一、连续与间断点

小题

（一）函数的连续性

1. 【1987-45-2 分】 下列函数在其定义域内连续的是（ ）. A. $\displaystyle f(x)=\ln x+\sin x$ B. $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\sin x, & x \leq 0, \\ \cos x, & x>0\end{cases}$ C. $\displaystyle f(x)= \begin{cases}x+1, & x<0, \\ 0, & x=0, \\ x-1, & x>0\end{cases}$ D. $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\dfrac{1}{\sqrt{|x|}}, & x \neq 0, \ 0, & x=0 .\end{array}\right.$

2. 【1988-3-4 分】 若 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}2 x+a,& x \leq0 \\ e^{x}(\sin x+\cos x),& x>0\end{cases}$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的连续函数,则 $\displaystyle a=$

3. 【1989-3-3 分】 设 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}a+b x^{2},x \leq0 \\ \dfrac{\sin b x}{x},& x>0\end{cases}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则常数 a 与 b 应满足的关系是

4. 【1990-45-3 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 有连续的导函数，且 $\displaystyle f(0)=0$， $\displaystyle f'(0)=b$ 若函数 $\displaystyle F(x)= \begin{cases}\dfrac{f(x)+a \sin x}{x},& x \ne0 \\ A,& x=0\end{cases}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则常数 $\displaystyle A=$

5. 【1992-4-5 分】 设函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\dfrac{\ln \cos (x-1)}{1-\sin \frac{\pi}{2} x},& x \ne1 \\ 1,& x=1\end{cases}$， 问函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处是否连续? 若不连续，修改函数在 $\displaystyle x=1$ 处的定义，使之连续.

6. 【1994-3-3 分】 若 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\dfrac{\sin 2 x+e^{2 a x}-1}{x},x \ne0 \\ a,x=0 & \end{cases}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $\displaystyle a=$

7. 【1995-3-3 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有定义，$\displaystyle f(x)$ 为连续函数，且 $\displaystyle f(x) \ne0$， $\displaystyle \varphi(x)$ 有间断点，则（ ）. A. $\displaystyle \varphi[f(x)]$ 必有间断点 B. $\displaystyle [\varphi(x)]^{2}$ 必有间断点 C. $\displaystyle f[\varphi(x)]$ 必有间断点 D. $\displaystyle \dfrac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点

8. 【1997-2-3 分】 已知 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}(\cos x)^{x^{-2}},& x \ne0 \\ a,x=0\end{cases}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则a = ___

9. 【2000-2-3 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{a+e^{b x}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=0$，则常数 a b 满足（ ） A. $\displaystyle a<0, b<0$    B. $\displaystyle a>0, b>0$ C. $\displaystyle a \leq 0, b>0$    D. $\displaystyle a \geq 0, b<0$

10. 【2002-2-3 分】 设函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\dfrac{1-e^{\tan x}}{\arcsin \frac{x}{2}},x>0 \\ a e^{2 x},x \leq0\end{cases}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则 $\displaystyle a=$

11. 【2004-34-4 分】 设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有定义，且 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=a$， $\displaystyle g(x)= \begin{cases}f(\dfrac{1}{x}),x \ne0 \\ 0,x=0\end{cases}$ 则（ ） A. $\displaystyle x=0$ 必是 $\displaystyle g(x)$ 的第一类间断点 B. $\displaystyle x=0$ 必是 $\displaystyle g(x)$ 的第二类间断点 C. $\displaystyle x=0$ 必是 $\displaystyle g(x)$ 的连续点 D. $\displaystyle g(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 处的连续性与 a 的取值有关

12. 【2006-2-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\dfrac{1}{x^{3}} \int_{0}^{x} \sin t^{2} d t,& x \ne0 \\ a,& x=0\end{cases}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则 a =

13. 【2008-34-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}x^{2}+1,& |x| \leq c \\ \dfrac{2}{|x|},& |x|>c\end{cases}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，则 $\displaystyle c=$

14. 【2017-123-4 分】 若函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\dfrac{1-\cos \sqrt{x}}{a x},& x>0 \\ b,& x \leq0\end{cases}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，则（ ） A. $\displaystyle a b=\dfrac{1}{2}$    B. $\displaystyle a b=-\dfrac{1}{2}$ C. $\displaystyle a b=0$    D. $\displaystyle a b=2$

15. 【2018-2-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}-1,& x<0 \\ 1,& x \geq0\end{cases}$， $\displaystyle g(x)= \begin{cases}x,& -1<x<0 \\ b,& x\geq0\end{cases}$ 若 $\displaystyle f(x)+g(x)$ 在 R 上连续，则（ ） A. $\displaystyle a=3, b=1$    B. $\displaystyle a=3, b=2$ C. $\displaystyle a=-3, b=1$    D. $\displaystyle a=-3, b=2$

（二）间断点

1. 【1990-3-3 分】 设 $\displaystyle F(x)= \begin{cases}\dfrac{f(x)}{x},& x \ne0 \\ f(0),& x=0\end{cases}$，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，$\displaystyle f'(0)\ne0$， $\displaystyle f(0)=0$，则 $\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle F(x)$ 的（ ）. A. 连续点    B. 第一类间断点    C. 第二类间断点    D. 连续点或间断点不能由此确定

2. 【1998-2-5 分】 求函数 $\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{x}{\tan (x-\frac{\pi}{4})}}$ 在区间 $\displaystyle (0,2\pi)$ 内的间断点，并判断其类型.

