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二、数列极限的计算

小题​

（一）可化为未定式的极限​

  1. 【1987-3-3 分】 lim⁡n→∞(n−2n+1)n=\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\dfrac{n-2}{n+1})^{n}=

  2. 【1990-45-3 分】 极限 lim⁡n→∞(n+3n−n−n)=\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\sqrt{n+3 \sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}})=

  3. 【1993-5-3 分】 lim⁡n→∞[1+2+⋯+n−1+2+⋯+(n−1)]=\displaystyle \lim_{n \to \infty}[\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}]=

  4. 【1994-3-5 分】 计算 lim⁡n→∞tan⁡n(π4+2n)\displaystyle \lim_{n \to \infty} \tan^{n}(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2}{n})

  5. 【1999-4-3 分】 设函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)\displaystyle f(x)=a^{x}(a>0,a \ne1)，则 lim⁡n→∞1n2ln⁡[f(1)f(2)⋯f(n)]=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^{2}} \ln [f(1) f(2) \cdots f(n)]=

  6. 【2002-34-3 分】 设常数 a≠12\displaystyle a \ne\dfrac{1}{2} 则 lim⁡n→∞ln⁡[n−2na+1n(1−2a)]n=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \ln [\dfrac{n-2 n a+1}{n(1-2 a)}]^{n}=

  7. 【2003-2-4 分】 设 an=32∫0nn+1xn−11+xn dx\displaystyle a_{n}=\dfrac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^{n}} \,dx 则极限 lim⁡n→∞nan=()\displaystyle \lim_{n \to \infty} n a_{n}=( ) A. (1+e)32+1\displaystyle (1+e)^{\frac{3}{2}}+1 B. (1+e−1)32−1\displaystyle \left(1+e^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}-1 C. (1+e−1)32+1\displaystyle \left(1+e^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1 D. (1+e)32−1\displaystyle (1+e)^{\frac{3}{2}}-1

  8. 【2006-3-4 分】 lim⁡n→∞(n+1n)(−1)n=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{(-1)^{n}}=

  9. 【2007-34-4 分】 lim⁡x→+∞x3+x2+12x+x3(sin⁡x+cos⁡x)=\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{3}+x^{2}+1}{2^{x}+x^{3}}(\sin x+\cos x)=

  10. 【2008-4-4 分】 设 0<a<b\displaystyle 0<a<b，则 lim⁡n→∞(a−n+b−n)1n=()\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a^{-n}+b^{-n})^{\frac{1}{n}}=( ) A. a\displaystyle a    B. a−1\displaystyle a^{-1}    C. b\displaystyle b    D. b−1\displaystyle b^{-1}

  11. 【2019-3-4 分】 lim⁡n→∞(11⋅2+12⋅3+⋯+1n⋅(n+1))n=\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\dfrac{1}{1 \cdot 2}+\dfrac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\dfrac{1}{n \cdot(n+1)})^{n}=

（二）和式极限​

  1. 【1995-3-3 分】 lim⁡n→∞(1n2+n+1+2n2+n+2+⋯+nn2+n+n)=\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\dfrac{1}{n^{2}+n+1}+\dfrac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\dfrac{n}{n^{2}+n+n})=

  2. 【2002-2-3 分】 lim⁡n→∞1n[1+cos⁡πn+1+cos⁡2πn+⋯+1+cos⁡nπn]=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\left[\sqrt{1+\cos \frac{\pi}{n}}+\sqrt{1+\cos \frac{2 \pi}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\cos \frac{n \pi}{n}}\right]=

  3. 【2004-2-4 分】 lim⁡n→∞ln⁡(1+1n)2(1+2n)2⋯(1+nn)2n\displaystyle \lim_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{(1+\frac{1}{n})^{2}(1+\frac{2}{n})^{2} \cdots(1+\frac{n}{n})^{2}} 等于（ ）. A. ∫12ln⁡2xdx\displaystyle \int_{1}^{2} \ln^{2} x dx B. 2∫12ln⁡xdx\displaystyle 2 \int_{1}^{2} \ln x dx C. 2∫12ln⁡(1+x)dx\displaystyle 2 \int_{1}^{2} \ln (1+x) dx D. 2∫12ln⁡2(1+x)dx\displaystyle 2 \int_{1}^{2} \ln^{2}(1+x) dx

