小题与大题

小题

1. 【1989-5-3 分】 某商品的需求量 $Q$ 与价格 $P$ 的函数关系为 $Q=a{p}^b$，其中 $a$ 和 $b$ 为常数，且 $a\ne 0$，则需求量对价格 $P$ 的弹性是___。

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答案： $b$。

解析： 按点弹性的定义，需求量 $Q$ 关于价格 $p$ 的弹性为

$$E_p=\frac{dQ}{dp}\cdot \frac{p}{Q}.$$

由

$$Q=a{p}^b$$

得

$$\frac{dQ}{dp}=ab{p}^{b-1}.$$

所以

$$E_p=ab{p}^{b-1}\cdot \frac{p}{a{p}^b}=b.$$

若采用弹性绝对值的记法，则其绝对值为 $|b|$。

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2. 【1992-45-3 分】 设商品的需求函数为 $Q=100-5P$，其中 $Q$，$P$ 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1，则商品价格的取值范围是（元）。

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答案： $10<P<20$。

解析： 需求函数为

$$Q=100-5P.$$

在经济意义下要求 $Q>0$，故

$$0<P<20.$$

需求价格弹性的绝对值为

$$\eta =-\frac{dQ}{dP}\cdot \frac{P}{Q}=5\cdot \frac{P}{100-5P}=\frac{P}{20-P}.$$

由 $\eta >1$ 得

$$\frac{P}{20-P}>1.$$

由于 $0<P<20$，分母为正，因此

$$P>20-P,$$

即

$$P>10.$$

结合 $P<20$，得

$$10<P<20.$$

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3. 【2001-34-3 分】 设生产函数为 $Q=A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }$，其中 $Q$ 是产出量，$L$ 是劳动投入量，$K$ 是资本投入量，而 $A$，$\alpha$，$\beta$ 均为大于零的参数，则当 $Q=1$ 时 $K$ 关于 $L$ 的弹性为___。

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答案： $-\frac{\alpha }{\beta }$。

解析： 当 $Q=1$ 时，$L$ 与 $K$ 满足

$$A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }=1.$$

两边取对数，得

$$\ln A+\alpha \ln L+\beta \ln K=0.$$

对 $L$ 求导，有

$$\frac{\alpha }{L}+\beta \frac{1}{K}\frac{dK}{dL}=0.$$

因此

$$\frac{dK}{dL}=-\frac{\alpha K}{\beta L}.$$

故 $K$ 关于 $L$ 的弹性为

$$E_L^K=\frac{dK}{dL}\cdot \frac{L}{K}=-\frac{\alpha }{\beta }.$$

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4. 【2007-34-4 分】 设某商品的需求函数为 $Q=160-2p$，其中 $Q$，$p$ 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( )

A. 10    B. 20    C. 30    D. 40

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答案： D。

解析： 需求价格弹性的绝对值为

$$\eta =-\frac{dQ}{dp}\cdot \frac{p}{Q}.$$

由 $Q=160-2p$，有

$$\frac{dQ}{dp}=-2,$$

故

$$\eta =2\cdot \frac{p}{160-2p}=\frac{p}{80-p}.$$

令 $\eta =1$，得

$$\frac{p}{80-p}=1,$$

从而

$$p=80-p,2p=80,$$

即

$$p=40.$$

故选 D。

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5. 【2009-3-4 分】 设某产品的需求函数为 $Q=Q(P)$，其对应价格 $P$ 的弹性 ${\xi }_P=0.2$，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加_________元。

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答案： $8000$ 元。

解析： 总收益为

$$R=PQ.$$

需求价格弹性取正值形式为

$${\xi }_P=-\frac{dQ}{dP}\cdot \frac{P}{Q}.$$

于是

$$P\frac{dQ}{dP}=-{\xi }_{P}Q.$$

因此收益对价格的导数为

$$\begin{array}{rl}\frac{dR}{dP}& =Q+P\frac{dQ}{dP}\\ & =Q(1-{\xi }_P).\end{array}$$

