二、单调性和凹凸性

小题

（一）对概念的直接考查

1. 【1987-5-2 分】 判断正误：若函数$\displaystyle f(x)$在区间$\displaystyle (a,b)$单调递增，则对区间$\displaystyle (a,b)$内任何一点$\displaystyle x$，都有$\displaystyle f'(x)>0$。

2. 【1987-3-5 分】 若$\displaystyle f(x)$在$\displaystyle (a,b)$内可导，且导数恒大于零，试证$\displaystyle f(x)$在$\displaystyle (a,b)$内单调增加。

3. 【1995-3-3 分】 设$\displaystyle f(x)$在$\displaystyle (-\infty,+\infty)$内可导，对任意$\displaystyle x_1>x_2$，都有$\displaystyle f(x_1)>f(x_2)$，则( )。 A. 对任意$\displaystyle x,f'(x)>0$    B. 对任意$\displaystyle x,f'(-x)\le0$ C. $\displaystyle f(-x)$单调增加    D. $\displaystyle -f(-x)$单调增加

4. 【1997-34-3 分】 若$\displaystyle f(-x)=f(x)$，在$\displaystyle (0,+\infty)$内$\displaystyle f'(x)>0,f''(x)<0$，则在$\displaystyle (-\infty,0)$内( )。 A. $\displaystyle f'(x)>0,f''(x)<0$ B. $\displaystyle f'(x)>0,f''(x)>0$ C. $\displaystyle f'(x)<0,f''(x)<0$ D. $\displaystyle f'(x)<0,f''(x)>0$

5. 【2001-12-3 分】 已知$\displaystyle y=f(x)$在定义域内可导，给出$\displaystyle f(x)$图像，选择$\displaystyle f'(x)$图像。

题图：2001-12-3 题图（缺少图片文件：高数真题图片/gs_up_2001_12_3.png）

6. 【2001-2-3 分】 $\displaystyle f(x)$在$\displaystyle (1-\delta,1+\delta)$内二阶可导，$\displaystyle f'(x)$严格单调减少，$\displaystyle f(1)=f'(1)=1$，则( )。 A. $\displaystyle (1-\delta,1)$和$\displaystyle (1,1+\delta)$均有$\displaystyle f(x)<x$ B. $\displaystyle (1-\delta,1)$和$\displaystyle (1,1+\delta)$均有$\displaystyle f(x)>x$ C. $\displaystyle (1-\delta,1)$内$\displaystyle f(x)<x$，$\displaystyle (1,1+\delta)$内$\displaystyle f(x)>x$ D. $\displaystyle (1-\delta,1)$内$\displaystyle f(x)>x$，$\displaystyle (1,1+\delta)$内$\displaystyle f(x)<x$

7. 【2022-2-5 分】 设$\displaystyle f(x)$在$\displaystyle x_0$处有2阶导数，则( )。 A. $\displaystyle f(x)$在$\displaystyle x_0$邻域单调增$\displaystyle \Rightarrow f'(x_0)>0$ B. $\displaystyle f'(x_0)>0 \Rightarrow f(x)$在$\displaystyle x_0$某邻域单调增加 C. $\displaystyle f(x)$在$\displaystyle x_0$邻域凹$\displaystyle \Rightarrow f''(x_0)>0$ D. $\displaystyle f''(x_0)>0 \Rightarrow f(x)$在$\displaystyle x_0$某邻域是凹函数

8. 【2025-123-5 分】 设$\displaystyle f(x)$在$\displaystyle (a,b)$内可导，证明：$\displaystyle f'(x)$在$\displaystyle (a,b)$严格递增$\displaystyle \iff$任意$\displaystyle x_1<x_2<x_3$，有

$$\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\dfrac{f(x_3)-f(x_3)}{x_3-x_2}.$$

（二）求单调区间与凹凸区间

1. 【1991-3-3 分】 曲线$\displaystyle y=e^{-x^2}$的凸区间是____。

2. 【1993-123-3 分】 $\displaystyle F(x)=\int_{1}^{x}\left(2-\dfrac1{\sqrt{t}}\right)\mathrm{d}t(x>0)$单调减少区间为____。

