六、质心和形心（数三不做）

小题

【2014-2-4 分】 一根长为 $1$ 的细棒位于 $x$ 轴的区间 $[0, 1]$ 上，若其线密度 $ρ (x) = - x^{2} + 2 x + 1$ ，则该细棒的质心坐标 $\overset{x}{ˉ} =$ ______。

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答案：

\overset{x}{ˉ} = \frac{11}{20} .

解析： 细棒的总质量为

m = \int_{0}^{1} ρ (x) d x = \int_{0}^{1} (- x^{2} + 2 x + 1) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} + x^{2} + x]_{0}^{1} = \frac{5}{3} .

关于原点的一阶矩为

M = \int_{0}^{1} x ρ (x) d x = \int_{0}^{1} (- x^{3} + 2 x^{2} + x) d x = [- \frac{x ^{4}}{4} + \frac{2 x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{1} = \frac{11}{12} .

因此质心横坐标为

\overset{x}{ˉ} = \frac{M}{m} = \frac{\frac{11}{12}}{\frac{5}{3}} = \frac{11}{20} .

y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} ln x, 1 \leq x \leq e .

（1）求 $L$ 的弧长；

（2）设 $D$ 是由曲线 $L$ 、直线 $x = 1$ 、 $x = e$ 及 $x$ 轴所围平面图形，求 $D$ 的形心的横坐标。

查看答案与解析

答案： （1）曲线 $L$ 的弧长为

l = \frac{e ^{2} + 1}{4} .

（2）图形 $D$ 的形心横坐标为

\overset{x}{ˉ} = \frac{3 ( e ^{4} - 2 e ^{2} - 3 )}{4 ( e ^{3} - 7 )} .

解析： （1）由

y^{'} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2 x} = \frac{x ^{2} - 1}{2 x},

可得

1 + (y^{'})^{2} = 1 + \frac{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}{4 x ^{2}} = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}{4 x ^{2}} .

由于 $x \in [1, e]$ ，故

1 + (y^{'})^{2} = \frac{x ^{2} + 1}{2 x} = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{x}) .

因此

l = \int_{1}^{e} 1 + (y^{'})^{2} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{e} (x + \frac{1}{x}) d x = \frac{1}{2} [\frac{x ^{2}}{2} + ln x]_{1}^{e} = \frac{e ^{2} - 1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{e ^{2} + 1}{4} .

（2）在 $[1, e]$ 上，曲线位于 $x$ 轴上方。图形 $D$ 的面积为

A = \int_{1}^{e} (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} ln x) d x = [\frac{x ^{3}}{12} - \frac{1}{2} (x ln x - x)]_{1}^{e} = \frac{e ^{3} - 7}{12} .

图形关于 $y$ 轴的一阶矩为

M_{y} = \int_{1}^{e} x (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} ln x) d x = \int_{1}^{e} (\frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{2} x ln x) d x .

利用

\int x ln x d x = \frac{x ^{2}}{2} ln x - \frac{x ^{2}}{4},

得

M_{y} = [\frac{x ^{4}}{16} - \frac{x ^{2}}{4} ln x + \frac{x ^{2}}{8}]_{1}^{e} = \frac{e ^{4} - 2 e ^{2} - 3}{16} .

故形心横坐标为

\overset{x}{ˉ} = \frac{M _{y}}{A} = \frac{\frac{e ^{4} - 2 e ^{2} - 3}{16}}{\frac{e ^{3} - 7}{12}} = \frac{3 ( e ^{4} - 2 e ^{2} - 3 )}{4 ( e ^{3} - 7 )} .