当 $Q=10000$，${\xi }_P=0.2$ 时，

$$\frac{dR}{dP}=10000(1-0.2)=8000.$$

故价格增加1元时，收益约增加 $8000$ 元。

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6. 【2010-3-4 分】 设某商品的收益函数为 $R(p)$，收益弹性为 $1+p^3$，其中 $p$ 为价格，且 $R(1)=1$，则 $R(p)=$___。

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答案： $R(p)=p\exp \left(\frac{p^3-1}{3}\right)$。

解析： 收益函数关于价格的弹性为

$$\frac{p{R}^{\prime }(p)}{R(p)}=1+p^3.$$

因此

$$\frac{R^{\prime }(p)}{R(p)}=\frac{1}{p}+p^2.$$

两边对 $p$ 积分，得

$$\ln R(p)=\ln p+\frac{p^3}{3}+C.$$

于是

$$R(p)=C_{1}p{e}^{p^3/3}.$$

由 $R(1)=1$，得

$$1=C_1{e}^{1/3},$$

从而

$$C_1=e^{-1/3}.$$

故

$$R(p)=p{e}^{(p^3-1)/3}.$$

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7. 【2014-3-4 分】 设某商品的需求函数为 $Q=40-2P$（$P$ 为商品的价格），则该商品的边际收益为___。

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答案： $MR=20-Q$，等价地，$MR=2P-20$。

解析： 由需求函数

$$Q=40-2P$$

解得反需求函数

$$P=20-\frac{Q}{2}.$$

总收益为

$$\begin{array}{rl}R(Q)& =PQ\\ & =\left(20-\frac{Q}{2}\right)Q\\ & =20Q-\frac{Q^2}{2}.\end{array}$$

故边际收益为

$$MR=R^{\prime }(Q)=20-Q.$$

由 $Q=40-2P$，也可写为

$$MR=20-(40-2P)=2P-20.$$

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8. 【2017-3-4 分】 设生产某产品的平均成本 $\bar{C}(Q)=1+e^{-Q}$，其中 $Q$ 为产量，则边际成本为___。

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答案： $MC=1+(1-Q)e^{-Q}$。

解析： 平均成本满足

$$\bar{C}(Q)=\frac{C(Q)}{Q}.$$

因此总成本为

$$C(Q)=Q\bar{C}(Q)=Q(1+e^{-Q}).$$

边际成本为总成本对产量的导数：

$$\begin{array}{rl}MC& =C^{\prime }(Q)\\ & =\frac{d}{dQ}\left[Q(1+e^{-Q})\right]\\ & =1+e^{-Q}-Q{e}^{-Q}\\ & =1+(1-Q)e^{-Q}.\end{array}$$

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9. 【2018-3-4 分】 设某产品的成本函数 $C(Q)$ 可导，其中 $Q$ 为产量，若产量为 $Q_0$ 时平均成本最小，则( )

A. $C^{\prime }(Q_0)=0$    B. $C^{\prime }(Q_0)=C(Q_0)$    C. $C^{\prime }(Q_0)=Q_{0}C(Q_0)$    D. $Q_0{C}^{\prime }(Q_0)=C(Q_0)$

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答案： D。

解析： 平均成本为

$$\bar{C}(Q)=\frac{C(Q)}{Q}.$$

当 $Q=Q_0$ 时平均成本取得极小值，必要条件为

$${\bar{C}}^{\prime }(Q_0)=0.$$

而

$${\bar{C}}^{\prime }(Q)=\frac{Q{C}^{\prime }(Q)-C(Q)}{Q^2}.$$

因此

$$Q_0{C}^{\prime }(Q_0)-C(Q_0)=0,$$

即

$$Q_0{C}^{\prime }(Q_0)=C(Q_0).$$

故选 D。

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10. 【2019-3-4 分】 以 $p_A$，$p_B$ 分别表示 A，B 两种商品的价格，设商品 A 的需求函数为 $Q_A=500-p_A^2-p_A{p}_B+2p_B^2$，则当 $p_A=10$，$p_B=20$ 时，商品 A 的需求量对自身价格的弹性 ${\eta }_{AA}({\eta }_{AA}>0)$ 为___。

