三、极值和拐点｜小题·对概念的直接考查等4类

小题

（一）对概念的直接考查

1. 【1987-3-5 分】 判断正误：$g^{\prime \prime }(c)$存在，$g^{\prime }(c)=0,g^{\prime \prime }(c)<0\Rightarrow g(c)$是极大值。

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答案： 正确。

解析： 由二阶导数判别法，若函数在点 $c$ 的某邻域内有定义，且

$$g^{\prime }(c)=0,g^{\prime \prime }(c)<0,$$

则 $g^{\prime }(x)$ 在 $c$ 的左侧为正、右侧为负，即函数在 $c$ 左侧递增、右侧递减。

因此 $g(c)$ 是函数 $g(x)$ 的极大值，故命题正确。

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2. 【1987-12-3 分】 $y=x{2}^x$在$x=$____处极小值。

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答案：

$$x=-\frac{1}{\ln 2}.$$

解析： 设

$$f(x)=x{2}^x.$$

求导得

$$f^{\prime }(x)=2^x+x{2}^x\ln 2=2^x(1+x\ln 2).$$

由于 $2^x>0$，故驻点由

$$1+x\ln 2=0$$

确定，即

$$x=-\frac{1}{\ln 2}.$$

当 $x<-\frac{1}{\ln 2}$ 时，$f^{\prime }(x)<0$；当 $x>-\frac{1}{\ln 2}$ 时，$f^{\prime }(x)>0$。

因此函数先减后增，在

$$x=-\frac{1}{\ln 2}$$

处取得极小值。

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3. 【1988-45-2 分】 判断正误：$x_0$是极值点$\Rightarrow f^{\prime }(x_0)=0$。

查看答案与解析

答案： 错误。

解析： 极值点不一定是可导点。只有当函数在内点 $x_0$ 处可导且 $x_0$ 为极值点时，才有费马定理

$$f^{\prime }(x_0)=0.$$

例如

$$f(x)=|x|.$$

函数在 $x_0=0$ 处取得极小值，但

$$f_{-}^{\prime }(0)=-1,f_{+}^{\prime }(0)=1,$$

所以 $f^{\prime }(0)$ 不存在。

故原命题错误。

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4. 【1993-123-3 分】 $y=\frac{x+1}{x^2}$填表

单调减区间
单调增区间
极值点
极值
凹区间
凸区间
拐点
渐近线

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答案：

项目	结果
单调减区间	$(-\infty ,-2)$，$(0,+\infty )$
单调增区间	$(-2,0)$
极值点	$x=-2$
极值	极小值 $-\frac{1}{4}$
凹区间	$(-3,0)$，$(0,+\infty )$
凸区间	$(-\infty ,-3)$
拐点	$\left(-3,-\frac{2}{9}\right)$
渐近线	$x=0$，$y=0$

解析： 函数的定义域为

$$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty ).$$

将函数写为

$$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}.$$

求一阶导数：

$$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}=-\frac{x+2}{x^3}.$$

由 $f^{\prime }(x)$ 的符号可得：

• 在 $(-\infty ,-2)$ 上，$f^{\prime }(x)<0$；
• 在 $(-2,0)$ 上，$f^{\prime }(x)>0$；
• 在 $(0,+\infty )$ 上，$f^{\prime }(x)<0$。

故函数在 $(-\infty ,-2)$、$(0,+\infty )$ 上单调减少，在 $(-2,0)$ 上单调增加。

在 $x=-2$ 处，导数由负变正，因此该点为极小值点，且

$$f(-2)=\frac{-2+1}{(-2{)}^2}=-\frac{1}{4}.$$

再求二阶导数：

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}+\frac{6}{x^4}=\frac{2(x+3)}{x^4}.$$

因为 $x^4>0$，所以 $f^{\prime \prime }(x)$ 的符号由 $x+3$ 决定：

$$f^{\prime \prime }(x)<0(x<-3),$$$$f^{\prime \prime }(x)>0(-3<x<0\text{或}x>0).$$

按通常教材约定，$f^{\prime \prime }(x)>0$ 的区间为凹区间，$f^{\prime \prime }(x)<0$ 的区间为凸区间。因此

$$\text{凹区间为 }(-3,0),(0,+\infty ),$$$$\text{凸区间为 }(-\infty ,-3).$$

在 $x=-3$ 的两侧二阶导数异号，故有拐点

$$\left(-3,f(-3)\right)=\left(-3,-\frac{2}{9}\right).$$

最后，

$$\underset{x\to 0^{\pm }}{\lim }f(x)=+\infty ,$$

故 $x=0$ 为垂直渐近线；又

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=0,$$

故 $y=0$ 为水平渐近线。

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5. 【1989-3-3 分】 $f(x),g(x)$在$x=a$都取极大，则$F(x)=f(x)g(x)$在$x=a$( )。

