（一）求某点的切线和法线
【1987-3-3 分】 曲线 y = arctan x \displaystyle y=\arctan x y = arctan x 1 \displaystyle 1 1
【1988-3-4 分】 f ( x ) = 1 3 x 3 + 1 2 x 2 + 6 x + 1 \displaystyle f(x)=\dfrac{1}{3} x^{3}+\dfrac{1}{2} x^{2}+6 x+1 f ( x ) = 3 1 x 3 + 2 1 x 2 + 6 x + 1 ( 0 , 1 ) \displaystyle (0,1) ( 0 , 1 ) x \displaystyle x x ( − 1 6 , 0 ) \displaystyle \left(-\dfrac{1}{6}, 0\right) ( − 6 1 , 0 ) ( − 1 , 0 ) \displaystyle (-1,0) ( − 1 , 0 ) ( 1 6 , 0 ) \displaystyle \left(\dfrac{1}{6}, 0\right) ( 6 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) \displaystyle (1,0) ( 1 , 0 )
【1989-3-3 分】 曲线 y = ∫ 0 x ( t − 1 ) ( t − 2 ) d t \displaystyle y=\int_{0}^{x}(t-1)(t-2) d t y = ∫ 0 x ( t − 1 ) ( t − 2 ) d t ( 0 , 0 ) \displaystyle (0,0) ( 0 , 0 )
【1990-3-3 分】 曲线
{ x = cos 3 t y = sin 3 t \begin{cases}x=\cos^{3} t\\ y=\sin^{3} t \end{cases} { x = cos 3 t y = sin 3 t 上对应 t = π 6 \displaystyle t=\dfrac{\pi}{6} t = 6 π
【1995-45-3 分】 设 f ( x ) \displaystyle f(x) f ( x ) lim x → 0 f ( 1 ) − f ( 1 − x ) 2 = − 1 \displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(1)-f(1-x)}{2}=-1 x → 0 lim 2 f ( 1 ) − f ( 1 − x ) = − 1 y = f ( x ) \displaystyle y=f(x) y = f ( x ) ( 1 , f ( 1 ) ) \displaystyle (1,f(1)) ( 1 , f ( 1 )) 2 \displaystyle 2 2 − 1 \displaystyle -1 − 1 1 2 \displaystyle \dfrac{1}{2} 2 1 − 2 \displaystyle -2 − 2
【1995-3-3 分】 曲线
{ x = 1 + t 2 y = t 3 \begin{cases}x=1+t^{2}\\ y=t^{3} \end{cases} { x = 1 + t 2 y = t 3 在 t = 2 \displaystyle t=2 t = 2
【1996-4-3 分】 设 ( x 0 , y 0 ) \displaystyle (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 ) y = a x 2 + b x + c \displaystyle y=ax^2+bx+c y = a x 2 + b x + c a , b , c \displaystyle a,b,c a , b , c
【1997-1-3 分】 对数螺线 ρ = e θ \displaystyle \rho=e^{\theta} ρ = e θ ( ρ , θ ) = ( e π 2 , π 2 ) \displaystyle (\rho,\theta)=(e^{\frac{\pi}{2}},\dfrac{\pi}{2}) ( ρ , θ ) = ( e 2 π , 2 π )
【1998-34-3 分】 设曲线 f ( x ) = x n \displaystyle f(x)=x^n f ( x ) = x n ( 1 , 1 ) \displaystyle (1,1) ( 1 , 1 ) x \displaystyle x x ( ξ n , 0 ) \displaystyle (\xi_n,0) ( ξ n , 0 ) lim n → ∞ f ( ξ n ) = \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}f(\xi_n)= n → ∞ lim f ( ξ n ) =
【1999-2-3 分】 曲线
{ x = e t sin 2 t y = e t cos t \begin{cases}x=e^{t}\sin2t\\ y=e^{t}\cos t \end{cases} { x = e t sin 2 t y = e t cos t 在点( 0 , 1 ) \displaystyle (0,1) ( 0 , 1 )
【2001-2-3 分】 设函数 y = f ( x ) \displaystyle y=f(x) y = f ( x ) e 2 x + y − cos ( x y ) = e − 1 \displaystyle e^{2x+y}-\cos(xy)=e-1 e 2 x + y − cos ( x y ) = e − 1 y = f ( x ) \displaystyle y=f(x) y = f ( x ) ( 0 , 1 ) \displaystyle (0,1) ( 0 , 1 )
