二、对变限积分的讨论

小题

1. 【1999-1234-3 分】 设 $f(x)$ 是连续函数，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则（ ）。

A. 当 $f(x)$ 是奇函数时，$F(x)$ 必是偶函数

B. 当 $f(x)$ 是偶函数时，$F(x)$ 必是奇函数

C. 当 $f(x)$ 是周期函数时，$F(x)$ 必是周期函数

D. 当 $f(x)$ 是单调增函数时，$F(x)$ 必是单调增函数

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答案： A。

解析： 若 $f(x)$ 为奇函数，令

$$H(x)=F(x)-F(-x),$$

则

$$H^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)+F^{\prime }(-x)=f(x)+f(-x)=0.$$

因而 $H(x)$ 为常数。又 $H(0)=0$，故

$$F(x)=F(-x),$$

即 $F(x)$ 必为偶函数，A 正确。

B 中，若 $f(x)$ 为偶函数，则 ${\int }_0^{x}f(t)dt$ 为奇函数，但一般原函数还可以加任意常数，未必仍为奇函数。C 中，周期函数的原函数只有在一个周期内积分为零时才可能是周期函数。D 中，$F^{\prime }(x)=f(x)$，原函数的单调性由 $f(x)$ 的正负决定，而不是由 $f(x)$ 本身是否单调增加决定。

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2. 【2001-34-3 分】 设

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}(x^2+1),& 0\le x<1,\\ \frac{1}{3}(x-1),& 1\le x\le 2,\end{array}g(x)={\int }_0^{x}f(u)du,$$

则 $g(x)$ 在区间 $(0,2)$ 内（ ）。

A. 无界    B. 递减    C. 不连续    D. 连续

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答案： D。

解析： 函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处虽然不连续，但左右极限均存在，且在 $[0,2]$ 上有界、可积。变上限积分函数

$$g(x)={\int }_0^{x}f(u)du$$

在整个 $[0,2]$ 上连续。

具体地，在 $x=1$ 附近，

$$g(x)-g(1)={\int }_1^{x}f(u)du.$$

由于 $f$ 在该邻域有界，故当 $x\to 1$ 时，上式趋于零，因此 $g(x)$ 在 $x=1$ 处仍连续。

又 $f(x)\ge 0$，所以 $g(x)$ 不会递减；连续函数在有限闭区间上有界，故 A、B、C 均错误。

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3. 【2002-24-3 分】 设函数 $f(x)$ 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（ ）。

A. ${\int }_0^{x}f(t^2)dt$    B. ${\int }_0^x{f}^2(t)dt$

C. ${\int }_0^{x}t[f(t)-f(-t)]dt$    D. ${\int }_0^{x}t[f(t)+f(-t)]dt$

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答案： D。

解析： 利用“从 $0$ 到 $x$ 的积分”的奇偶性规律：若被积函数为偶函数，则积分函数为奇函数；若被积函数为奇函数，则积分函数为偶函数。

对 A，被积函数 $f(t^2)$ 为偶函数，因此积分函数为奇函数，不一定为偶函数。

对 B，$f^2(t)$ 一般不具有确定的奇偶性。

对 C，$f(t)-f(-t)$ 为奇函数，再乘以奇函数 $t$ 后成为偶函数，所以积分函数为奇函数。

对 D，$f(t)+f(-t)$ 为偶函数，再乘以 $t$ 后成为奇函数，因此

$${\int }_0^{x}t[f(t)+f(-t)]dt$$

必为偶函数，故选 D。

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4. 【2004-4-4 分】 设

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -1,& x<0,\end{array}F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt,$$

