五、功（数三不做）

小题

（一）变力沿直线做功

1. 【1991-3-3 分】 $x$ 轴上有一线密度为常数 $\mu$、长度为 $l$ 的细杆，若质量为 $m$ 的质点到杆右端的距离为 $a$，引力系数为 $k$，则质点和细杆之间引力的大小为（　）。

A. ${\int }_{-l}^0\frac{km\mu dx}{(a-x{)}^2}$

B. ${\int }_0^l\frac{km\mu dx}{(a-x{)}^2}$

C. $2{\int }_{-\frac{l}{2}}^0\frac{km\mu dx}{(a+x{)}^2}$

D. $2{\int }_0^{\frac{l}{2}}\frac{km\mu dx}{(a+x{)}^2}$

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答案： A。

解析： 按题图建立坐标系，使细杆位于 $[-l,0]$，质点位于 $x=a$。

取杆上坐标为 $x$、长度为 $dx$ 的微元，其质量为

$$dm=\mu dx.$$

该微元到质点的距离为

$$a-x.$$

因此微元对质点的引力大小为

$$dF=\frac{kmdm}{(a-x{)}^2}=\frac{km\mu dx}{(a-x{)}^2}.$$

对整根细杆积分，得

$$F={\int }_{-l}^0\frac{km\mu dx}{(a-x{)}^2}.$$

故选 A。

错误选项分析：B 的积分区间与题图中细杆的位置不符；C、D 把细杆错误地按中点对称分割，且相应距离表达式也不符合质点位于杆延长线上的几何关系。

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2. 【2025-2-5 分】 设单位质点 $P,Q$ 分别位于点 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 处，$P$ 从点 $(0,0)$ 出发沿 $x$ 轴正向移动，记 $G$ 为引力常量，则当质点 $P$ 移动到点 $(l,0)$ 时，克服质点 $Q$ 的引力所做的功为（　）。

A. ${\int }_0^l\frac{G}{x^2+1}dx$    B. ${\int }_0^l\frac{G}{(x^2+1{)}^{3/2}}dx$

C. ${\int }_0^l\frac{Gx}{(x^2+1{)}^{3/2}}dx$    D. ${\int }_0^l\frac{G(x+1)}{(x^2+1{)}^{3/2}}dx$

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答案： C。

解析： 当 $P$ 位于 $(x,0)$ 时，$P,Q$ 间距离为

$$r=\sqrt{x^2+1}.$$

两单位质点之间的引力大小为

$$F=\frac{G}{r^2}=\frac{G}{x^2+1}.$$

引力方向由 $P$ 指向 $Q$，其方向向量可取 $(-x,1)$。因此引力在 $x$ 轴方向的分量为

$$F_x=-\frac{Gx}{(x^2+1{)}^{3/2}}.$$

为了使 $P$ 沿 $x$ 轴正向缓慢移动，外力在运动方向上的分量应为

$$\frac{Gx}{(x^2+1{)}^{3/2}}.$$

故克服引力所做的功为

$$W={\int }_0^l\frac{Gx}{(x^2+1{)}^{3/2}}dx.$$

故选 C。

错误选项分析：A 只取了引力大小，没有投影到运动方向；B 同样缺少沿 $x$ 轴的方向余弦因子 $x/\sqrt{x^2+1}$；D 的分子 $x+1$ 不对应任何正确的力分量。

大题

（一）变力沿直线做功

1. 【1999-12-7 分】 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口（见图）。已知井深 $30\mathrm{m}$，抓斗自重 $400\mathrm{N}$，缆绳每米重 $50\mathrm{N}$，抓斗抓起的污泥重 $2000\mathrm{N}$，提升速度为 $3m/s$。在提升过程中，污泥以 $20N/s$ 的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？

（说明：① $1\mathrm{N}\times 1\mathrm{m}=1\mathrm{J}$；$\mathrm{m},\mathrm{N},\mathrm{s},\mathrm{J}$ 分别表示米、牛顿、秒、焦耳；② 抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。）

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答案：

$$W=91500\mathrm{J}.$$

解析： 设抓斗从井底向上提升了 $x\mathrm{m}$，其中 $0\le x\le 30$。

由于提升速度为 $3m/s$，此时经过的时间为

$$t=\frac{x}{3}\mathrm{s}.$$

污泥以 $20N/s$ 的速率漏掉，所以此时抓斗中剩余污泥的重量为

$$2000-20t=2000-\frac{20x}{3}.$$

井中仍悬挂的缆绳长度为 $30-x$，其重量为

$$50(30-x).$$

因此提升到位置 $x$ 时所需克服的总重力为

$$\begin{array}{rl}F(x)& =400+\left(2000-\frac{20x}{3}\right)+50(30-x)\\ & =3900-\frac{170}{3}x.\end{array}$$

故总功为

$$\begin{array}{rl}W& ={\int }_0^{30}F(x)dx\\ & ={\int }_0^{30}\left(3900-\frac{170}{3}x\right)dx\\ & ={\left[3900x-\frac{85}{3}{x}^2\right]}_0^{30}\\ & =117000-25500\\ & =91500\mathrm{J}.\end{array}$$