A. 必极大    B. 必极小    C. 不可能极值    D. 不能确定

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答案： D。

解析： 两个函数都在 $x=a$ 处取得极大值，并不能确定它们乘积在该点的极值性质，因为还与函数值的正负有关。

例如取 $a=0$。

若

$$f(x)=g(x)=1-x^2,$$

则二者均在 $x=0$ 处取得极大值，而

$$F(x)=(1-x^2{)}^2$$

在 $x=0$ 处也取得极大值。

另一方面，若

$$f(x)=g(x)=-1-x^2,$$

则二者仍均在 $x=0$ 处取得极大值，但

$$F(x)=(-1-x^2{)}^2=(1+x^2{)}^2$$

在 $x=0$ 处取得极小值。

因此 $F(x)$ 在 $x=a$ 处可能取极大值，也可能取极小值，无法确定，故选 D。

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6. 【1990-3-3 分】 $y=\frac{1}{1+x^2}(x>0)$拐点____。

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答案：

$$\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{3}{4}\right).$$

解析： 设

$$f(x)=\frac{1}{1+x^2},x>0.$$

求导得

$$f^{\prime }(x)=-\frac{2x}{(1+x^2{)}^2}.$$

继续求导：

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(3x^2-1)}{(1+x^2{)}^3}.$$

由于分母恒正，令

$$3x^2-1=0,$$

得定义域内的唯一解

$$x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

当 $0<x<\frac{1}{\sqrt{3}}$ 时，$f^{\prime \prime }(x)<0$；当 $x>\frac{1}{\sqrt{3}}$ 时，$f^{\prime \prime }(x)>0$，故凹凸性在该点发生改变。

又

$$f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}.$$

因此拐点为

$$\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{3}{4}\right).$$

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7. 【1991-3-3 分】 $x_0\ne 0$是$f(x)$极大，则( )。

A. $x_0$必驻点    B. $-x_0$是$-f(-x)$极小    C. $-x_0$是$-f(x)$极小    D. $\forall x,f(x)\le f(x_0)$

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答案： B。

解析： 设

$$h(x)=-f(-x).$$

由于 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，所以存在 $x_0$ 的某邻域，使得其中任意 $u$ 都满足

$$f(u)\le f(x_0).$$

当 $x$ 在 $-x_0$ 附近时，$-x$ 在 $x_0$ 附近，因此

$$f(-x)\le f(x_0).$$

两边取负号，得

$$-f(-x)\ge -f(x_0).$$

即

$$h(x)\ge h(-x_0).$$

故 $-x_0$ 是函数 $-f(-x)$ 的极小值点，B 正确。

A 错误，因为极值点处函数不一定可导；D 把局部极大误认为全局最大；C 中只改变了函数值的符号而未作自变量反射，无法由已知条件推出。

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8. 【1996-5-3 分】 $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=0,f^{\prime \prime \prime }(x_0)>0$，则( )。

A. $f^{\prime }(x_0)$是$f^{\prime }(x)$极大    B. $f(x_0)$极大

C. $f(x_0)$极小    D. $(x_0,f(x_0))$拐点

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答案： D。

解析： 由于

$$f^{\prime \prime }(x_0)=0,f^{\prime \prime \prime }(x_0)>0,$$

对函数 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x_0$ 附近考察。由导数定义，$f^{\prime \prime \prime }(x_0)>0$ 表明 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x_0$ 附近由负变正，即

$$f^{\prime \prime }(x)<0(x<x_0),$$$$f^{\prime \prime }(x)>0(x>x_0)$$

在充分小的邻域内成立。

因此曲线在 $x_0$ 两侧凹凸性发生改变，故

$$(x_0,f(x_0))$$

是拐点。

同时，由于 $f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 两侧均为非负的小量，函数在该点附近并非先增后减或先减后增，所以 $f(x_0)$ 不是极值。

故选 D。

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9. 【2001-2-3 分】 $y=(x-1{)}^2(x-3{)}^2$拐点个数( )。

A. $0$    B. $1$    C. $2$    D. $3$

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答案： C。

解析： 令

$$t=x-2,$$

则

$$x-1=t+1,x-3=t-1,$$

从而

$$f(x)=(t+1{)}^2(t-1{)}^2=(t^2-1{)}^2=t^4-2t^2+1.$$

因为 $t=x-2$，所以对 $x$ 求导与对 $t$ 求导相同。于是

$$f^{\prime \prime }(x)=12t^2-4=4\left(3t^2-1\right).$$

令 $f^{\prime \prime }(x)=0$，得

$$t=\pm \frac{1}{\sqrt{3}},$$

即

$$x=2\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

在这两个点的两侧，$f^{\prime \prime }(x)$ 均发生符号改变，因此二者都是拐点的横坐标。

故曲线共有 $2$ 个拐点，选 C。

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10. 【2004-234-4 分】 $f(x)=|x(1-x)|$，则( )。