则（ ）。

A. $F(x)$ 在 $x=0$ 点不连续

B. $F(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内连续，在 $x=0$ 点不可导

C. $F(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内可导，且满足 $F^{\prime }(x)=f(x)$

D. $F(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内可导，但不一定满足 $F^{\prime }(x)=f(x)$

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答案： B。

解析： 当 $x>0$ 时，

$$F(x)={\int }_0^{x}1dt=x;$$

当 $x<0$ 时，

$$F(x)={\int }_0^x(-1)dt=-x.$$

又 $F(0)=0$，所以

$$F(x)=|x|.$$

因此 $F(x)$ 在实数轴上连续，但在 $x=0$ 处左、右导数分别为

$$F_{-}^{\prime }(0)=-1,F_{+}^{\prime }(0)=1,$$

二者不相等，故 $F^{\prime }(0)$ 不存在。A 错在否定了连续性，C、D 错在认为 $F$ 在原点可导。

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5. 【2005-12-4 分】 设 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 的一个原函数，“$M\iff N$”表示“$M$ 的充分必要条件是 $N$”，则必有（ ）。

A. $F(x)$ 是偶函数 $\iff f(x)$ 是奇函数

B. $F(x)$ 是奇函数 $\iff f(x)$ 是偶函数

C. $F(x)$ 是周期函数 $\iff f(x)$ 是周期函数

D. $F(x)$ 是单调函数 $\iff f(x)$ 是单调函数

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答案： A。

解析： 若 $F(x)$ 为偶函数，则其导函数 $f(x)=F^{\prime }(x)$ 为奇函数。

反过来，若 $f(x)$ 为奇函数，则

$$\frac{d}{dx}[F(x)-F(-x)]=f(x)+f(-x)=0.$$

所以 $F(x)-F(-x)$ 为常数；令 $x=0$，该常数为零，从而 $F(x)=F(-x)$，即 $F$ 为偶函数。因此 A 是充要关系。

B 的反向不成立，因为偶函数 $f$ 的原函数可写成“奇函数加常数”，未必为奇函数。C 的反向不成立，周期函数存在周期原函数还要求其在一个周期上的积分为零。D 中原函数的单调性取决于 $f$ 的符号，而非 $f$ 的单调性。

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6. 【2006-2-4 分】 设 $f(x)$ 是奇函数，除 $x=0$ 外处处连续，$x=0$ 是其第一类间断点，则

$${\int }_0^{x}f(t)dt$$

是（ ）。

A. 连续的奇函数    B. 连续的偶函数    C. 在 $x=0$ 间断的奇函数    D. 在 $x=0$ 间断的偶函数

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答案： B。

解析： 由于 $x=0$ 是第一类间断点，$f(x)$ 在原点附近有界，因此其变上限积分函数

$$G(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$

在 $x=0$ 处连续；在其他点，由 $f$ 的连续性可知 $G$ 也连续。

又因为 $f$ 是奇函数，作代换 $t=-u$，有

$$\begin{array}{rl}G(-x)& ={\int }_0^{-x}f(t)dt=-{\int }_0^{x}f(-u)du\\ & ={\int }_0^{x}f(u)du=G(x).\end{array}$$

所以 $G(x)$ 是偶函数。综上，它是连续的偶函数，故选 B。

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7. 【2009-123-4 分】 设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-1,3]$ 上的图形如下，令

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt,$$

则函数 $F(x)$ 的图形为（ ）。

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答案： D。

解析： 由变上限积分函数的性质，$F(x)$ 必连续，且在 $f(x)$ 连续处满足

$$F^{\prime }(x)=f(x).$$

当 $-1\le x<0$ 时，图中 $f(x)=1>0$，故 $F(x)$ 单调增加；又 $F(0)=0$，从而该段图形应由第三象限直线上升至原点。这排除了 A、C。

当 $0<x<1$ 时，$f(x)<0$，所以 $F(x)$ 递减；当 $1<x<2$ 时，$f(x)>0$，所以 $F(x)$ 递增，故 $x=1$ 为 $F(x)$ 的极小值点。