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答案： $0.4$。

解析： 商品 A 的自身价格弹性取正值形式为

$${\eta }_{AA}=-\frac{\partial Q_A}{\partial p_A}\cdot \frac{p_A}{Q_A}.$$

先计算需求量：

$$\begin{array}{rl}{Q}_A& =500-10^2-10\times 20+2\times 20^2\\ & =500-100-200+800\\ & =1000.\end{array}$$

又

$$\frac{\partial Q_A}{\partial p_A}=-2p_A-p_B.$$

在 $p_A=10$，$p_B=20$ 时，

$$\frac{\partial Q_A}{\partial p_A}=-40.$$

因此

$${\eta }_{AA}=-(-40)\cdot \frac{10}{1000}=\mathrm{0.4.}$$

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11. 【2020-3-4 分】 设 $Q$ 表示产量，成本为 $C(Q)=100+13Q$，单价为 $P$，需求量 $Q(P)=\frac{800}{P+3}-2$。则工厂取得利润最大时的产量为

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答案： $8$。

解析： 由需求函数

$$Q=\frac{800}{P+3}-2$$

解得反需求函数

$$P=\frac{800}{Q+2}-3.$$

因此收益函数为

$$\begin{array}{rl}R(Q)& =PQ\\ & =\left(\frac{800}{Q+2}-3\right)Q.\end{array}$$

利润函数为

$$\begin{array}{rl}L(Q)& =R(Q)-C(Q)\\ & =\frac{800Q}{Q+2}-3Q-(100+13Q)\\ & =\frac{800Q}{Q+2}-16Q-100.\end{array}$$

求导得

$$L^{\prime }(Q)=\frac{1600}{(Q+2{)}^2}-16.$$

令 $L^{\prime }(Q)=0$，得

$$(Q+2{)}^2=100.$$

由于产量 $Q\ge 0$，故

$$Q+2=10,$$

从而

$$Q=8.$$

又

$$L^{\prime \prime }(Q)=-\frac{3200}{(Q+2{)}^3}<0,$$

所以当产量为 $8$ 时，利润取得最大值。

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12. 【2023-3-5 分】 设某公司在 $t$ 时刻的资产为 $f(t)$，从 0 时刻到 $t$ 时刻的平均资产等于 $\frac{f(t)}{t}-t$，假设 $f(t)$ 连续且 $f(0)=0$，则 $f(t)=$

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答案： $f(t)=2e^t-2t-2$。

解析： 从 0 时刻到 $t$ 时刻的平均资产为

$$\frac{1}{t}{\int }_0^{t}f(x)dx.$$

根据题意，

$$\frac{1}{t}{\int }_0^{t}f(x)dx=\frac{f(t)}{t}-t.$$

两边同乘 $t$，得

$${\int }_0^{t}f(x)dx=f(t)-t^2.$$

两边对 $t$ 求导，得

$$f(t)=f^{\prime }(t)-2t,$$

即

$$f^{\prime }(t)-f(t)=2t.$$

这是一个一阶线性微分方程。乘以积分因子 $e^{-t}$，得

$${\left[e^{-t}f(t)\right]}^{\prime }=2t{e}^{-t}.$$

由 $f(0)=0$，从 0 到 $t$ 积分得

$$\begin{array}{rl}{e}^{-t}f(t)& ={\int }_0^{t}2x{e}^{-x}dx\\ & ={\left[-2(x+1)e^{-x}\right]}_0^t\\ & =2-2(t+1)e^{-t}.\end{array}$$

因此

$$f(t)=2e^t-2t-2.$$

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13. 【2024-3-5 分】 某产品的价格函数为 $p=\{\begin{array}{ll}25-0.25Q,& Q\le 20,\\ 35-0.75Q,& Q>20,\end{array}$（$p$ 为单价，单位：万元；$Q$ 为产量，单位：件），总成本函数为 $C=150+5Q+0.25Q^2$（万元），则经营该产品可获得的最大利润为______万元。

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答案： $50$ 万元。

解析： 利润等于收益减去成本，即

$$L(Q)=p(Q)Q-C(Q).$$

当 $0\le Q\le 20$ 时，

$$\begin{array}{rl}{L}_1(Q)& =(25-0.25Q)Q-(150+5Q+0.25Q^2)\\ & =20Q-0.5Q^2-150.\end{array}$$

