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四、对收敛性及极限性质的考查

小题​

  1. 【1987-3-4 分】 函数 f(x)=xsin⁡x()\displaystyle f(x)=x \sin x( ) A. 当 x→∞\displaystyle x \to \infty 时为无穷大 B. 当 x→∞\displaystyle x \to \infty 时有极限 C. 在 (−∞,+∞)\displaystyle (-\infty,+\infty) 内有界 D. 在 (−∞,+∞)\displaystyle (-\infty,+\infty) 内无界

  2. 【1988-45-2 分】 判断正误: 若极限 lim⁡x→x0f(x)\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} f(x) 与 lim⁡x→x0f(x)g(x)\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} f(x) g(x) 都存在，则极限 lim⁡x→x0g(x)\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} g(x) 必存在.

  3. 【1988-3-4 分】 若 f(x)\displaystyle f(x) 与 g(x)\displaystyle g(x) 在 (−∞,+∞)\displaystyle (-\infty,+\infty) 上皆可导，且 f(x)<g(x)\displaystyle f(x)<g(x)，则必有（ ）. A. f(−x)>g(−x)\displaystyle f(-x)>g(-x) B. f′(x)<g′(x)\displaystyle f'(x)<g'(x) C. lim⁡x→x0f(x)<lim⁡x→x0g(x)\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} f(x)<\lim_{x \to x_{0}} g(x) D. ∫0xf(t)dt<∫0xg(t)dt\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) d t<\int_{0}^{x} g(t) d t

  4. 【1991-5-3 分】 设数列的通项为 xn={n2+nn,若n为奇数1n,若n为偶数\displaystyle x_{n}= \begin{cases}\dfrac{n^{2}+\sqrt{n}}{n},& 若n为奇数 \\ \dfrac{1}{n},& 若n为偶数\end{cases} 则当 n→∞\displaystyle n \to \infty 时 xn\displaystyle x_{n} 是（ ）. A. 无穷大量    B. 无穷小量    C. 有界变量    D. 无界变量

  5. 【1993-3-3 分】 当 x→0\displaystyle x \to 0 时. 1x2sin⁡1x\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}} \sin \dfrac{1}{x} 是（ ）. A. 无穷小    B. 无穷大    C. 有界的,但不是无穷小的    D. 无界的,但不是无穷大

  6. 【1998-2-3 分】 设数列 xn\displaystyle {x_{n}} 与 yn\displaystyle {y_{n}} 满足 lim⁡n→∞xnyn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} y_{n}=0，则下列断言正确的是（ ）. A. 若 xn\displaystyle {x_{n}} 发散, 则 yn\displaystyle {y_{n}} 必发散 B. 若 xn\displaystyle {x_{n}} 无界,则 yn\displaystyle {y_{n}} 必有界 C. 若 xn\displaystyle {x_{n}} 有界, 则 yn\displaystyle {y_{n}} 必为无穷小 D. 若 1xn\displaystyle {\dfrac{1}{x_{n}}} 为无穷小, 则 yn\displaystyle {y_{n}} 必为无穷小

  7. 【1999-2-3 分】 "对任意给定的 ε∈(0,1)\displaystyle \varepsilon \in(0,1)， 总存在正整数 N， 当 n≥N\displaystyle n \geq N 时，恒有 ∣xn−a∣≤2ε\displaystyle |x_{n}-a| \leq2 \varepsilon "是数列 xn\displaystyle {x_{n}} 收敛于 a 的（ ）. A. 充分条件但非必要条件    B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件    D. 既非充分条件又非必要条件

  8. 【2000-34-3 分】 设对任意的 x，总有 φ(x)≤f(x)≤g(x)\displaystyle \varphi(x) \leq f(x) \leq g(x)，且 lim⁡x→∞[g(x)−φ(x)]=0\displaystyle \lim_{x \to \infty}[g(x)-\varphi(x)]=0，则 lim⁡x→∞f(x)()\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)( ) A. 存在且等于零    B. 存在但不一定为零    C. 一定不存在    D. 不一定存在