在 $2<x\le 3$ 上，图中 $f(x)=0$，因而 $F(x)$ 保持为常数。虽然 $f$ 在某些分界点可能间断，但积分函数 $F$ 仍连续，因此 B 中在 $x=2$ 处出现断裂的图形不可能。满足全部条件的是 D。

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8. 【2013-2-4 分】 设函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x,& 0\le x<\pi ,\\ 2,& \pi \le x\le 2\pi ,\end{array}F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt,$$

则（ ）。

A. $x=\pi$ 是函数 $F(x)$ 的跳跃间断点    B. $x=\pi$ 是函数 $F(x)$ 的可去间断点

C. $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处连续但不可导    D. $F(x)$ 在 $x=\pi$ 处可导

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答案： C。

解析： 被积函数 $f(x)$ 在 $[0,2\pi ]$ 上有界且仅在 $x=\pi$ 处发生跳跃，因此变上限积分函数 $F(x)$ 在整个区间上连续，A、B 错误。

在 $x=\pi$ 处，$F$ 的左、右导数分别为

$$F_{-}^{\prime }(\pi )=\underset{x\to {\pi }^{-}}{\lim }f(x)=\sin \pi =0,$$$$F_{+}^{\prime }(\pi )=\underset{x\to {\pi }^{+}}{\lim }f(x)=2.$$

两者不相等，因此 $F^{\prime }(\pi )$ 不存在。故 $F$ 在 $x=\pi$ 处连续但不可导，选 C。

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9. 【2020-3-4 分】 设奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上具有连续导数，则（ ）。

A. ${\int }_0^x[\cos f(t)+f^{\prime }(t)]dt$ 是奇函数    B. ${\int }_0^x[\cos f(t)+f^{\prime }(t)]dt$ 是偶函数

C. ${\int }_0^x[\cos f^{\prime }(t)+f(t)]dt$ 是奇函数    D. ${\int }_0^x[\cos f^{\prime }(t)+f(t)]dt$ 是偶函数

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答案： A。

解析： 因为 $f(x)$ 是奇函数，所以

$$f(-x)=-f(x).$$

对上式求导，得

$$-f^{\prime }(-x)=-f^{\prime }(x),$$

即

$$f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x),$$

因而 $f^{\prime }(x)$ 是偶函数。

又由于余弦函数为偶函数，故

$$\cos f(-x)=\cos [-f(x)]=\cos f(x),$$

所以 $\cos f(x)$ 也是偶函数。因此

$$\cos f(t)+f^{\prime }(t)$$

为偶函数。

设

$$F(x)={\int }_0^x[\cos f(t)+f^{\prime }(t)]dt.$$

被积函数为偶函数，则变上限积分函数 $F(x)$ 为奇函数，故 A 正确。

对 C、D，虽然 $\cos f^{\prime }(t)$ 为偶函数，但 $f(t)$ 为奇函数，二者之和一般不具有确定的奇偶性，因此对应积分函数的奇偶性也不能确定。

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10. 【2024-12-5 分】 已知函数

$$f(x)={\int }_0^x{e}^{\cos t}dt,g(x)={\int }_0^{\sin x}{e}^{t^2}dt,$$

则（ ）。

A. $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是偶函数    B. $f(x)$ 是偶函数，$g(x)$ 是奇函数

C. $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为奇函数    D. $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为周期函数

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答案： C。

解析： 先判断 $f(x)$ 的奇偶性。由于 $\cos t$ 是偶函数，故 $e^{\cos t}$ 也是偶函数。于是

$$\begin{array}{rl}f(-x)& ={\int }_0^{-x}{e}^{\cos t}dt=-{\int }_0^x{e}^{\cos (-u)}du\\ & =-{\int }_0^x{e}^{\cos u}du=-f(x).\end{array}$$