A. $x=0$极值，$(0,0)$非拐点    B. $x=0$非极值，$(0,0)$拐点

C. $x=0$极值，$(0,0)$拐点    D. $x=0$非极值，$(0,0)$非拐点

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答案： C。

解析： 在 $x=0$ 附近分段讨论。

当 $x<0$ 时，$x(1-x)<0$，故

$$f(x)=-x(1-x)=x^2-x.$$

当 $0<x<1$ 时，$x(1-x)>0$，故

$$f(x)=x(1-x)=x-x^2.$$

又 $f(0)=0$，且在 $x=0$ 的去心邻域内

$$f(x)=|x(1-x)|>0=f(0).$$

所以 $x=0$ 是函数的极小值点。

另一方面，在 $x<0$ 时

$$f^{\prime \prime }(x)=2>0,$$

而在 $0<x<1$ 时

$$f^{\prime \prime }(x)=-2<0.$$

曲线在 $x=0$ 两侧的凹凸性发生改变，且函数在该点连续，因此 $(0,0)$ 是拐点。

故 $x=0$ 既是极值点，$(0,0)$ 又是拐点，选 C。

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11. 【2005-34-4 分】 $f(x)=x\sin x+\cos x$，则( )。

A. $f(0)$极大，$f(\frac{\pi }{2})$极小    B. $f(0)$极小，$f(\frac{\pi }{2})$极大

C. 两者均极大    D. 两者均极小

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答案： B。

解析： 求导得

$$f^{\prime }(x)=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x.$$

在 $x=0$ 附近，$\cos x>0$，故 $f^{\prime }(x)$ 的符号与 $x$ 相同，即

$$f^{\prime }(x)<0(x<0),f^{\prime }(x)>0(x>0).$$

因此函数在 $x=0$ 处先减后增，$f(0)$ 为极小值。

在 $x=\frac{\pi }{2}$ 附近，$x>0$，而 $\cos x$ 由正变负，所以 $f^{\prime }(x)$ 由正变负。因此

$$f\left(\frac{\pi }{2}\right)$$

为极大值。

故选 B。

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12. 【2008-2-4 分】 $y=(x-5)x^{\frac{2}{3}}$拐点坐标____。

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答案： $(-1,-6)$。

解析： 函数可写为

$$y=x^{\frac{5}{3}}-5x^{\frac{2}{3}}.$$

当 $x\ne 0$ 时，

$$y^{\prime }=\frac{5}{3}{x}^{\frac{2}{3}}-\frac{10}{3}{x}^{-\frac{1}{3}},$$$$y^{\prime \prime }=\frac{10}{9}{x}^{-\frac{1}{3}}+\frac{10}{9}{x}^{-\frac{4}{3}}=\frac{10}{9}{x}^{-\frac{4}{3}}(x+1).$$

由于对 $x\ne 0$ 有 $x^{-\frac{4}{3}}>0$，故 $y^{\prime \prime }$ 的符号由 $x+1$ 决定。

当 $x$ 经过 $-1$ 时，$y^{\prime \prime }$ 由负变正，曲线凹凸性发生改变；而在 $x=0$ 两侧，$y^{\prime \prime }$ 均为正，凹凸性不变，所以 $x=0$ 不是拐点横坐标。

当 $x=-1$ 时，

$$y=(-1-5)(-1{)}^{\frac{2}{3}}=-6.$$

因此拐点为

$$(-1,-6).$$

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13. 【2010-3-4 分】 $y=x^3+a{x}^2+bx+1$拐点$(-1,0)$，则$b=$____。

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答案： $3$。

解析： 由

$$y^{\prime \prime }=6x+2a$$

及 $x=-1$ 为拐点横坐标，得

$$y^{\prime \prime }(-1)=-6+2a=0,$$

故

$$a=3.$$

又拐点 $(-1,0)$ 在曲线上，所以

$$(-1{)}^3+a(-1{)}^2+b(-1)+1=0.$$

代入 $a=3$，得

$$-1+3-b+1=0,$$

从而

$$b=3.$$

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14. 【2010-12-4 分】 $f_1^{\prime \prime }(x_0)<0,f_2^{\prime \prime }(x_0)<0$，同切线$y=g(x)$，$y=f_1$曲率更大，则( )。