求导得

$$L_1^{\prime }(Q)=20-Q.$$

故 $L_1(Q)$ 在 $[0,20]$ 上单调增加，在 $Q=20$ 时取得最大值

$$L_1(20)=20\times 20-0.5\times 20^2-150=50.$$

当 $Q>20$ 时，

$$\begin{array}{rl}{L}_2(Q)& =(35-0.75Q)Q-(150+5Q+0.25Q^2)\\ & =30Q-Q^2-150.\end{array}$$

此时

$$L_2^{\prime }(Q)=30-2Q<0(Q>20),$$

所以 $L_2(Q)$ 在 $(20,+\infty )$ 上单调减少，并且

$$L_2(Q)<\underset{Q\to 20^{+}}{\lim }{L}_2(Q)=50.$$

综上，当 $Q=20$ 时利润最大，最大利润为

$$50\text{ 万元}.$$

大题

1. 【1987-5-8 分】 设某产品的总成本函数为 $C(x)=400+3x+\frac{1}{2}{x}^2$，而需求函数为 $p=\frac{100}{\sqrt{x}}$，其中 $x$ 为产量（假定等于需求量），$p$ 为价格。试求：

(1)边际成本；(2)边际收益；(3)边际利润；(4)收益的价格弹性。

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答案： (1) $MC=3+x$；

(2) $MR=\frac{50}{\sqrt{x}}$；

(3) $ML=\frac{50}{\sqrt{x}}-3-x$；

(4) 收益的价格弹性为 $-1$。

解析： (1) 总成本函数为

$$C(x)=400+3x+\frac{1}{2}{x}^2.$$

边际成本为

$$MC=C^{\prime }(x)=3+x.$$

(2) 由需求函数

$$p=\frac{100}{\sqrt{x}},$$

收益函数为

$$R(x)=px=\frac{100}{\sqrt{x}}\cdot x=100\sqrt{x}.$$

因此边际收益为

$$MR=R^{\prime }(x)=\frac{50}{\sqrt{x}}.$$

(3) 利润函数为

$$L(x)=R(x)-C(x).$$

故边际利润为

$$\begin{array}{rl}ML& =L^{\prime }(x)\\ & =R^{\prime }(x)-C^{\prime }(x)\\ & =\frac{50}{\sqrt{x}}-3-x.\end{array}$$

(4) 由

$$p=\frac{100}{\sqrt{x}}$$

解得

$$x=\frac{10000}{p^2}.$$

于是收益关于价格的函数为

$$R(p)=px=\frac{10000}{p}.$$

收益的价格弹性为

$$\begin{array}{rl}{E}_p^R& =\frac{dR}{dp}\cdot \frac{p}{R}\\ & =\left(-\frac{10000}{p^2}\right)\cdot \frac{p}{10000/p}\\ & =-1.\end{array}$$

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2. 【1987-4-6 分】 已知某商品的需求量 $x$ 对价格 $p$ 的弹性为 $\eta =-3p^3$，而市场对商品的最大需求量为 1（万件），求需求函数。

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答案： $x=e^{-p^3}$（万件）。

解析： 需求量 $x$ 对价格 $p$ 的弹性定义为

$$\eta =\frac{p}{x}\frac{dx}{dp}.$$

由题意，

$$\frac{p}{x}\frac{dx}{dp}=-3p^3.$$

当 $p>0$ 时，可化为

$$\frac{1}{x}\frac{dx}{dp}=-3p^2.$$

分离变量并积分，得

$$\int \frac{1}{x}dx=\int -3p^{2}dp,$$

即

$$\ln x=-p^3+C.$$

因此

$$x=A{e}^{-p^3},A>0.$$

由于需求量随价格增加而减少，最大需求量在 $p=0$ 时取得。题设最大需求量为 1 万件，故

$$x(0)=A=1.$$

所以需求函数为

$$x=e^{-p^3}\text{（万件）}.$$

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3. 【1988-4-8 分】 已知某商品的需求量 $D$ 和供给量都是价格 $p$ 的函数：$D=D(p)=\frac{a}{p^2}$，$S=S(p)=bp$，其中 $a>0$ 和 $b>0$ 是常数；价格 $p$ 是时间 $t$ 的函数，且满足方程 $\frac{dp}{dt}=k[D(p)-S(p)]$（$k$ 是常数），假设当 $t=0$ 时价格为 1。试求：

