五、方向导数与梯度(数一)

小题

1. 【1991-12-5 分】 设 $\displaystyle \vec{n}$ 是曲面 $\displaystyle 2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=6$ 在点 $\displaystyle P(1,1,1)$ 处的指向外侧的法向量，求函数 $\displaystyle u=\dfrac{\sqrt{6 x^{2}+8 y^{2}}}{z}$ 在点 P 处沿方向 $\displaystyle \vec{n}$ 的方向导数.

2. 【1992-12-3 分】 函数 $\displaystyle u=\ln (x^{2}+y^{2}+z^{2})$ 在点 $\displaystyle M(1,2,-2)$ 处的梯度 $\displaystyle \operatorname{grad} u|_{M}=$

3. 【1996-12-3 分】 函数 $\displaystyle u=\ln (x+\sqrt{y^{2}+z^{2}})$ 在点 $\displaystyle A(1,0,1)$ 处沿点 A 指向点 $\displaystyle B(3,-2,2)$ 方向的方向导数为

4. 【2005-1-4 分】 设函数 $\displaystyle u(x,y,z)=1+\dfrac{x^{2}}{6}+\dfrac{y^{2}}{12}+\dfrac{z^{2}}{18}$， 单位向量 $\displaystyle \vec n=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$，则 $\displaystyle \dfrac{\partial u}{\partial n}|_{(1,2,3)}=$

5. 【2008-1-4 分】 函数 $\displaystyle f(x,y)=\arctan \dfrac{x}{y}$ 在点(0,1) 处的梯度等于（ ） A. i    B. - i    C. j    D. -j

6. 【2012-1-4 分】 $\displaystyle \left.\operatorname{\operatorname{grad}}\left(x y+\dfrac{z}{y}\right)\right|_{(2,1,1)}=$

7. 【2017-1-4 分】 函数 $\displaystyle f(x,y,z)=x^{2} y+z^{2}$ 在点(1,2,0) 处沿向量 $\displaystyle n=(1,2,2)$ 的方向导数为（ ） A. 12    B. 6    C. 4    D. 2

8. 【2022-1-5 分】 设 $\displaystyle f(x,y)=x^{2}+2 y^{2}$，求其在(0,1) 处的最大方向导数.

9. 【2025-1-5 分】 已知函数 $\displaystyle u(x,y,z)=x y^{2} z^{3}$， 向量 $\displaystyle \vec{n}=\langle 2,2,-1\rangle$，则 $\displaystyle \dfrac{\partial u}{\partial n}|_{(1,1,1)}=$

大题

1. 【2002-1-7 分】 设有一小山，取它的底面所在的平面为 $\displaystyle xOy$ 坐标面，其底部所占的区域为 $\displaystyle D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}-xy\leq75\}$， 小山的高度函数为 $\displaystyle h(x,y)=75-x^{2}-y^{2}+xy$. (1)设 $\displaystyle M(x_{0},y_{0})$ 为区域 D 上一点，问 $\displaystyle h(x,y)$ 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为 $\displaystyle g(x_{0},y_{0})$，试写出 $\displaystyle g(x_{0},y_{0})$ 的表达式; (2) 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡难度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在 D 的边界线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-x y=75$ 上找出使(1) 中的 $\displaystyle g(x,y)$ 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.

2. 【2015-1-10 分】 已知函数 $\displaystyle f(x,y)=x+y+x y$， 曲线 $\displaystyle C: x^{2}+y^{2}+x y=3$，求 $\displaystyle f(x,y)$ 在曲线 C 上的最大方向导数.