【2003-2-4 分】 设函数 y = f ( x ) \displaystyle y=f(x) y = f ( x ) x y + 2 ln x = y 4 \displaystyle xy+2\ln x=y^4 x y + 2 ln x = y 4 y = f ( x ) \displaystyle y=f(x) y = f ( x ) ( 1 , 1 ) \displaystyle (1,1) ( 1 , 1 )
【2004-1-4 分】 曲线 y = ln x \displaystyle y=\ln x y = ln x x + y = 1 \displaystyle x+y=1 x + y = 1
【2005-2-4 分】 设函数由参数方程
{ x = t 2 + 2 t y = ln ( 1 + t ) \begin{cases}x=t^{2}+2 t\\ y=\ln (1+t)\end{cases} { x = t 2 + 2 t y = ln ( 1 + t ) 确定，则曲线 y = y ( x ) \displaystyle y=y(x) y = y ( x ) x = 3 \displaystyle x=3 x = 3 x \displaystyle x x 1 8 ln 2 + 3 \displaystyle \dfrac{1}{8}\ln2+3 8 1 ln 2 + 3 − 1 8 ln 2 + 3 \displaystyle -\dfrac{1}{8}\ln2+3 − 8 1 ln 2 + 3 − 8 ln 2 + 3 \displaystyle -8\ln2+3 − 8 ln 2 + 3 8 ln 2 + 3 \displaystyle 8\ln2+3 8 ln 2 + 3
【2007-2-4 分】 曲线
{ x = cos t + cos 2 t y = 1 + sin t \begin{cases}x=\cos t+\cos^2 t\\ y=1+\sin t\end{cases} { x = cos t + cos 2 t y = 1 + sin t 上对应于 t = π 4 \displaystyle t=\dfrac{\pi}{4} t = 4 π
【2008-4-4 分】 已知 lim x → 0 f ( x ) x = 2 \displaystyle \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x}=2 x → 0 lim x f ( x ) = 2 y = f ( x ) \displaystyle y=f(x) y = f ( x ) x = 0 \displaystyle x=0 x = 0
【2008-12-4 分】 曲线 sin ( x y ) + ln ( y − x ) = x \displaystyle \sin(xy)+\ln(y-x)=x sin ( x y ) + ln ( y − x ) = x ( 0 , 1 ) \displaystyle (0,1) ( 0 , 1 )
【2009-2-4 分】 曲线
{ x = ∫ 0 1 − t e − u 2 d u y = t 2 ln ( 2 − t 2 ) \begin{cases}x=\int_{0}^{1-t} e^{-u^{2}} \mathrm{d} u\\ y=t^{2}\ln(2-t^{2}) \end{cases} { x = ∫ 0 1 − t e − u 2 d u y = t 2 ln ( 2 − t 2 ) 在( 0 , 0 ) \displaystyle (0,0) ( 0 , 0 )
【2011-3-4 分】 曲线 tan ( x + y + π 4 ) = e y \displaystyle \tan\left(x+y+\dfrac{\pi}{4}\right)=e^y tan ( x + y + 4 π ) = e y ( 0 , 0 ) \displaystyle (0,0) ( 0 , 0 )
【2013-2-4 分】 曲线
{ x = arctan t y = ln 1 + t 2 \begin{cases}x=\arctan t\\ y=\ln\sqrt{1+t^2} \end{cases} { x = arctan t y = ln 1 + t 2 上对应于 t = 1 \displaystyle t=1 t = 1
【2014-2-4 分】 曲线L \displaystyle L L r = θ \displaystyle r=\theta r = θ L \displaystyle L L ( r , θ ) = ( π 2 , π 2 ) \displaystyle (r,\theta)=\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) ( r , θ ) = ( 2 π , 2 π )
【2018-23-4 分】 曲线 y = x 2 + 2 ln x \displaystyle y=x^2+2\ln x y = x 2 + 2 ln x
【2019-2-4 分】 曲线
{ x = t − sin t y = 1 − cos t \begin{cases}x=t-\sin t\\ y=1-\cos t \end{cases} { x = t − sin t y = 1 − cos t 在 t = 3 2 π \displaystyle t=\dfrac{3}{2}\pi t = 2 3 π y \displaystyle y y