(1)需求量等于供给量时的均衡价格 $p_e$；

(2)价格函数 $p(t)$；

(3)极限 $\underset{t\to \infty }{\lim }p(t)$。

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答案： (1) $p_e=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$；

(2) $p(t)=\sqrt[3]{\frac{a}{b}+\left(1-\frac{a}{b}\right)e^{-3bkt}}$；

(3) 在通常的价格调节假设 $k>0$ 下，

$$\underset{t\to \infty }{\lim }p(t)=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=p_e.$$

解析： (1) 均衡时需求量等于供给量，即

$$\frac{a}{p_e^2}=b{p}_e.$$

因此

$$b{p}_e^3=a,$$

从而

$$p_e=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}.$$

(2) 价格满足

$$\frac{dp}{dt}=k\left(\frac{a}{p^2}-bp\right).$$

两边乘以 $p^2$，得

$$p^2\frac{dp}{dt}=k(a-b{p}^3).$$

令

$$y=p^3,$$

则

$$\frac{dy}{dt}=3p^2\frac{dp}{dt}.$$

故原方程化为一阶线性方程

$$\frac{dy}{dt}+3bky=3ka.$$

其通解为

$$y=\frac{a}{b}+C{e}^{-3bkt}.$$

由初始条件 $p(0)=1$，即 $y(0)=1$，得

$$C=1-\frac{a}{b}.$$

因此

$$p^3(t)=\frac{a}{b}+\left(1-\frac{a}{b}\right)e^{-3bkt},$$

所以

$$p(t)=\sqrt[3]{\frac{a}{b}+\left(1-\frac{a}{b}\right)e^{-3bkt}}.$$

(3) 在价格调节模型中，$k$ 为正比例系数，因此 $k>0$。于是

$$e^{-3bkt}\to 0(t\to \infty ),$$

从而

$$\underset{t\to \infty }{\lim }p(t)=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=p_e.$$

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4. 【1989-4-9 分】 设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为 $p=p(x)=10e^{-\frac{x}{2}}$，且最大需求量为 6，其中 $x$ 表示需求量，$p$ 表示价格。

(1)求该商品的边际收益函数。

(2)求使收益最大时的产量、最大收益和相应价格。

(3)画出收益函数的图形。

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答案： (1) $MR(x)=10e^{-x/2}\left(1-\frac{x}{2}\right)$；

(2) 当 $x=2$ 时收益最大，最大收益为 $\frac{20}{e}$，相应价格为 $\frac{10}{e}$；

(3) 收益函数为 $R(x)=10x{e}^{-x/2}$，定义域为 $0\le x\le 6$。其在 $[0,2]$ 上递增，在 $[2,6]$ 上递减；$(4,40e^{-2})$ 为拐点。

解析： 收益函数为

$$R(x)=xp(x)=10x{e}^{-x/2},0\le x\le 6.$$

(1) 边际收益为

$$\begin{array}{rl}MR(x)& =R^{\prime }(x)\\ & =10e^{-x/2}-5x{e}^{-x/2}\\ & =10e^{-x/2}\left(1-\frac{x}{2}\right).\end{array}$$

(2) 由于 $e^{-x/2}>0$，所以

$$\{\begin{array}{ll}{R}^{\prime }(x)>0,& 0<x<2,\\ R^{\prime }(x)=0,& x=2,\\ R^{\prime }(x)<0,& 2<x\le 6.\end{array}$$

因此 $R(x)$ 在 $x=2$ 时取得最大值，且

$$R_{\max }=R(2)=20e^{-1}=\frac{20}{e}.$$

相应价格为

$$p(2)=10e^{-1}=\frac{10}{e}.$$

(3) 为确定图形的凹凸性，再求二阶导数：

$$\begin{array}{rl}{R}^{\prime \prime }(x)& =10e^{-x/2}\left(\frac{x}{4}-1\right)\\ & =\frac{5}{2}(x-4)e^{-x/2}.\end{array}$$

