一、定积分的比较

小题

1. 【1990-3-3 分】 比较大小：${\int }_{-2}^{-1}{e}^{-x^3}dx\_\_\_{\int }_{-2}^{-1}{e}^{x^3}dx$

查看答案与解析

答案： ${\int }_{-2}^{-1}{e}^{-x^3}dx>{\int }_{-2}^{-1}{e}^{x^3}dx$。

解析： 当 $x\in [-2,-1]$ 时，$x^3<0$，所以 $-x^3>x^3$，从而

$$e^{-x^3}>e^{x^3}.$$

根据定积分的保序性，立即得到

$${\int }_{-2}^{-1}{e}^{-x^3}dx>{\int }_{-2}^{-1}{e}^{x^3}dx.$$

---

2. 【1994-123-3 分】 设

$$M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{1+x^2}{\cos }^{4}xdx,$$ $$N={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left({\sin }^{3}x+{\cos }^{4}x\right)dx,$$ $$P={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(x^2{\sin }^{3}x-{\cos }^{4}x\right)dx.$$

则（ ）。

A. $N<P<M$    B. $M<P<N$    C. $N<M<P$    D. $P<M<N$

查看答案与解析

答案： D。

解析： 函数 $\frac{\sin x}{1+x^2}{\cos }^{4}x$ 为奇函数，因此

$$M=0.$$

又因为 ${\sin }^{3}x$ 为奇函数，${\cos }^{4}x$ 为偶函数，所以

$$N={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{4}xdx>0.$$

同理，$x^2{\sin }^{3}x$ 为奇函数，故

$$P=-{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{4}xdx<0.$$

因而

$$P<M<N.$$

A、B、C 均与上述大小关系不符。

---

3. 【1997-12-3 分】 设 $F(x)={\int }_x^{x+2\pi }{e}^{\sin t}\sin tdt$，则 $F(x)$（ ）。

A. 为正常数    B. 为负常数    C. 恒为零    D. 不为常数

查看答案与解析

答案： A。

解析： 被积函数 $e^{\sin t}\sin t$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续函数，因此在任意长度为 $2\pi$ 的区间上的积分都相等，故 $F(x)$ 为常数。

再判断其符号。将一个周期分成两段，并令后一段作代换 $t=u+\pi$，则

$$\begin{array}{rl}F(x)& ={\int }_0^{2\pi }{e}^{\sin t}\sin tdt\\ & ={\int }_0^{\pi }\left[e^{\sin u}\sin u+e^{-\sin u}(-\sin u)\right]du\\ & ={\int }_0^{\pi }\sin u\left(e^{\sin u}-e^{-\sin u}\right)du>0.\end{array}$$

所以 $F(x)$ 为正常数。B、C 的符号判断错误，D 忽略了周期函数整周期积分与起点无关的性质。

---

4. 【2003-2-4 分】 设

$$I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\tan x}{x}dx,I_2={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{x}{\tan x}dx,$$

则（ ）。

A. $I_1>I_2>1$    B. $1>I_1>I_2$    C. $I_2>I_1>1$    D. $1>I_2>I_1$

查看答案与解析

答案： B。

解析： 当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right]$ 时，有 $\tan x>x>0$，因此

$$\frac{\tan x}{x}>1>\frac{x}{\tan x},$$

从而 $I_1>I_2$。

又因为函数 $\frac{\tan x}{x}$ 在该区间上递增，且

$$\frac{\tan x}{x}\le \frac{\tan \frac{\pi }{4}}{\frac{\pi }{4}}=\frac{4}{\pi },$$

所以

$$I_1<{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{4}{\pi }dx=1.$$

因而 $1>I_1>I_2$。A、C 错在把积分判断为大于 $1$，D 错在颠倒了 $I_1,I_2$ 的大小。

---

5. 【2006-4-4 分】 设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(x)\le g(x)$，则对任何 $c\in (0,1)$，有（ ）。