【2020-3-4 分】 曲线 x + y + e 2 x y = 0 \displaystyle x+y+e^{2xy}=0 x + y + e 2 x y = 0 ( 0 , − 1 ) \displaystyle (0,-1) ( 0 , − 1 )
【2023-2-5 分】 曲线 3 x 3 = y 5 + 2 y 3 \displaystyle 3x^3=y^5+2y^3 3 x 3 = y 5 + 2 y 3 x = 1 \displaystyle x=1 x = 1
（二）相切的充要条件
【1991-45-3 分】 设曲线 f ( x ) = x 3 + a x \displaystyle f(x)=x^3+ax f ( x ) = x 3 + a x g ( x ) = b x 2 + c \displaystyle g(x)=bx^2+c g ( x ) = b x 2 + c ( − 1 , 0 ) \displaystyle (-1,0) ( − 1 , 0 ) ( − 1 , 0 ) \displaystyle (-1,0) ( − 1 , 0 ) a = 0 , b = − 2 \displaystyle a=0,b=-2 a = 0 , b = − 2 a = 1 , b = − 3 \displaystyle a=1,b=-3 a = 1 , b = − 3 a = − 3 , b = 1 \displaystyle a=-3,b=1 a = − 3 , b = 1 a = − 1 , b = − 1 \displaystyle a=-1,b=-1 a = − 1 , b = − 1
【1991-3-3 分】 若曲线 y = x 2 + a x + b \displaystyle y=x^2+ax+b y = x 2 + a x + b 2 y = − 1 + x y 3 \displaystyle 2y=-1+xy^3 2 y = − 1 + x y 3 ( 1 , − 1 ) \displaystyle (1,-1) ( 1 , − 1 ) a , b \displaystyle a,b a , b a = 0 , b = − 2 \displaystyle a=0,b=-2 a = 0 , b = − 2 a = 1 , b = − 3 \displaystyle a=1,b=-3 a = 1 , b = − 3 a = − 3 , b = 1 \displaystyle a=-3,b=1 a = − 3 , b = 1 a = − 1 , b = − 1 \displaystyle a=-1,b=-1 a = − 1 , b = − 1
【2003-3-4 分】 已知曲线 y = x 3 − 3 a 2 x + b \displaystyle y=x^3-3a^2x+b y = x 3 − 3 a 2 x + b x \displaystyle x x b 2 = \displaystyle b^2= b 2 = a \displaystyle a a
【2010-2-4 分】 曲线 y = x 2 \displaystyle y=x^2 y = x 2 y = a ln x ( a ≠ 0 ) \displaystyle y=a\ln x(a\neq0) y = a ln x ( a = 0 ) a = \displaystyle a= a = 4 e \displaystyle 4e 4 e 3 \displaystyle 3 3 2 e \displaystyle 2e 2 e e \displaystyle e e
【2013-3-4 分】 设曲线 y = f ( x ) \displaystyle y=f(x) y = f ( x ) y = x 2 − x \displaystyle y=x^2-x y = x 2 − x ( 1 , 0 ) \displaystyle (1,0) ( 1 , 0 ) lim n → ∞ n f ( n n + 2 ) = \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}nf\left(\dfrac{n}{n+2}\right)= n → ∞ lim n f ( n + 2 n ) =
（三）导数的物理应用(数一、数二)
【1991-3-3 分】 质点以速度 t sin ( t 2 ) \displaystyle t\sin(t^2) t sin ( t 2 ) t 1 = π 2 \displaystyle t_1=\sqrt{\frac{\pi}{2}} t 1 = 2 π t 2 = π \displaystyle t_2=\sqrt{\pi} t 2 = π
【2010-2-4 分】 已知一个长方形的长l \displaystyle l l 2 c m / s \displaystyle 2\mathrm{cm/s} 2 cm/s w \displaystyle w w 3 c m / s \displaystyle 3\mathrm{cm/s} 3 cm/s l = 12 c m , w = 5 c m \displaystyle l=12\mathrm{cm},w=5\mathrm{cm} l = 12 cm , w = 5 cm
【2016-2-4 分】 已知动点P \displaystyle P P y = x 3 \displaystyle y=x^3 y = x 3 P \displaystyle P P l \displaystyle l l P \displaystyle P P v 0 \displaystyle v_0 v 0 P \displaystyle P P ( 1 , 1 ) \displaystyle (1,1) ( 1 , 1 ) l \displaystyle l l