3. 【1998-34-3 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty} \dfrac{1+x}{1+x^{2 n}}$ 讨论函数 $\displaystyle f(x)$ 的间断点，其结论为（ ）. A. 不存在间断点    B. 存在间断点 $\displaystyle x=1$ C. 存在间断点 $\displaystyle x=0$    D. 存在间断点 $\displaystyle x=-1$

4. 【2004-2-4 分】 设 $\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty} \dfrac{(n-1) x}{n x^{2}+1}$，则 $\displaystyle f(x)$ 的间断点为 $\displaystyle x=$

5. 【2005-2-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{e^{\frac{x}{x-1}}-1}$，则（ ） A. $\displaystyle x=0$ , $\displaystyle x=1$ 都是 $\displaystyle f(x)$ 的第一类间断点 B. $\displaystyle x=0$ , $\displaystyle x=1$ 都是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点 C. $\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的第一类间断点, $\displaystyle x=1$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点 D. $\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的第二类间断点, $\displaystyle x=1$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的第一类间断点

6. 【2007-2-4 分】 函数 $\displaystyle f(x)=\dfrac{(e^{\frac{1}{x}}+e) \tan x}{x(e^{\frac{1}{x}}-e)}$ 在 $\displaystyle [-\pi,\pi]$ 上的第一类间断点是 $\displaystyle x=( )$ A. 0    B. 1 C. $\displaystyle -\dfrac{\pi}{2}$    D. $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$

7. 【2008-2-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=\dfrac{\ln |x|}{|x-1|} \sin x$，则 $\displaystyle f(x)$ 有（ ） A. 1 个可去间断点, 1 个跳跃间断点    B. 1 个跳跃间断点, 1 个无穷间断点 C. 2 个跳跃间断点    D. 2 个无穷间断点

8. 【2008-34-4 分】 设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续，则 $\displaystyle x=0$ 是函数 $\displaystyle g(x)=\dfrac{\int_{0}^{x} f(t) d t}{x}$ 的（ ） A. 跳跃间断点    B. 可去间断点    C. 无穷间断点    D. 振荡间断点

9. 【2009-23-4 分】 函数 $\displaystyle f(x)=\dfrac{x-x^{3}}{\sin \pi x}$ 的可去间断点的个数为（ ） A. 1    B. 2    C. 3    D. 无穷多个

10. 【2010-2-4 分】 函数 $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}-x}{x^{2}-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}$ 的无穷间断点的个数为（ ） A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

11. 【2013-3-4 分】 函数 $\displaystyle f(x)=\dfrac{|x|^{x}-1}{x(x+1) \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为（ ） A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

12. 【2015-2-4 分】 函数 $\displaystyle f(x)=\lim_{t \to 0}(1+\dfrac{\sin t}{x})^{\frac{x^{2}}{t}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内（ ） A. 连续    B. 有可去间断点    C. 有跳跃间断点    D. 有无穷间断点

13. 【2020-23-4 分】 $\displaystyle f(x)=\dfrac{e^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{(e^{x}-1)(x-2)}$ 的第二类间断点的个数为（ ） A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

14. 【2024-2-5 分】 函数 $\displaystyle f(x)=|x| \dfrac{1}{(1-x)(x-2)}$ 的第一类间断点的个数是（ ） A. 3    B. 2    C. 1    D. 0

15. 【2024-3-5 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty} \dfrac{1+x}{1+n x^{2 n}}$ 则 $\displaystyle f(x)( )$ A. 在 $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle x=-1$ 处都连续 B. 在 $\displaystyle x=1$ 处连续, $\displaystyle x=-1$ 处不连续 C. 在 $\displaystyle x=1$ , $\displaystyle x=-1$ 处都不连续 D. 在 $\displaystyle x=1$ 处不连续, $\displaystyle x=-1$ 处连续

大题

（一）函数的连续性

1. 【2003-3-8 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\pi x}+\dfrac{1}{\sin \pi x}-\dfrac{1}{\pi(1-x)},x \in[\dfrac{1}{2},1)$.试补充定义 $\displaystyle f(1)$ 使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [\dfrac{1}{2},1]$ 上连续.

2. 【2003-4-8 分】 设函数 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\sin \pi x}-\dfrac{1}{\pi x}-\dfrac{1}{\pi(1-x)},x \in(0,\dfrac{1}{2}]$.试补充定义 $\displaystyle f(0)$ 使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,\dfrac{1}{2}]$ 上连续.

（二）间断点

1. 【2001-2-7 分】 求极限 $\displaystyle \lim_{t \to x}(\dfrac{\sin t}{\sin x})^{\frac{x}{\sin t-\sin x}}$ 记此极限为 $\displaystyle f(x)$，求函数 $\displaystyle f(x)$ 的间断点并指出其类型.

2. 【2003-2-10 分】 设函数 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}\dfrac{\ln (1+\alpha x)}{x-\arcsin x},& x<0 \\ 6,& x=0 \\ \dfrac{e^{\alpha x}+x^{2}-\alpha x-1}{x \sin \frac{x}{4}},& x>0\end{cases}$ 问 a 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续; a 为何值时，$\displaystyle x=0$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的可去间断点?