A. ${\int }_{\frac{1}{2}}^{c}f(t)dt\ge {\int }_{\frac{1}{2}}^{c}g(t)dt$

B. ${\int }_{\frac{1}{2}}^{c}f(t)dt\le {\int }_{\frac{1}{2}}^{c}g(t)dt$

C. ${\int }_c^{1}f(t)dt\ge {\int }_c^{1}g(t)dt$

D. ${\int }_c^{1}f(t)dt\le {\int }_c^{1}g(t)dt$

查看答案与解析

答案： D。

解析： 由于 $c<1$，积分区间 $[c,1]$ 的方向固定，且 $f(t)\le g(t)$，由定积分的保序性可得

$${\int }_c^{1}f(t)dt\le {\int }_c^{1}g(t)dt.$$

因此 D 对，C 错。

对 A、B 而言，当 $c>\frac{1}{2}$ 时应有 B；当 $c<\frac{1}{2}$ 时积分上下限反向，不等号方向改变，应有 A。因此 A、B 都不能对任意 $c\in (0,1)$ 恒成立。

---

6. 【2009-3-4 分】 使不等式

$${\int }_1^x\frac{\sin t}{t}dt>\ln x$$

成立的 $x$ 的范围是（ ）。

A. $(0,1)$    B. $\left(1,\frac{\pi }{2}\right)$    C. $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$    D. $(\pi ,+\infty )$

查看答案与解析

答案： A。

解析： 令

$$H(x)={\int }_1^x\frac{\sin t}{t}dt-\ln x,x>0.$$

则

$$H^{\prime }(x)=\frac{\sin x-1}{x}\le 0,$$

且除孤立点外严格小于 $0$，故 $H(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格递减。又

$$H(1)=0.$$

因此当 $0<x<1$ 时，$H(x)>0$；当 $x>1$ 时，$H(x)<0$。故所求范围为 $(0,1)$。B、C、D 均位于 $x>1$ 的区域，不等式不成立。

---

7. 【2011-123-4 分】 设

$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (\sin x)dx,J={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (\cot x)dx,K={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (\cos x)dx,$$

则 $I,J,K$ 的大小关系是（ ）。

A. $I<J<K$    B. $I<K<J$    C. $J<I<K$    D. $K<J<I$

查看答案与解析

答案： B。

解析： 当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$ 时，

$$0<\sin x<\cos x<1,$$

因而

$$\ln (\sin x)<\ln (\cos x)<0.$$

积分后得到 $I<K<0$。

同时，$\cot x>1$，故 $\ln (\cot x)>0$，从而 $J>0$。因此

$$I<K<J.$$

其余选项均未同时考虑 $I,K$ 为负而 $J$ 为正这一事实。

---

8. 【2012-12-4 分】 设

$$I_k={\int }_0^{k\pi }{e}^{x^2}\sin xdx(k=1,2,3),$$

则有（ ）。

A. $I_1<I_2<I_3$    B. $I_3<I_2<I_1$    C. $I_2<I_3<I_1$    D. $I_2<I_1<I_3$

查看答案与解析

答案： D。

解析： 先比较 $I_2$ 与 $I_1$。将区间 $[\pi ,2\pi ]$ 平移到 $[0,\pi ]$，得

$$\begin{array}{rl}{I}_2& ={\int }_0^{\pi }{e}^{x^2}\sin xdx+{\int }_0^{\pi }{e}^{(x+\pi {)}^2}\sin (x+\pi )dx\\ & ={\int }_0^{\pi }\left[e^{x^2}-e^{(x+\pi {)}^2}\right]\sin xdx<0.\end{array}$$

而 $I_1>0$，故 $I_2<I_1$。

再比较 $I_3$ 与 $I_1$：

$$\begin{array}{rl}{I}_3-I_1& ={\int }_{\pi }^{3\pi }{e}^{x^2}\sin xdx\\ & ={\int }_0^{\pi }\left[e^{(x+2\pi {)}^2}-e^{(x+\pi {)}^2}\right]\sin xdx>0.\end{array}$$