  9. 【2003-12-4 分】 设 an\displaystyle {a_{n}}， bn\displaystyle {b_{n}}， cn\displaystyle {c_{n}} 均为非负数列，且 lim⁡n→∞an=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n}=0， lim⁡n→∞bn=1\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_{n}=1， lim⁡n→∞cn=∞\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_{n}=\infty 则必有（ ）. A. an<bn\displaystyle a_{n}<b_{n} 对任意 n 成立 B. bn<cn\displaystyle b_{n}<c_{n} 对任意 n 成立 C. 极限 lim⁡n→∞ancn\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n} c_{n} 不存在 D. 极限 lim⁡n→∞bncn\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_{n} c_{n} 不存在

  10. 【2007-12-4 分】 设函数 f(x)\displaystyle f(x) 在 (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) 内具有二阶导数，且 f′′(x)>0\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0， 令 un=f(n)(n=1,2,⋯ )\displaystyle u_{n}=f(n)(n=1,2,\cdots)，则下列结论正确的是（ ） A. 若 u1>u2\displaystyle u_{1}>u_{2} ,则 un\displaystyle {u_{n}} 必收敛 B. 若 u1>u2\displaystyle u_{1}>u_{2} ,则 un\displaystyle {u_{n}} 必发散 C. 若 u1<u2\displaystyle u_{1}<u_{2} ,则 un\displaystyle {u_{n}} 必收敛 D. 若 u1<u2\displaystyle u_{1}<u_{2} ,则 un\displaystyle {u_{n}} 必发散

  11. 【2008-12-4 分】 设函数 f(x)\displaystyle f(x) 在 (−∞,+∞)\displaystyle (-\infty,+\infty) 内单调有界，xn\displaystyle {x_{n}} 为数列，下列命题正确的是（ ） A. 若 xn\displaystyle {x_{n}} 收敛,则 f(xn)\displaystyle {f(x_{n})} 收敛 B. 若 xn\displaystyle {x_{n}} 单调,则 f(xn)\displaystyle {f(x_{n})} 收敛 C. 若 f(xn)\displaystyle {f(x_{n})} 收敛, 则 xn\displaystyle {x_{n}} 收敛 D. 若 f(xn)\displaystyle {f(x_{n})} 单调,则 xn\displaystyle {x_{n}} 收敛

  12. 【2012-2-4 分】 设 an>0(n=1,2,⋯ )\displaystyle a_{n}>0(n=1,2,\cdots)， Sn=a1+⋯+an\displaystyle S_{n}=a_{1}+\cdots+a_{n}，则数列 Sn\displaystyle {S_{n}} 有界是数列 an\displaystyle {a_{n}} 收敛的（ ） A. 充分必要条件    B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件    D. 既非充分也非必要条件

  13. 【2014-3-4 分】 设 lim⁡n→∞an=a\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n}=a 且 a≠0\displaystyle a \ne0，则当 n 充分大时，有（ ） A. ∣an∣>∣a∣2\displaystyle \left|a_{n}\right|>\dfrac{|a|}{2} B. ∣an∣<∣a∣2\displaystyle \left|a_{n}\right|<\dfrac{|a|}{2} C. an>a−1n\displaystyle a_{n}>a-\dfrac{1}{n} D. an<a+1n\displaystyle a_{n}<a+\dfrac{1}{n}

  14. 【2015-3-4 分】 设 xn\displaystyle {x_{n}} 是数列，下列命题中不正确的是（ ） A. 若 lim⁡n→∞xn=a\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n}=a , 则 lim⁡n→∞x2n=lim⁡n→∞x2n+1=a\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{2 n}=\lim_{n \to \infty} x_{2 n+1}=a B. 若 lim⁡n→∞x2n=lim⁡n→∞x2n+1=a\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{2 n}=\lim_{n \to \infty} x_{2 n+1}=a ,则 lim⁡n→∞xn=a\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n}=a C. 若 lim⁡n→∞xn=a\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n}=a , 则 lim⁡n→∞x3n=lim⁡n→∞x3n+1=a\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{3 n}=\lim_{n \to \infty} x_{3 n+1}=a D. 若 lim⁡n→∞x3n=lim⁡n→∞x3n+1=a\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{3 n}=\lim_{n \to \infty} x_{3 n+1}=a ,则 lim⁡n→∞xn=a\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n}=a