因而 $f(x)$ 是奇函数。

再令

$$H(u)={\int }_0^u{e}^{t^2}dt.$$

因为 $e^{t^2}$ 是偶函数，所以 $H(u)$ 是奇函数。又 $\sin x$ 是奇函数，因此

$$g(-x)=H(\sin (-x))=H(-\sin x)=-H(\sin x)=-g(x).$$

故 $g(x)$ 也是奇函数，选 C。

虽然 $f^{\prime }(x)=e^{\cos x}$ 是周期函数，但其一个周期内积分不为零，所以 $f(x)$ 本身不是周期函数，D 错误。

大题

1. 【1993-3-9 分】 设 $f^{\prime }(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续，且 $f(0)=0$，证明：

$$\left|{\int }_0^{a}f(x)dx\right|\le \frac{M{a}^2}{2},$$

其中

$$M=\underset{0\le x\le a}{\max }|f^{\prime }(x)|.$$

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答案： 不等式成立。

解析： 因为 $f(0)=0$，由牛顿—莱布尼茨公式，对任意 $x\in [0,a]$，有

$$f(x)=f(x)-f(0)={\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt.$$

由 $|f^{\prime }(t)|\le M$，得

$$\begin{array}{rl}|f(x)|& \le {\int }_0^x|f^{\prime }(t)|dt\\ & \le {\int }_0^{x}Mdt\\ & =Mx.\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{rl}\left|{\int }_0^{a}f(x)dx\right|& \le {\int }_0^a|f(x)|dx\\ & \le {\int }_0^{a}Mxdx\\ & =\frac{M{a}^2}{2}.\end{array}$$

故

$$\left|{\int }_0^{a}f(x)dx\right|\le \frac{M{a}^2}{2}.$$

本题先由 $f(0)=0$ 将 $f(x)$ 表示成 $f^{\prime }$ 的积分，再利用导数绝对值的最大值控制 $|f(x)|$。

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2. 【1997-4-7 分】 设 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内连续，且

$$F(x)={\int }_0^x(x-2t)f(t)dt.$$

试证：

（1）若 $f(x)$ 为偶函数，则 $F(x)$ 也是偶函数；

（2）若 $f(x)$ 为单调不增函数，则 $F(x)$ 单调不减。

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答案： （1）$F(-x)=F(x)$；（2）$F^{\prime }(x)\ge 0$，故 $F(x)$ 单调不减。

解析： （1）证明 $F(x)$ 为偶函数。

若 $f(x)$ 为偶函数，则 $f(-u)=f(u)$。由

$$F(-x)={\int }_0^{-x}(-x-2t)f(t)dt,$$

令 $t=-u$，则

$$\begin{array}{rl}F(-x)& =-{\int }_0^x(-x+2u)f(-u)du\\ & ={\int }_0^x(x-2u)f(u)du\\ & =F(x).\end{array}$$

因此 $F(x)$ 为偶函数。

（2）证明 $F(x)$ 单调不减。

对变限积分求导，得

$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(x)& =(x-2x)f(x)+{\int }_0^{x}f(t)dt\\ & ={\int }_0^x[f(t)-f(x)]dt.\end{array}$$

当 $x>0$ 时，对 $t\in [0,x]$，由 $f$ 单调不增可知

$$f(t)\ge f(x),$$

因而

$$F^{\prime }(x)={\int }_0^x[f(t)-f(x)]dt\ge 0.$$

当 $x<0$ 时，

$$F^{\prime }(x)=-{\int }_x^0[f(t)-f(x)]dt.$$

对 $t\in [x,0]$，有 $t\ge x$，由 $f$ 单调不增可知

$$f(t)\le f(x),$$

故被积函数 $f(t)-f(x)\le 0$，从而仍有

$$F^{\prime }(x)\ge 0.$$

又 $F^{\prime }(0)=0$，所以在整个实数轴上

$$F^{\prime }(x)\ge 0.$$

因此 $F(x)$ 单调不减。

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3. 【2008-1-10 分】 设 $f(x)$ 是连续函数。