所以 $I_3>I_1$。综上，

$$I_2<I_1<I_3.$$

A、B、C 均与这一顺序不符。

---

9. 【2018-123-4 分】 设

$$M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}dx,$$ $$N={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+x}{e^x}dx,$$ $$K={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(1+\sqrt{\cos x}\right)dx,$$

则（ ）。

A. $M>N>K$    B. $M>K>N$    C. $K>M>N$    D. $K>N>M$

查看答案与解析

答案： C。

解析： 先计算 $M$：

$$\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}=1+\frac{2x}{1+x^2}.$$

其中第二项为奇函数，因此

$$M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1dx=\pi .$$

对 $K$，由于 $\sqrt{\cos x}>0$ 在区间内部成立，故

$$K=\pi +{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\cos x}dx>\pi =M.$$

对 $N$，令 $a=\frac{\pi }{2}$，利用对称区间配对可得

$$\begin{array}{rl}N& ={\int }_0^a\left[(1+x)e^{-x}+(1-x)e^x\right]dx\\ & =2{\int }_0^a\left(\cosh x-x\sinh x\right)dx.\end{array}$$

令 $h(x)=\cosh x-x\sinh x$，则

$$h^{\prime }(x)=-x\cosh x<0(0<x\le a),$$

且 $h(0)=1$，故 $h(x)<1$。于是

$$N<2{\int }_0^{a}1dx=2a=\pi =M.$$

因而

$$K>M>N.$$

A、B、D 均与该大小关系不符。

---

10. 【2022-123-5 分】 已知

$$I_1={\int }_0^1\frac{x}{2(1+\cos x)}dx,I_2={\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}dx,I_3={\int }_0^1\frac{2x}{1+\sin x}dx,$$

则（ ）。

A. $I_1<I_2<I_3$    B. $I_2<I_1<I_3$    C. $I_1<I_3<I_2$    D. $I_3<I_2<I_1$

查看答案与解析

答案： A。

解析： 当 $0<x<1$ 时，由对数函数的常用不等式可得

$$\frac{x}{2}<\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x.$$

因为 $1+\cos x>0$，所以

$$\frac{x}{2(1+\cos x)}<\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}.$$

因而

$$I_1<I_2.$$

另一方面，在 $0<x<1$ 上有

$$1+\cos x>1>\frac{1+\sin x}{2}.$$

再结合 $\ln (1+x)<x$，得到

$$\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}<\frac{x}{1+\cos x}<\frac{2x}{1+\sin x}.$$

因而

$$I_2<I_3.$$

综上，

$$I_1<I_2<I_3.$$

B、C、D 均与上述逐点比较所得的积分大小关系不符。

---

11. 【2024-3-5 分】 设

$$I={\int }_a^{a+k\pi }|\sin x|dx,$$

其中 $k$ 为整数，则 $I$ 的值（ ）。

A. 只与 $a$ 有关    B. 只与 $k$ 有关    C. 与 $a,k$ 均有关    D. 与 $a,k$ 均无关

查看答案与解析

答案： B。

解析： 函数 $|\sin x|$ 的周期为 $\pi$，且在任意一个周期上的积分均为

$${\int }_0^{\pi }|\sin x|dx={\int }_0^{\pi }\sin xdx=2.$$

当 $k>0$ 时，积分区间由 $k$ 个长度为 $\pi$ 的周期组成，因此

$$I=2k.$$

当 $k=0$ 时，显然 $I=0=2k$；当 $k<0$ 时，由定积分上下限互换的性质，同样有

$$I=-2(-k)=2k.$$

所以对任意整数 $k$，均有

$$I=2k,$$

其值只与 $k$ 有关，而与积分起点 $a$ 无关，故选 B。