故

$$\{\begin{array}{ll}{R}^{\prime \prime }(x)<0,& 0<x<4,\\ R^{\prime \prime }(x)>0,& 4<x<6.\end{array}$$

所以曲线在 $(0,4)$ 上为凹弧，在 $(4,6)$ 上为凸弧，拐点为

$$\left(4,R(4)\right)=\left(4,40e^{-2}\right).$$

此外，曲线经过

$$(0,0),\left(2,\frac{20}{e}\right),\left(6,60e^{-3}\right).$$

据此即可画出收益函数图形：从原点出发先上升，在 $x=2$ 处达到最高点，随后下降，并在 $x=4$ 处改变凹凸性。

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5. 【1989-5-6 分】 已知某企业的总收入函数为 $R=26x-2x^2-4x^3$，总成本函数为 $C=8x+x^2$，其中 $x$ 表示产品的产量，求利润函数、边际收入函数、边际成本函数，以及企业获得最大利润时的产量和最大利润。

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答案： 利润函数为

$$L(x)=18x-3x^2-4x^3;$$

边际收入函数为

$$MR(x)=26-4x-12x^2;$$

边际成本函数为

$$MC(x)=8+2x;$$

当 $x=1$ 时利润最大，最大利润为 $11$。

解析： 利润等于总收入减去总成本，因此

$$\begin{array}{rl}L(x)& =R(x)-C(x)\\ & =(26x-2x^2-4x^3)-(8x+x^2)\\ & =18x-3x^2-4x^3.\end{array}$$

边际收入为

$$MR(x)=R^{\prime }(x)=26-4x-12x^2.$$

边际成本为

$$MC(x)=C^{\prime }(x)=8+2x.$$

利润函数的导数为

$$\begin{array}{rl}{L}^{\prime }(x)& =18-6x-12x^2\\ & =-6(2x^2+x-3)\\ & =-6(2x+3)(x-1).\end{array}$$

在经济意义下 $x\ge 0$。于是

$$\{\begin{array}{ll}{L}^{\prime }(x)>0,& 0\le x<1,\\ L^{\prime }(x)<0,& x>1.\end{array}$$

因此 $x=1$ 为利润最大点。最大利润为

$$L(1)=18-3-4=11.$$

也可以由利润最大化条件

$$MR=MC$$

得到

$$26-4x-12x^2=8+2x,$$

即

$$2x^2+x-3=0,$$

在 $x\ge 0$ 中仍得 $x=1$。

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6. 【1991-45-8 分】 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 $P_1$ 和 $P_2$，销售量分别为 $q_1$ 和 $q_2$，需求函数分别为 $q_1=24-0.2P_1$ 和 $q_2=10-0.05P_2$，总成本函数为 $C=35+40(q_1+q_2)$。试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？

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答案： 第一市场售价为 $P_1=80$，销售量为 $q_1=8$；

第二市场售价为 $P_2=120$，销售量为 $q_2=4$；

最大总利润为 $605$。

解析： 由需求函数分别解出价格：

$$P_1=120-5q_1,$$$$P_2=200-20q_2.$$

两个市场的总收益为

$$\begin{array}{rl}R& =P_1{q}_1+P_2{q}_2\\ & =(120-5q_1)q_1+(200-20q_2)q_2.\end{array}$$

总利润函数为

$$\begin{array}{rl}L(q_1,q_2)& =R-C\\ & =(120-5q_1)q_1+(200-20q_2)q_2\\ & -35-40(q_1+q_2)\\ & =80q_1-5q_1^2+160q_2-20q_2^2-35.\end{array}$$