  4. 【2010-12-4 分】 lim⁡n→∞∑i=1n∑j=1nn(n+i)(n2+j2)=()\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \dfrac{n}{(n+i)\left(n^{2}+j^{2}\right)}=( ) A. ∫01dx∫0x1(1+x)(1+y2)dy\displaystyle \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{x} \dfrac{1}{(1+x)\left(1+y^{2}\right)} d y B. ∫01dx∫0x1(1+x)(1+y)dy\displaystyle \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{x} \dfrac{1}{(1+x)(1+y)} d y C. ∫01dx∫011(1+x)(1+y)dy\displaystyle \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1} \dfrac{1}{(1+x)(1+y)} d y D. ∫01dx∫011(1+x)(1+y2)dy\displaystyle \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1} \dfrac{1}{(1+x)\left(1+y^{2}\right)} d y

  5. 【2012-2-4 分】 计算 lim⁡n→∞n(11+n2+122+n2+⋯+1n2+n2)=\displaystyle \lim_{n \to \infty} n(\dfrac{1}{1+n^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}+n^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{n^{2}+n^{2}})=

  6. 【2016-23-4 分】 极限 lim⁡n→∞1n2(sin⁡1n+2sin⁡2n+⋯+nsin⁡nn)=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^{2}}(\sin \dfrac{1}{n}+2 \sin \dfrac{2}{n}+\cdots+n \sin \dfrac{n}{n})=

  7. 【2021-12-5 分】 设函数 f(x)\displaystyle f(x) 在区间 [0,1]\displaystyle [0,1] 上连续，则 ∫01f(x)dx=()\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx=( ) A. lim⁡n→∞∑k=1nf(2k−12n)⋅12n\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\dfrac{2 k-1}{2 n}\right) \cdot \dfrac{1}{2 n} B. lim⁡n→∞∑k=1nf(2k−12n)⋅1n\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\dfrac{2 k-1}{2 n}\right) \cdot \dfrac{1}{n} C. lim⁡n→∞∑k=1nf(k−12n)⋅12n\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\dfrac{k-1}{2 n}\right) \cdot \dfrac{1}{2 n} D. lim⁡n→∞∑k=12nf(k2n)⋅2n\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2 n} f\left(\dfrac{k}{2 n}\right) \cdot \dfrac{2}{n}

  8. 【2025-2-5 分】 lim⁡n→∞1n2[ln⁡1n+2ln⁡2n+⋯+(n−1)ln⁡n−1n]=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^{2}}[\ln \dfrac{1}{n}+2 \ln \dfrac{2}{n}+\cdots+(n-1) \ln \dfrac{n-1}{n}]=

（三）数列极限的证明与讨论​

  1. 【1996-12-5 分】 设 x1=10\displaystyle x_{1}=10， xn+1=6+xn(n=1,2,⋯ )\displaystyle x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}(n=1,2,\cdots)，试证数列 xn\displaystyle {x_{n}} 极限存在,并求此极限.

大题​

（一）可化为未定式的极限​

  1. 【1998-4-6 分】 求 lim⁡n→∞(ntan⁡1n)n2(n\displaystyle \lim_{n \to \infty}(n \tan \dfrac{1}{n})^{n^{2}}(n 为自然数).