3. 【2004-2-4 分】 设参数方程

$$\begin{cases}x=t^3+3t+1\\ y=t^3-3t+1 \end{cases}$$

确定$\displaystyle y=y(x)$，则曲线凸区间为____。

（三）求函数最值

1. 【1990-4-5 分】 求$\displaystyle I(x)=\int_{e}^{x}\dfrac{\ln t}{(t-1)^2}\mathrm{d}t$在$\displaystyle [e,e^2]$上最大值。

2. 【1992-3-3 分】 $\displaystyle y=x+2\cos x$在$\displaystyle \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$最大值为____。

3. 【2009-2-4 分】 $\displaystyle y=x^{2x}$在$\displaystyle (0,1]$最小值为____。

（四）比较大小

1. 【2012-2-4 分】 $\displaystyle f(x,y)$可微，$\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}>0,\dfrac{\partial f}{\partial y}<0$，则$\displaystyle f(x_1,y_1)<f(x_2,y)$的充分条件( )。 A. $\displaystyle x_1>x_2,y_1<y_2$ B. $\displaystyle x_1>x_2,y_1>y_2$ C. $\displaystyle x_1<x_2,y_1<y_2$ D. $\displaystyle x_1<x_2,y_1>y_2$

2. 【2014-123-4 分】 $\displaystyle f(x)$在$\displaystyle [0,1]$二阶可导，$\displaystyle g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x$，则( )。 A. $\displaystyle f'(x)\ge0\Rightarrow f(x)\ge g(x)$ B. $\displaystyle f'(x)\ge0\Rightarrow f(x)\le g(x)$ C. $\displaystyle f''(x)\ge0\Rightarrow f(x)\ge g(x)$ D. $\displaystyle f''(x)\ge0\Rightarrow f(x)\le g(x)$

3. 【2017-2-4 分】 二阶可导，$\displaystyle f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1,f''(x)>0$，则( )。 A. $\displaystyle \int_{-1}^1f(x)\mathrm{d}x>0$ B. $\displaystyle \int_{-1}^1f(x)\mathrm{d}x<0$ C. $\displaystyle \int_{-1}^0f(x)\mathrm{d}x>\int_0^1f(x)$ D. $\displaystyle \int_{-1}^0f(x)\mathrm{d}x<\int_0^1f(x)$

4. 【2017-2-4 分】 $\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}>0,\dfrac{\partial f}{\partial y}<0$，则( )。 A. $\displaystyle f(0,0)>f(1,1)$    B. $\displaystyle f(0,0)<f(1,1)$ C. $\displaystyle f(0,1)>f(1,0)$    D. $\displaystyle f(0,1)<f(1,0)$

5. 【2017-13-4 分】 $\displaystyle f(x)$可导，$\displaystyle f(x)f'(x)>0$，则( )。 A. $\displaystyle f(1)>f(-1)$    B. $\displaystyle f(1)<f(-1)$ C. $\displaystyle |f(1)|>|f(-1)|$    D. $\displaystyle |f(1)|<|f(-1)|$

6. 【2018-23-4 分】 $\displaystyle f(x)$在$\displaystyle [0,1]$二阶可导，$\displaystyle \int_0^1f(x)\mathrm{d}x=0$，则( )。 A. $\displaystyle f'(x)<0\Rightarrow f(\dfrac{1}{2})<0$ B. $\displaystyle f''(x)<0\Rightarrow f(\dfrac{1}{2})<0$ C. $\displaystyle f'(x)>0\Rightarrow f(\dfrac{1}{2})<0$ D. $\displaystyle f''(x)>0\Rightarrow f(\dfrac{1}{2})<0$

7. 【2020-2-4 分】 $\displaystyle f(x)$在$\displaystyle [-2,2]$可导，$\displaystyle f'(x)>f(x)>0$，则( )。 A. $\displaystyle \dfrac{f(-2)}{f(-1)}>1$ B. $\displaystyle \dfrac{f(0)}{f(-1)}>e$ C. $\displaystyle \dfrac{f(1)}{f(-1)}<e^2$ D. $\displaystyle \dfrac{f(2)}{f(-1)}<e^3$

（五）函数不等式

1. 【1990-5-5 分】 证明：$\displaystyle 1+x\ln(x+\sqrt{1+x^2})\ge\sqrt{1+x^2},x\in\mathbb R$。