（Ⅰ）利用定义证明函数

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$

可导，且 $F^{\prime }(x)=f(x)$；

（Ⅱ）当 $f(x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数时，证明

$$G(x)=2{\int }_0^{x}f(t)dt-x{\int }_0^{2}f(t)dt$$

也是以 $2$ 为周期的周期函数。

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答案： （Ⅰ）$F^{\prime }(x)=f(x)$；（Ⅱ）$G(x+2)=G(x)$。

解析： （Ⅰ）利用导数定义证明。

对任意 $h\ne 0$，有

$$\begin{array}{rl}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}& =\frac{1}{h}\left({\int }_0^{x+h}f(t)dt-{\int }_0^{x}f(t)dt\right)\\ & =\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(t)dt.\end{array}$$

因此

$$\begin{array}{rl}\left|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)\right|& =\left|\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}[f(t)-f(x)]dt\right|\\ & \le \underset{t\text{ 位于 }x\text{ 与 }x+h\text{ 之间}}{\max }|f(t)-f(x)|.\end{array}$$

由于 $f$ 在 $x$ 处连续，当 $h\to 0$ 时，右端趋于 $0$。所以

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x),$$

即

$$F^{\prime }(x)=f(x).$$

（Ⅱ）证明 $G(x)$ 的周期为 $2$。

先证明周期函数在任意长度为 $2$ 的区间上的积分相同。令

$$H(x)={\int }_x^{x+2}f(t)dt.$$

由（Ⅰ）及变限积分求导法则，

$$H^{\prime }(x)=f(x+2)-f(x)=0.$$

故 $H(x)$ 为常数，且

$${\int }_x^{x+2}f(t)dt=H(x)=H(0)={\int }_0^{2}f(t)dt.$$

于是

$$\begin{array}{rl}G(x+2)-G(x)& =2{\int }_x^{x+2}f(t)dt-2{\int }_0^{2}f(t)dt\\ & =0.\end{array}$$

因此

$$G(x+2)=G(x),$$

即 $G(x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数。

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4. 【2008-34-10 分】 设 $f(x)$ 是周期为 $2$ 的连续函数。

（Ⅰ）证明：对任意实数 $t$，有

$${\int }_t^{t+2}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx;$$

（Ⅱ）证明：

$$G(x)={\int }_0^x\left[2f(t)-{\int }_t^{t+2}f(s)ds\right]dt$$

是以 $2$ 为周期的周期函数。

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答案： （Ⅰ）任意长度为 $2$ 的区间上积分值相等；（Ⅱ）$G(x+2)=G(x)$。

解析： （Ⅰ）证明积分值与起点无关。

令

$$H(t)={\int }_t^{t+2}f(x)dx.$$

由于 $f(x)$ 连续，由变限积分求导公式，

$$\begin{array}{rl}{H}^{\prime }(t)& =f(t+2)-f(t).\end{array}$$

又因为 $f(x)$ 的周期为 $2$，所以

$$f(t+2)=f(t),$$

从而

$$H^{\prime }(t)=0.$$

因此 $H(t)$ 为常数。取 $t=0$，得

$$H(t)=H(0)={\int }_0^{2}f(x)dx.$$

即对任意实数 $t$，均有

$${\int }_t^{t+2}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx.$$

（Ⅱ）证明 $G(x)$ 以 $2$ 为周期。

记

$$A={\int }_0^{2}f(s)ds.$$

由（Ⅰ）可知，对任意 $t$，

$${\int }_t^{t+2}f(s)ds=A.$$

因而

$$G(x)={\int }_0^x[2f(t)-A]dt.$$

于是

$$\begin{array}{rl}G(x+2)-G(x)& ={\int }_x^{x+2}[2f(t)-A]dt\\ & =2{\int }_x^{x+2}f(t)dt-2A.\end{array}$$

再由（Ⅰ），

$${\int }_x^{x+2}f(t)dt=A,$$

所以

$$G(x+2)-G(x)=2A-2A=0.$$

因此

$$G(x+2)=G(x),$$

即 $G(x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数。