本题的关键是：污泥重量随时间线性减少，而缆绳重量随提升距离线性减少，两者都必须作为变力处理。

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2. 【2003-1-10 分】 某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功。设土层对桩的阻力大小与桩被打入地下的深度成正比（比例系数为 $k$，$k>0$），汽锤第一次击打将桩打进地下 $a\mathrm{m}$。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数 $r(0<r<1)$。问：

（1）汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？

（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？

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答案： （1）击打 3 次后，桩被打入地下的深度为

$$a\sqrt{1+r+r^2}\mathrm{m}.$$

（2）击打次数不限时，桩至多被打入地下的深度为

$$\frac{a}{\sqrt{1-r}}\mathrm{m}.$$

解析： 设第 $n$ 次击打后，桩被打入地下的总深度为 $x_n$，并令 $x_0=0$。

桩被打入深度为 $x$ 时，土层阻力为

$$F(x)=kx.$$

因此第 $n$ 次击打所做的功为

$$W_n={\int }_{x_{n-1}}^{x_n}kxdx=\frac{k}{2}\left(x_n^2-x_{n-1}^2\right).$$

第一次击打后 $x_1=a$，故

$$W_1=\frac{k}{2}{a}^2.$$

由题意，每次做功与前一次之比为 $r$，所以

$$W_n=W_1{r}^{n-1}=\frac{k}{2}{a}^2{r}^{n-1}.$$

与第 $n$ 次做功的积分表达式比较，得

$$x_n^2-x_{n-1}^2=a^2{r}^{n-1}.$$

从 $1$ 到 $n$ 累加，得到

$$\begin{array}{rl}{x}_n^2& =a^2\left(1+r+r^2+\cdots +r^{n-1}\right)\\ & =a^2\frac{1-r^n}{1-r}.\end{array}$$

由于 $x_n>0$，所以

$$x_n=a\sqrt{\frac{1-r^n}{1-r}}.$$

当 $n=3$ 时，

$$x_3=a\sqrt{1+r+r^2}.$$

当击打次数不限，即 $n\to \infty$ 时，由 $0<r<1$，有 $r^n\to 0$，故

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a\sqrt{\frac{1}{1-r}}=\frac{a}{\sqrt{1-r}}.$$

（二）抽水做功

1. 【2011-2-11 分】 一容器的内侧是由图中曲线绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 $x^2+y^2=2y\left(y\ge \frac{1}{2}\right)$ 与 $x^2+y^2=1\left(y\le \frac{1}{2}\right)$ 连接而成。

（Ⅰ）求容器的容积；

（Ⅱ）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：$\mathrm{m}$，重力加速度为 $gm/{\mathrm{s}}^2$，水的密度为 $10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$。）

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答案： （Ⅰ）容器的容积为

$$V=\frac{9\pi }{4}{\mathrm{m}}^3.$$

（Ⅱ）至少需要做功

$$W=3375\pi g\mathrm{J}.$$

解析： 两段曲线分别为

$$x^2+(y-1{)}^2=1\left(y\ge \frac{1}{2}\right)$$

和

$$x^2+y^2=1\left(y\le \frac{1}{2}\right).$$

它们在 $y=\frac{1}{2}$ 处相交。容器底部为 $y=-1$，顶部为 $y=2$。

当 $-1\le y\le \frac{1}{2}$ 时，水平截面的半径平方为

$$x^2=1-y^2;$$

当 $\frac{1}{2}\le y\le 2$ 时，水平截面的半径平方为

$$x^2=2y-y^2.$$

（Ⅰ）由圆盘法，容器容积为

$$\begin{array}{rl}V& =\pi {\int }_{-1}^{\frac{1}{2}}(1-y^2)dy+\pi {\int }_{\frac{1}{2}}^2(2y-y^2)dy\\ & =\pi \left[{\left(y-\frac{y^3}{3}\right)}_{-1}^{\frac{1}{2}}+{\left(y^2-\frac{y^3}{3}\right)}_{\frac{1}{2}}^2\right]\\ & =\pi \left(\frac{9}{8}+\frac{9}{8}\right)\\ & =\frac{9\pi }{4}.\end{array}$$

因此

$$V=\frac{9\pi }{4}{\mathrm{m}}^3.$$

（Ⅱ）取高度为 $y$、厚度为 $dy$ 的一薄层水。水的重度为

$$\rho g=10^{3}gN/{\mathrm{m}}^3.$$

该水层被抽到容器顶部 $y=2$，提升距离为

$$2-y.$$

故所需总功为

$$\begin{array}{rl}W& =10^{3}g\pi {\int }_{-1}^{\frac{1}{2}}(1-y^2)(2-y)dy\\ & +10^{3}g\pi {\int }_{\frac{1}{2}}^2(2y-y^2)(2-y)dy.\end{array}$$

分别计算得

$${\int }_{-1}^{\frac{1}{2}}(1-y^2)(2-y)dy=\frac{153}{64},$$$${\int }_{\frac{1}{2}}^2(2y-y^2)(2-y)dy=\frac{63}{64}.$$

所以

$$\begin{array}{rl}W& =10^{3}g\pi \left(\frac{153}{64}+\frac{63}{64}\right)\\ & =10^{3}g\pi \cdot \frac{27}{8}\\ & =3375\pi g\mathrm{J}.\end{array}$$

“至少做功”意味着水沿竖直方向提升到容器顶部，不计额外输送过程中的能量损失。