（六）常数不等式

1. 【1993-5-5 分】 $\displaystyle b>a>e$，证明$\displaystyle a^b>b^a$。

2. 【2000-3-3 分】 $\displaystyle f(x),g(x)>0$可导，$\displaystyle f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0$，$\displaystyle a<x<b$则( )。 A. $\displaystyle f(x)g(b)>f(b)g(x)$ B. $\displaystyle f(x)g(a)>f(a)g(x)$ C. $\displaystyle f(x)g(x)>f(b)g(b)$ D. $\displaystyle f(x)g(x)>f(a)g(a)$

（七）方程根的个数

1. 【1989-3-3 分】 $\displaystyle 3a^2-5b<0$，方程$\displaystyle x^5+2ax^3+3bx+4c=0$( )。 A. 无实根    B. 唯一实根    C. 三个不同实根    D. 五个不同实根

2. 【1990-5-5 分】 $\displaystyle 0<q<1$，证$\displaystyle x+p+q\cos x=0$恰一个实根。

3. 【1993-12-5 分】 $\displaystyle [0,+\infty)$连续可导，$\displaystyle f'(x)\ge k>0,f(0)<0$，证$\displaystyle f(x)$在$\displaystyle (0,+\infty)$仅有一个零点。

4. 【1993-3-3 分】 $\displaystyle k>0,f(x)=\ln x-\dfrac xe+k$在$\displaystyle (0,+\infty)$零点个数( )。 A. $\displaystyle 3$    B. $\displaystyle 2$    C. $\displaystyle 1$    D. $\displaystyle 0$

5. 【1994-5-3 分】 $\displaystyle [a,b]$连续，$\displaystyle f(x)>0$，方程$\displaystyle \int_a^xf(t)\mathrm{d}t+\int_b^x\dfrac1{f(t)}\mathrm{d}t=0$在$\displaystyle (a,b)$根( )。 A. $\displaystyle 0$    B. $\displaystyle 1$    C. $\displaystyle 2$    D. 无穷多

6. 【1996-3-3 分】 $\displaystyle |x|^{\frac{1}{4}}+|x|^{\frac{1}{2}}-\cos x=0$在$\displaystyle \mathbb R$内( )。 A. 无实根    B. 仅有一个实根    C. 两个实根    D. 无穷多根

7. 【2005-34-4 分】 $\displaystyle f(x)=2x^3-9x^2+12x-a$恰两个零点，则$\displaystyle a=$( )。 A. $\displaystyle 2$    B. $\displaystyle 4$    C. $\displaystyle 6$    D. $\displaystyle 8$

8. 【2008-1-4 分】 $\displaystyle f(x)=\int_0^{x^2}\ln(2+t)\mathrm{d}x$，$\displaystyle f'(x)$零点个数( )。 A. $\displaystyle 0$    B. $\displaystyle 1$    C. $\displaystyle 2$    D. $\displaystyle 3$

9. 【2019-3-4 分】 $\displaystyle x^5-5x+k$三个不同实根，则$\displaystyle k\in$( )。 A. $\displaystyle (-\infty,-4)$    B. $\displaystyle (4,+\infty)$ C. $\displaystyle \{-4,4\}$    D. $\displaystyle (-4,4)$

10. 【2021-23-5 分】 $\displaystyle f(x)=ax-b\ln x(a>0)$有两个零点，则$\displaystyle \dfrac ba\in$( )。 A. $\displaystyle (e,+\infty)$ B. $\displaystyle (0,e)$ C. $\displaystyle (0,\dfrac{1}{e})$ D. $\displaystyle (\dfrac{1}{e},+\infty)$

大题

（一）对概念的直接考查

1. 【1991-4-6 分】 试证明函数 $\displaystyle f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x$ 在区间$\displaystyle (0,+\infty)$内单调增加。

2. 【1992-4-6 分】 求证：当$\displaystyle x\ge1$时，$\displaystyle \arctan x-\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{2x}{1+x^2}=\dfrac{\pi}{4}$。

（二）求单调区间与凹凸区间

1. 【2007-34-10 分】 $\displaystyle y\ln y-x+y=0$确定隐函数$\displaystyle y=y(x)$，判断在点$\displaystyle (1,1)$附近凹凸性。