求一阶偏导数：

$$L_{q_1}=80-10q_1,$$$$L_{q_2}=160-40q_2.$$

令其为零，得

$$q_1=8,q_2=4.$$

又因为

$$L_{q_1{q}_1}=-10<0,$$$$L_{q_2{q}_2}=-40<0,$$

且混合偏导数为零，所以利润函数为严格凹函数，上述驻点即唯一的最大值点。

相应售价为

$$P_1=120-5\times 8=80,$$$$P_2=200-20\times 4=120.$$

最大总利润为

$$\begin{array}{rl}{L}_{\max }& =80\times 8-5\times 8^2+160\times 4-20\times 4^2-35\\ & =605.\end{array}$$

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7. 【1992-5-6 分】 设生产某产品的固定成本为 10，而当产量为 $x$ 时的边际成本函数为 $MC=-40-20x+3x^2$，边际收入函数为 $MR=32+10x$。试求：

(1)总利润函数；

(2)使总利润最大的产量。

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答案： (1) 总利润函数为

$$L(x)=-x^3+15x^2+72x-10;$$

(2) 使总利润最大的产量为

$$x=12.$$

解析： 利润的边际函数等于边际收入减去边际成本，因此

$$\begin{array}{rl}{L}^{\prime }(x)& =MR-MC\\ & =(32+10x)-(-40-20x+3x^2)\\ & =72+30x-3x^2.\end{array}$$

对其积分，得

$$L(x)=72x+15x^2-x^3+C.$$

当 $x=0$ 时，尚未生产产品，总收入为 0，而固定成本为 10，所以

$$L(0)=-10.$$

因此 $C=-10$，总利润函数为

$$L(x)=-x^3+15x^2+72x-10.$$

令

$$\begin{array}{rl}{L}^{\prime }(x)& =-3x^2+30x+72\\ & =-3(x-12)(x+2)=0.\end{array}$$

得驻点

$$x=12,x=-2.$$

由于产量应满足 $x\ge 0$，只需考察 $x=12$。又

$$L^{\prime \prime }(x)=30-6x,$$

所以

$$L^{\prime \prime }(12)=-42<0.$$

故 $x=12$ 时总利润最大。

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8. 【1993-5-7 分】 已知某厂生产$x$件产品的成本为$C=25000+200x+\frac{1}{40}{x}^2$，问：

(1)要使平均成本最小，应生产多少件产品？

(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

查看答案与解析

答案： (1) 应生产 $1000$ 件产品；

(2) 应生产 $6000$ 件产品。

解析： (1) 当产量为 $x>0$ 时，平均成本为

$$\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{25000}{x}+200+\frac{x}{40}.$$

求导得

$${\overline{C}}^{\prime }(x)=-\frac{25000}{x^2}+\frac{1}{40}.$$

令 ${\overline{C}}^{\prime }(x)=0$，得

$$x^2=1000000.$$

由于 $x>0$，所以

$$x=1000.$$

又因为

$${\overline{C}}^{\prime \prime }(x)=\frac{50000}{x^3}>0,$$

故 $x=1000$ 时平均成本取得最小值。

(2) 产品以每件 $500$ 元售出时，总收入为

$$R(x)=500x.$$

利润函数为

$$\begin{array}{rl}L(x)& =R(x)-C(x)\\ & =500x-\left(25000+200x+\frac{x^2}{40}\right)\\ & =300x-25000-\frac{x^2}{40}.\end{array}$$

于是

$$L^{\prime }(x)=300-\frac{x}{20}.$$

令 $L^{\prime }(x)=0$，得

$$x=6000.$$

又

$$L^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{20}<0,$$

故 $x=6000$ 时利润最大。

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9. 【1993-4-9 分】 设某产品的成本函数为$C=a{q}^2+bq+c$，需求函数为$q=\frac{1}{e}(d-p)$，其中$C$为成本，$q$为需求量(即产量)，$p$为单价，$a,b,c,d,e$都是正的常数，且$d>b$，求：