（二）和式极限​

  1. 【1998-1-6 分】 求 lim⁡n→∞(sin⁡πnn+1+sin⁡2πnn+12+⋯+sin⁡πn+1n)\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\dfrac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\dfrac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\dfrac{\sin \pi}{n+\frac{1}{n}})

  2. 【2017-123-10 分】 求 lim⁡n→∞∑k=1nkn2ln⁡(1+kn)\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n^{2}} \ln (1+\dfrac{k}{n})

（三）数列极限的证明与讨论​

  1. 【1999-2-7 分】 设 f(x)\displaystyle f(x) 是区间 [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty) 上单调减少且非负的连续函数，an=∑k=1nf(k)−∫1nf(x)dx(n=1,2,⋯ )\displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{n} f(k)-\int_{1}^{n} f(x) dx(n=1,2,\cdots)， 证明数列 an\displaystyle {a_{n}} 的极限存在.

  2. 【2002-2-8 分】 设 0<x1<3\displaystyle 0<x_{1}<3， xn+1=xn(3−xn)(n=1,2,⋯ )\displaystyle x_{n+1}=\sqrt{x_{n}(3-x_{n})}(n=1,2,\cdots)， 证明数列 xn\displaystyle {x_{n}} 的极限存在,并求此极限.

  3. 【2006-12-12 分】 设数列 xn\displaystyle {x_{n}} 满足 0<x1<π\displaystyle 0<x_{1}<\pi， xn+1=sin⁡xn(n=1,2,⋯ )\displaystyle x_{n+1}=\sin x_{n}(n=1,2,\cdots) (1)证明 lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} 存在，并求该极限; (2)计算 lim⁡n→∞(xn+1xn)1xn2\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}})^{\frac{1}{x_{n}^{2}}}

  4. 【2010-123-10 分】 (I) 比较 ∫01∣ln⁡t∣[ln⁡(1+t)]ndt\displaystyle \int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} d t 与 ∫01tn∣ln⁡t∣dt(n=1,2,⋯ )\displaystyle \int_{0}^{1} t^{n}|\ln t| d t(n=1,2,\cdots) 的大小，说明理由; (II)记 un=∫01∣ln⁡t∣[ln⁡(1+t)]ndt(n=1,2,⋯ )\displaystyle u_{n}=\int_{0}^{1}|\ln t|[\ln (1+t)]^{n} d t(n=1,2,\cdots)，求极限 lim⁡n→∞un\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_{n}

  5. 【2011-12-10 分】 (I) 证明: 对任意的正整数 n， 都有 1n+1<ln⁡(1+1n)<1n\displaystyle \dfrac{1}{n+1}<\ln (1+\dfrac{1}{n})<\dfrac{1}{n} 成立; (II)设 an=1+12+⋯+1n−ln⁡n(n=1,2,⋯ )\displaystyle a_{n}=1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\ln n(n=1,2,\cdots)， 证明数列 an\displaystyle {a_{n}} 收敛.

  6. 【2012-2-10 分】 (I) 证明方程 xn+xn−1+⋯+x=1\displaystyle x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x=1 (n 是大于1 的整数) 在区间 (12,1)\displaystyle (\dfrac{1}{2},1) 内有且仅有一个实根; (II)记 (I) 中的实根为 xn\displaystyle x_{n}，证明 lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} 存在，并求此极限.

  7. 【2013-2-11 分】 设函数 f(x)=ln⁡x+1x\displaystyle f(x)=\ln x+\dfrac{1}{x} (1)求 f(x)\displaystyle f(x) 的最小值; (2)设数列 xn\displaystyle {x_{n}} 满足 ln⁡xn+1xn+1<1\displaystyle \ln x_{n}+\dfrac{1}{x_{n+1}}<1， 证明 lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} 存在，并求此极限.

  8. 【2018-123-11 分】 设数列 xn\displaystyle {x_{n}} 满足: x1>0\displaystyle x_{1}>0， xnexn+1=exn−1(n=1,2,⋯ )\displaystyle x_{n} e^{x_{n+1}}=e^{x_{n}}-1(n=1,2,\cdots) .证明 xn\displaystyle {x_{n}} 收敛，并求 lim⁡n→∞xn\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} .