2. 【2021-2-12 分】 $\displaystyle f(x)=\dfrac{x|x|}{1+x}$，求凹凸区间与渐近线。

（三）求函数最值

1. 【1988-35-8 分】 长为$\displaystyle a$铁丝截两段，一段围成正方形，一段围成圆形，两段各多长时面积之和最小。

2. 【1993-3-9 分】 作半径$\displaystyle r$球外切正圆锥，高$\displaystyle h$取何值体积最小，求最小体积。

3. 【1995-3-8 分】 求$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x^2}(2-t)e^{-t}\mathrm{d}t$最大、最小值。

4. 【2003-4-9 分】 $\displaystyle a>1,f(t)=a^t-at$驻点$\displaystyle t(a)$，$\displaystyle a$取何值$\displaystyle t(a)$最小并求最小值。

5. 【2004-2-11 分】 (1)证明 $\displaystyle f(x)=\int_{x}^{x+\frac{\pi}{2}}|\sin t|\mathrm{d}t$以$\displaystyle \pi$为周期； (2)求$\displaystyle f(x)$值域。

6. 【2016-23-10 分】 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{1}|t^2-x^2|\mathrm{d}t(x>0)$，求$\displaystyle f'(x)$与$\displaystyle f(x)$最小值。

（四）函数不等式

1. 【1990-3-9 分】 证明：$\displaystyle x>0$时，$\displaystyle \arctan x+\dfrac{1}{x}>\dfrac{\pi}{2}$。

2. 【1991-5-6 分】 证明：$\displaystyle 0<x<+\infty$时，$\displaystyle \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)>\dfrac1{1+x}$。

3. 【1991-3-9 分】 证明：$\displaystyle x>1$时，$\displaystyle \dfrac{\ln(1+x)}{\ln x}>\dfrac{x}{1+x}$。

4. 【1993-5-6 分】 $\displaystyle p>1,q>1,\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$，求证：$\displaystyle x>0,\dfrac{1}{p}x^p+\dfrac{1}{q}\ge x$。

5. 【1993-3-9 分】 $\displaystyle a>e,x>0$，证明：$\displaystyle (a+x)^a<a^{a+x}$。

6. 【1994-4-6 分】 $\displaystyle f(x)$在$\displaystyle [a,+\infty)$连续，$\displaystyle f''(x)>0(a,+\infty)$，$\displaystyle F(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}(x>a)$，证明$\displaystyle F(x)$单调增加。

7. 【1994-3-9 分】 $\displaystyle f(x)$在$\displaystyle [0,1]$连续单调递减，$\displaystyle 0<\lambda<1$，证明$\displaystyle \int_0^\lambda f(x)\mathrm{d}x\ge\lambda\int_0^1f(x)\mathrm{d}x$。

8. 【1995-3-8 分】 $\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=1,f''(x)>0$，证明$\displaystyle f(x)\ge x$。

9. 【1997-3-6 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续且单调不减，$\displaystyle f(0)\geq 0$，

$$F(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x}\int_0^x t^n f(t)\,\mathrm{d}t, & x>0,\\ 0, & x=0. \end{cases}$$

证明：$\displaystyle F(x)$ 连续且单调不减 $\displaystyle (n>0)$。

10. 【1998-2-8 分】 $\displaystyle x\in(0,1)$，证明： (1)$\displaystyle (1+x)\ln^2(1+x)<x^2$； (2)$\displaystyle \dfrac1{\ln2}-1<\dfrac1{\ln(1+x)}-\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{2}$。

11. 【1999-1-6 分】 $\displaystyle x>0$，证$\displaystyle (x^2-1)\ln x\ge(x-1)^2$。

12. 【1999-4-6 分】 $\displaystyle 0<x<\pi$，证$\displaystyle \sin\dfrac x2>\dfrac x\pi$。

13. 【2005-34-8 分】 $\displaystyle f,g$在$\displaystyle [0,1]$导数连续，$\displaystyle f(0)=0,g'(x)\ge0$，$\displaystyle \forall a\in[0]$，$\displaystyle \int_0^a f'(x)g(x)\mathrm{d}x+\int_0^1g'(x)f(x)\mathrm{d}x\ge f(a)g(1)$。

14. 【2012-123-10 分】 $\displaystyle -1<x<1$，证明：$\displaystyle x\ln\dfrac{1+x}{1-x}+\cos x\ge1+\dfrac{x^2}{2}$。