(1)利润最大时的产量及最大利润；

(2)需求对价格的弹性；

(3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量。

查看答案与解析

答案： (1) 利润最大时的产量为

$$q^{\ast }=\frac{d-b}{2(a+e)},$$

最大利润为

$$L_{\max }=\frac{(d-b{)}^2}{4(a+e)}-c;$$

(2) 需求对价格的弹性为

$$E_p=\frac{p}{d-p}=\frac{d-eq}{eq};$$

(3) 当弹性的绝对值为 $1$ 时，产量为

$$q=\frac{d}{2e}.$$

解析： 由需求函数

$$q=\frac{d-p}{e}$$

可得反需求函数

$$p=d-eq.$$

因此总收入为

$$R(q)=pq=(d-eq)q=dq-e{q}^2.$$

利润函数为

$$\begin{array}{rl}L(q)& =R(q)-C(q)\\ & =dq-e{q}^2-(a{q}^2+bq+c)\\ & =(d-b)q-(a+e)q^2-c.\end{array}$$

于是

$$L^{\prime }(q)=d-b-2(a+e)q.$$

令 $L^{\prime }(q)=0$，得

$$q^{\ast }=\frac{d-b}{2(a+e)}.$$

因为 $d>b$，故 $q^{\ast }>0$。又

$$L^{\prime \prime }(q)=-2(a+e)<0,$$

所以该点为最大值点。代入得

$$\begin{array}{rl}{L}_{\max }& =(d-b)\frac{d-b}{2(a+e)}-(a+e){\left(\frac{d-b}{2(a+e)}\right)}^2-c\\ & =\frac{(d-b{)}^2}{4(a+e)}-c.\end{array}$$

需求量对价格的导数为

$$\frac{dq}{dp}=-\frac{1}{e}.$$

按需求弹性的通常定义

$$E_p=-\frac{p}{q}\frac{dq}{dp},$$

所以

$$E_p=\frac{p}{eq}=\frac{p}{d-p}=\frac{d-eq}{eq}.$$

令 $E_p=1$，则

$$\frac{d-eq}{eq}=1,$$

从而

$$d=2eq,$$

故

$$q=\frac{d}{2e}.$$

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10. 【1995-45-6 分】 设某产品的需求函数为$Q=Q(P)$，收益函数为$R=PQ$，其中$P$为产品价格，$Q$为需求量(产品的产量)，$Q(P)$是单调减函数，如果当价格为$P_0$，对应的产量为$Q_0$时，边际收益$\frac{dR}{dQ}{|}_{Q=Q_0}=a>0$，收益对价格的边际效应$\frac{dR}{dP}{|}_{P=P_0}=c<0$，需求对价格的弹性为$E_p=b>1$，求$P_0$和$Q_0$。

查看答案与解析

答案：

$$P_0=\frac{ab}{b-1},Q_0=-\frac{c}{b-1}.$$

解析： 由于需求函数为单调减函数，需求对价格的弹性取正值时定义为

$$E_p=-\frac{P}{Q}\frac{dQ}{dP}.$$

在 $(P_0,Q_0)$ 处有

$$-\frac{P_0}{Q_0}{\frac{dQ}{dP}|}_{P=P_0}=b,$$

所以

$${\frac{dQ}{dP}|}_{P=P_0}=-\frac{b{Q}_0}{P_0}.$$

收益函数为 $R=PQ$，故

$$\begin{array}{rl}{\frac{dR}{dP}|}_{P=P_0}& =Q_0+P_0{\frac{dQ}{dP}|}_{P=P_0}\\ & =Q_0-b{Q}_0\\ & =(1-b)Q_0.\end{array}$$

由题设该值等于 $c$，因此

$$Q_0=\frac{c}{1-b}=-\frac{c}{b-1}.$$

另一方面，

$${\frac{dP}{dQ}|}_{Q=Q_0}=-\frac{P_0}{b{Q}_0}.$$

于是边际收益为

$$\begin{array}{rl}{\frac{dR}{dQ}|}_{Q=Q_0}& =P_0+Q_0{\frac{dP}{dQ}|}_{Q=Q_0}\\ & =P_0-\frac{P_0}{b}\\ & =P_0\left(1-\frac{1}{b}\right).\end{array}$$

由题设该值等于 $a$，故

$$P_0\frac{b-1}{b}=a,$$

从而

$$P_0=\frac{ab}{b-1}.$$

由于 $a>0$、$b>1$、$c<0$，所得 $P_0,Q_0$ 均为正数。

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