【2021-2-5 分】 有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2 c m / s , − 3 c m / s \displaystyle 2\mathrm{cm/s},-3\mathrm{cm/s} 2 cm/s , − 3 cm/s 10 c m \displaystyle 10\mathrm{cm} 10 cm 5 c m \displaystyle 5\mathrm{cm} 5 cm 125 π c m 3 / s , 40 π c m 2 / s \displaystyle 125\pi \mathrm{cm^3/s},40\pi \mathrm{cm^2/s} 125 π c m 3 /s , 40 π c m 2 /s 125 π c m 3 / s , − 40 π c m 2 / s \displaystyle 125\pi \mathrm{cm^3/s},-40\pi \mathrm{cm^2/s} 125 π c m 3 /s , − 40 π c m 2 /s − 100 π c m 3 / s , 40 π c m 2 / s \displaystyle -100\pi \mathrm{cm^3/s},40\pi \mathrm{cm^2/s} − 100 π c m 3 /s , 40 π c m 2 /s − 100 π c m 3 / s , − 40 π c m 2 / s \displaystyle -100\pi \mathrm{cm^3/s},-40\pi \mathrm{cm^2/s} − 100 π c m 3 /s , − 40 π c m 2 /s
（四）曲率(数一、数二)
【2009-2-4 分】 若f ′ ′ ( x ) \displaystyle f''(x) f ′′ ( x ) y = f ( x ) \displaystyle y=f(x) y = f ( x ) ( 1 , 1 ) \displaystyle (1,1) ( 1 , 1 ) x 2 + y 2 = 2 \displaystyle x^2+y^2=2 x 2 + y 2 = 2 f ( x ) \displaystyle f(x) f ( x ) ( 1 , 2 ) \displaystyle (1,2) ( 1 , 2 )
【2012-2-4 分】 曲线 y = x 2 + x ( x < 0 ) \displaystyle y=x^2+x(x<0) y = x 2 + x ( x < 0 ) 2 2 \displaystyle \dfrac{\sqrt2}{2} 2 2
【2014-2-4 分】 曲线
{ x = t 2 + 7 y = t 2 + 4 t + 1 \begin{cases}x=t^2+7\\ y=t^2+4t+1 \end{cases} { x = t 2 + 7 y = t 2 + 4 t + 1 上对应于t = 1 \displaystyle t=1 t = 1 10 50 \displaystyle \dfrac{\sqrt{10}}{50} 50 10 10 100 \displaystyle \dfrac{\sqrt{10}}{100} 100 10 10 10 \displaystyle 10\sqrt{10} 10 10 5 10 \displaystyle 5\sqrt{10} 5 10
【2016-2-4 分】 设函数f i ( x ) ( i = 1 , 2 ) \displaystyle f_i(x)(i=1,2) f i ( x ) ( i = 1 , 2 ) f i ′ ′ ( x 0 ) < 0 \displaystyle f_i''(x_0)<0 f i ′′ ( x 0 ) < 0 y = f i ( x ) \displaystyle y=f_i(x) y = f i ( x ) ( x 0 , y 0 ) \displaystyle (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 ) y = g ( x ) \displaystyle y=g(x) y = g ( x ) y = f 1 ( x ) \displaystyle y=f_1(x) y = f 1 ( x ) y = f 2 ( x ) \displaystyle y=f_2(x) y = f 2 ( x ) x 0 \displaystyle x_0 x 0 f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ≤ g ( x ) \displaystyle f_1(x)\le f_2(x)\le g(x) f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ≤ g ( x ) f 2 ( x ) ≤ f 1 ( x ) ≤ g ( x ) \displaystyle f_2(x)\le f_1(x)\le g(x) f 2 ( x ) ≤ f 1 ( x ) ≤ g ( x ) f 1 ( x ) ≤ g ( x ) ≤ f 2 ( x ) \displaystyle f_1(x)\le g(x)\le f_2(x) f 1 ( x ) ≤ g ( x ) ≤ f 2 ( x ) f 2 ( x ) ≤ g ( x ) ≤ f 1 ( x ) \displaystyle f_2(x)\le g(x)\le f_1(x) f 2 ( x ) ≤ g ( x ) ≤ f 1 ( x )