15. 【2018-2-10 分】 $\displaystyle k\ge\ln2-1$，证明：$\displaystyle (x-1)\left(x-\ln^2x+2k\ln x-1\right)\ge0$。

（五）常数不等式

1. 【1992-123-7 分】 $\displaystyle f''(x)<0,f(0)=0$，$\displaystyle x_1,x_2>0$，证明$\displaystyle f(x_1+x_2)<f(x_1)+f(x_2)$。

2. 【2002-2-8 分】 $\displaystyle 0<a<b$，证明：$\displaystyle \dfrac{2a}{a^2+b^2}<\dfrac{\ln b-\ln a}{b-a}<\dfrac1{\sqrt{ab}}$。

3. 【2004-12-12 分】 $\displaystyle e<a<b<e^2$，证$\displaystyle \ln^2b-\ln^2a>\dfrac4{e^2}(b-a)$。

4. 【2004-3-10 分】 $\displaystyle f,g$在$\displaystyle [a,b]$连续，$\displaystyle \int_a^bf(t)\mathrm{d}t=\int_a^bg(t)\mathrm{d}t$，$\displaystyle x\in[a,b),\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\ge\int_a^xg(t)\mathrm{d}t$，求证$\displaystyle \int_a^bxf(x)\mathrm{d}x\le\int_a^bxg(x)\mathrm{d}x$。

5. 【2006-23-10 分】 $\displaystyle 0<a<b<\pi$，证明：$\displaystyle b\sin b+2\cos b+\pi b>a\sin a+2\cos a+\pi a$。

6. 【2014-23-11 分】 $\displaystyle f$在$\displaystyle [a,b]$连续单调增，$\displaystyle 0\le g(x)\le1$， (1)$\displaystyle 0\le\int_a^xg(t)\mathrm{d}t\le x-a$； (2)$\displaystyle \int_a^{a+\int_a^bg(t)\mathrm{d}t}f(x)\mathrm{d}x\le\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x$。

7. 【2015-2-10 分】 $\displaystyle [a,+\infty)$二阶可导，$\displaystyle f(a)=0,f'(x)>0,f''(x)>0$，$\displaystyle y=f(x)$在$\displaystyle b$切线交$\displaystyle x$于$\displaystyle x_0$，证$\displaystyle a<x_0<b$。

8. 【2022-12-12 分】 $\displaystyle f(x)$二阶连续可导，证明$\displaystyle f''(x)\ge0\iff f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\le\dfrac1{b-a}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$。

（六）方程根的个数

1. 【1987-12-10 分】 $\displaystyle [0,1]$可微，$\displaystyle 0<f(x)<1,f'(x)\neq1$，证存在唯一$\displaystyle x\in(0,1)$使$\displaystyle f(x)=x$。

2. 【1989-123-7 分】 证明：$\displaystyle \ln x=\dfrac xe-\int_0^\pi\sqrt{1-\cos2x}\mathrm{d}x$在$\displaystyle (0,+\infty)$仅有两个不同实根。

3. 【1994-3-9 分】 $\displaystyle x>0$，$\displaystyle kx+\dfrac1{x^2}=1$仅有一个解，求$\displaystyle k$范围。

4. 【1997-2-8 分】 按$\displaystyle k$讨论$\displaystyle x-\dfrac{\pi}{2}\sin x=k$在$\displaystyle (0,\dfrac{\pi}{2})$根的个数。

5. 【2003-2-12 分】 讨论$\displaystyle y=4\ln x+k$与$\displaystyle y=4x+\ln^4x$交点个数。

6. 【2011-10 分】 讨论$\displaystyle k\arctan x-x=0$实根个数。

7. 【2011-3-10 分】 证$\displaystyle 4\arctan x-x+\dfrac{4}{3}\pi-\sqrt3=0$恰两实根。

8. 【2015-2-11 分】 $\displaystyle f(x)=\int_x^1\sqrt{1+t}\mathrm{d}t+\int_1^{x^2}\sqrt{1+t}\mathrm{d}t$零点个数。

9. 【2017-3-10 分】 $\displaystyle \dfrac1{\ln(1+x)}-x=k$在$\displaystyle (0,1)$有实根，求$\displaystyle k$范围。