyle p$在何范围变化时，使相应销售额增加或减少； (2)要使销售额最大，商品单价$\displaystyle p$应取何值？最大销售额是多少？

12. 【1997-4-7 分】 假设某种商品的需求量$\displaystyle Q$是单价$\displaystyle p$(单位：元)的函数：$\displaystyle Q=12000-80p$，商品的总成本是需求量的函数：$\displaystyle C=25000+50Q$，每单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额。

13. 【1997-3-6 分】 一商家销售某种商品的价格满足关系$\displaystyle p=7-0.2x$(万元/吨)，$\displaystyle x$为销售量(单位：吨)，商品的成本函数$\displaystyle C=3x+1$(万元)。 (1)若每销售一吨商品，政府要征税$\displaystyle t$(万元)，求该商家获最大利润时的销售量； (2)$\displaystyle t$为何值时，政府税收总额最大。

14. 【1997-3-6 分】 在经济学中，称函数$\displaystyle Q(x)=A[\delta K^{-x}+(1-\delta) L^{-x}]^{-\frac{1}{x}}$为固定替代弹性生产函数，而称函数$\displaystyle \bar{Q}=A K^{\delta} L^{1-\delta}$为C-D生产函数(简称C-D生产函数)。试证明：当$\displaystyle x \to 0$时，固定替代弹性生产函数变为C-D生产函数，即有$\displaystyle \lim_{x \to 0} Q(x)=\bar{Q}$。

15. 【1998-34-6 分】 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定$\displaystyle t=0$)就售出，总收入为$\displaystyle R_0$(元)，如果窖藏起来，待来日按陈酒价格出售，$\displaystyle t$年末总收入为$\displaystyle R=R_0 e^{\frac{2}{5}\sqrt{t}}$。假定银行的年利率为$\displaystyle r$，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求$\displaystyle r=0.06$时的$\displaystyle t$值。

16. 【2000-34-6 分】 假设某企业在两个相互分割的市场出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是$\displaystyle p_1=18-2Q_1$，$\displaystyle p_2=12-Q_2$，其中$\displaystyle p_1$和$\displaystyle p_2$分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是$\displaystyle C=2Q+5$，其中$\displaystyle Q$表示该产品在两个市场的销售总量，即$\displaystyle Q=Q_1+Q_2$。 (1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润； (2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小。

17. 【2001-4-7 分】 某商品进价为$\displaystyle a$(元/件)，根据以往经验，当销售价为$\displaystyle b$(元/件)时，销售量为$\displaystyle c$件（$\displaystyle a,b,c$均为正常数，且$\displaystyle b \geq \dfrac{4}{3}a$），市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价。试问，当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润。

18. 【2002-4-7 分】 设某商品的需求量$\displaystyle Q$是价格$\displaystyle p$的单调减少函数：$\displaystyle Q=Q(p)$，其需求弹性$\displaystyle \eta=\dfrac{2p^2}{192-p^2}>0$。 (1)设$\displaystyle R$为总收益函数，证明$\displaystyle \dfrac{dR}{dp}=Q(1-\eta)$； (2)求$\displaystyle p=6$时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。

19. 【2003-4-8 分】 设某商品从时刻0到时刻$\displaystyle t$的销售量为$\displaystyle x(t)=kt$，$\displaystyle t \in [0,T]$，$\displaystyle (k>0)$。欲在$\displaystyle T$时将数量为$\displaystyle A$的该商品销售完，试求： (1)$\displaystyle t$时的商品剩余量，并确定$\displaystyle k$的值； (2)在时间段$\displaystyle [0,T]$上的平均剩余量。

20. 【2004-34-9 分】 设某商品的需求函数为$\displaystyle Q=100-5P$，其中价格$\displaystyle P \in (0,20)$，$\displaystyle Q$为需求量。 (1)求需求量对价格的弹性$\displaystyle E_d(E_d>0)$； (2)推导$\displaystyle \dfrac{dR}{dP}=Q(1-E_d)$（其中$\displaystyle R$为收益），并用弹性$\displaystyle E_d$说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加。

21. 【2012-3-10 分】 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为$\displaystyle x$(件)和$\displaystyle y$(件)，且这两种产品的边际成本分别为$\displaystyle 20+\dfrac{x}{2}$(万元/件)与$\displaystyle 6+y$(万元/件)。 (Ⅰ)求生产甲乙两种产品的总成本函数$\displaystyle C(x,y)$(万元)； (Ⅱ)当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小，求最小总成本； (Ⅲ)求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。

22. 【2013-3-10 分】 设生产某产品的固定成本为60000元，可变成本为20元/件，价格函数为$\displaystyle P=60-\dfrac{Q}{1000}$，($\displaystyle P$是单价，单位：元，$\displaystyle Q$是销量，单位：件)，已知产销平衡，求： (1)该商品的边际利润。 (2)当$\displaystyle P=50$时的边际利润，并解释其经济意义。 (3)使得利润最大的定价$\displaystyle P$。

23. 【2015-3-10 分】 为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设$\displaystyle Q$为该商品的需求量，$\displaystyle p$为价格，$\displaystyle MC$为边际成本，$\displaystyle \eta$为需求弹性$\displaystyle (\eta>0)$。 (1)证明定价模型为$\displaystyle p=\dfrac{MC}{1-\frac{1}{\eta}}$； (2)若该商品的成本函数为$\displaystyle C(Q)=1600+Q^2$，需求函数为$\displaystyle Q=40-p$，试由(1)中的定价模型确定此商品的价格。

24. 【2016-3-10 分】 设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数$\displaystyle Q=Q(p)$，需求弹性$\displaystyle \eta=\dfrac{p}{120-p}(\eta>0)$，$\displaystyle p$为单价(万元)。 (1)求需求函数的表达式； (2)求$\displaystyle p=100$万元时的边际收益，并说明其经济意义。