【2018-2-4 分】 曲线
{ x = cos 3 t y = sin 3 t \begin{cases}x=\cos^3 t\\ y=\sin^3 t \end{cases} { x = cos 3 t y = sin 3 t 在 t = π 4 \displaystyle t=\dfrac{\pi}{4} t = 4 π
【2019-2-4 分】 设f ( x ) , g ( x ) \displaystyle f(x),g(x) f ( x ) , g ( x ) 2 \displaystyle 2 2 x = a \displaystyle x=a x = a lim x → a f ( x ) − g ( x ) ( x − a ) 2 = 0 \displaystyle \lim\limits_{x \to a}\dfrac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2}=0 x → a lim ( x − a ) 2 f ( x ) − g ( x ) = 0 x = a \displaystyle x=a x = a
【2024-2-5 分】 曲线y 2 = x \displaystyle y^2=x y 2 = x ( 0 , 0 ) \displaystyle (0,0) ( 0 , 0 )
（一）求某点的切线和法线
【1992-5-7 分】 给定曲线 y = 1 x 2 \displaystyle y=\dfrac{1}{x^{2}} y = x 2 1 x 0 \displaystyle x_0 x 0
【2000-2-7 分】 已知 f ( x ) \displaystyle f(x) f ( x ) 5 \displaystyle 5 5 x = 0 \displaystyle x=0 x = 0 f ( 1 + sin x ) − 3 f ( 1 − sin x ) = 8 x + α ( x ) \displaystyle f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)=8x+\alpha(x) f ( 1 + sin x ) − 3 f ( 1 − sin x ) = 8 x + α ( x ) α ( x ) \displaystyle \alpha(x) α ( x ) x → 0 \displaystyle x \to 0 x → 0 x \displaystyle x x f ( x ) \displaystyle f(x) f ( x ) x = 1 \displaystyle x=1 x = 1 y = f ( x ) \displaystyle y=f(x) y = f ( x ) ( 6 , f ( 6 ) ) \displaystyle (6,f(6)) ( 6 , f ( 6 ))
【2002-2-6 分】 已知曲线的极坐标方程是 r = 1 − cos θ \displaystyle r=1-\cos\theta r = 1 − cos θ θ = π 6 \displaystyle \theta=\dfrac{\pi}{6} θ = 6 π
（二）相切的充要条件
【2002-1-7 分】 已知两曲线 y = f ( x ) \displaystyle y=f(x) y = f ( x ) y = ∫ 0 arctan x e − t 2 d t \displaystyle y=\int_{0}^{\arctan x}e^{-t^2}\mathrm{d}t y = ∫ 0 a r c t a n x e − t 2 d t ( 0 , 0 ) \displaystyle (0,0) ( 0 , 0 ) lim n → ∞ n f ( 2 n ) \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}nf\left(\dfrac{2}{n}\right) n → ∞ lim n f ( n 2 )
（三）导数的物理应用(数一、数二)
【2001-2-7 分】 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S \displaystyle S S K > 0 \displaystyle K>0 K > 0 r 0 \displaystyle r_0 r 0 3 \displaystyle 3 3 7 8 \displaystyle \dfrac{7}{8} 8 7
【2018-2-11 分】 已知曲线L : y = 4 9 x 2 ( x ≥ 0 ) \displaystyle L:y=\dfrac{4}{9}x^2(x\ge0) L : y = 9 4 x 2 ( x ≥ 0 ) O ( 0 , 0 ) \displaystyle O(0,0) O ( 0 , 0 ) A ( 0 , 1 ) \displaystyle A(0,1) A ( 0 , 1 ) P \displaystyle P P L \displaystyle L L S \displaystyle S S O A \displaystyle OA O A A P \displaystyle AP A P L \displaystyle L L P \displaystyle P P ( 3 , 4 ) \displaystyle (3,4) ( 3 , 4 ) x \displaystyle x x 4 \displaystyle 4 4 S \displaystyle S S t \displaystyle t t