  15. 【2017-2-4 分】 设数列 xn\displaystyle {x_{n}} 收敛，则（ ） A. 当 lim⁡n→∞sin⁡xn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sin x_{n}=0 时, lim⁡n→∞xn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n}=0 B. 当 lim⁡n→∞(xn+∣xn∣)=0\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_{n}+\sqrt{|x_{n}|})=0 时, lim⁡n→∞xn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n}=0 C. 当 lim⁡n→∞(xn+xn2)=0\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_{n}+x_{n}^{2})=0 时, lim⁡n→∞xn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n}=0 D. 当 lim⁡n→∞(xn+sin⁡xn)=0\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(x_{n}+\sin x_{n}\right)=0 时, lim⁡n→∞xn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n}=0

  16. 【2022-12-5 分】 已知数列 xn\displaystyle {x_{n}}，其中 xn\displaystyle x_{n} 满足 −π2≤xn≤π2\displaystyle -\dfrac{\pi}{2} \leq x_{n} \leq\dfrac{\pi}{2}，则（ ）. A. 若 lim⁡n→∞cos⁡(sin⁡xn)\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos (\sin x_{n}) 存在, 则 lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} 存在. B. 若 lim⁡n→∞sin⁡(cos⁡xn)\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sin (\cos x_{n}) 存在, 则 lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} 存在. C. 若 lim⁡n→∞cos⁡(sin⁡xn)\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos (\sin x_{n}) 存在, 则 lim⁡n→∞sin⁡xn\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sin x_{n} 存在, 但 lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} 不一定存在 D. 若 lim⁡n→∞sin⁡(cos⁡xn)\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sin (\cos x_{n}) 存在, 则 lim⁡n→∞cos⁡xn\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos x_{n} 存在, 但 lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} 不一定存在

  17. 【2022-3-5 分】 已知 an=n−(−1)nn,n=1,2,⋯\displaystyle a_{n}=\dfrac{n-(-1)^{n}}{n},n=1,2,\cdots，则 an\displaystyle {a_{n}} （ ）. A. 有最大值, 有最小值    B. 有最大值, 没有最小值 C. 没有最大值, 有最小值    D. 没有最大值, 没有最小值

  18. 【2023-2-5 分】 已知 xn\displaystyle {x_{n}}， yn\displaystyle {y_{n}} 满足 x1=y1=12\displaystyle x_{1}=y_{1}=\dfrac{1}{2}， xn+1=sin⁡xn\displaystyle x_{n+1}=\sin x_{n}， yn+1=yn2,n=1,2,⋯\displaystyle y_{n+1}=\dfrac{y_{n}}{2},n=1,2,\cdots，则当 n→∞\displaystyle n \to \infty 时,（ ） A. xn\displaystyle x_{n} 是 yn\displaystyle y_{n} 的高阶无穷小 B. yn\displaystyle y_{n} 是 xn\displaystyle x_{n} 的高阶无穷小 C. xn\displaystyle x_{n} 与 yn\displaystyle y_{n} 是等价无穷小 D. xn\displaystyle x_{n} 与 yn\displaystyle y_{n} 是同阶但非等价的无穷小

  19. 【2024-2-5 分】 已知数列 an\displaystyle {a_{n}}， an≠0\displaystyle a_{n}\ne0， 若 an\displaystyle {a_{n}} 发散，则（ ）. A. {an+1an}\displaystyle \left\{a_{n}+\dfrac{1}{a_{n}}\right\} 发散 B. {an−1an}\displaystyle \left\{a_{n}-\dfrac{1}{a_{n}}\right\} 发散 C. {ean+1ean}\displaystyle \left\{e^{a_{n}}+\dfrac{1}{e^{a_{n}}}\right\} 发散 D. {ean−1ean}\displaystyle \left\{e^{a_{n}}-\dfrac{1}{e^{a_{n}}}\right\} 发散

大题​

  1. 【2011-2-10 分】 已知函数 F(x)=∫0xln⁡(1+t2)dtxα\displaystyle F(x)=\dfrac{\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) d t}{x^{\alpha}}.设 lim⁡x→+∞F(x)=0\displaystyle \lim_{x \to +\infty} F(x)=0， lim⁡x→0+F(x)=0\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} F(x)=0，试求 α 的取值范围.