A. $f_1\le f_2\le g$    B. $f_2\le f_1\le g$

C. $f_1\le g\le f_2$    D. $f_2\le g\le f_1$

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答案： A。

解析： 两曲线在 $x=x_0$ 处有同一条切线，故

$$f_1(x_0)=f_2(x_0)=g(x_0),$$$$f_1^{\prime }(x_0)=f_2^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0).$$

曲率公式为

$$\kappa =\frac{|f^{\prime \prime }(x_0)|}{{\left[1+{\left(f^{\prime }(x_0)\right)}^2\right]}^{\frac{3}{2}}}.$$

由于两曲线在该点斜率相同，而 $f_1$ 的曲率更大，所以

$$|f_1^{\prime \prime }(x_0)|>|f_2^{\prime \prime }(x_0)|.$$

又 $f_1^{\prime \prime }(x_0)<0$，$f_2^{\prime \prime }(x_0)<0$，故

$$f_1^{\prime \prime }(x_0)<f_2^{\prime \prime }(x_0)<0.$$

在 $x_0$ 的充分小邻域内，由二阶泰勒展开，

$$f_i(x)-g(x)=\frac{1}{2}{f}_i^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+o\left((x-x_0{)}^2\right),i=1,2.$$

因此两条曲线均位于公共切线下方，且曲率更大的 $f_1$ 位于更下方，即

$$f_1(x)\le f_2(x)\le g(x).$$

故选 A。

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15. 【2019-3-4 分】 $y=x\sin x+2\cos x\left(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{3}{2}\pi \right)$ 的拐点坐标为____。

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答案： $(\pi ,-2)$。

解析： 求导得

$$y^{\prime }=\sin x+x\cos x-2\sin x=x\cos x-\sin x,$$$$y^{\prime \prime }=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x.$$

在区间 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$ 内，$y^{\prime \prime }=0$ 的点为

$$x=0,x=\pi .$$

考察符号：

• 当 $-\frac{\pi }{2}<x<0$ 时，$x<0$，$\sin x<0$，故 $y^{\prime \prime }<0$；
• 当 $0<x<\pi$ 时，$x>0$，$\sin x>0$，故 $y^{\prime \prime }<0$；
• 当 $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$ 时，$x>0$，$\sin x<0$，故 $y^{\prime \prime }>0$。

所以 $x=0$ 两侧凹凸性不变，不是拐点；$x=\pi$ 两侧凹凸性改变，是拐点横坐标。

又

$$y(\pi )=\pi \sin \pi +2\cos \pi =-2.$$

故拐点为

$$(\pi ,-2).$$

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16. 【2019-2-4 分】 函数 $y=x\sin x+2\cos x\left(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{3}{2}\pi \right)$ 的拐点为（ ）。

A. $(0,2)$    B. $(\pi ,-2)$    C. $\left(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$    D. $\left(\frac{3}{2}\pi ,-\frac{3}{2}\pi \right)$

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答案： B。

解析： 由上一题的计算，

$$y^{\prime \prime }=-x\sin x.$$

在给定区间内，可能使 $y^{\prime \prime }=0$ 的点为

$$x=0,x=\pi .$$

在 $x=0$ 左右，$y^{\prime \prime }$ 均小于零，凹凸性不变；在 $x=\pi$ 左侧 $y^{\prime \prime }<0$，右侧 $y^{\prime \prime }>0$，凹凸性发生改变。

又

$$y(\pi )=-2.$$

所以唯一拐点为

$$(\pi ,-2),$$

故选 B。

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17. 【2019-1-4 分】 $f(x)=\{\begin{array}{l}x|x|,x\le 0\\ x\ln x,x>0\end{array}$，$x=0$ ( )。

A. 可导极值    B. 不可导极值    C. 可导非极值    D. 不可导非极值

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答案： B。

解析： 当 $x<0$ 时，

$$f(x)=x|x|=-x^2<0.$$

当 $0<x<1$ 时，$\ln x<0$，故

$$f(x)=x\ln x<0.$$

而

$$f(0)=0.$$

因此在 $x=0$ 的某个去心邻域内，恒有

$$f(x)<f(0),$$

所以 $x=0$ 是极大值点。

再判断可导性。左导数为

$$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x^2-0}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(-x)=0.$$

右导数为

$$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x\ln x-0}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty .$$

右导数不存在，因此函数在 $x=0$ 处不可导。

故 $x=0$ 是不可导的极值点，选 B。

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18. 【2023-2-5 分】 设函数 $f(x)=(x^2+a)e^x$，若 $f(x)$ 没有极值点，但曲线 $f(x)$ 有拐点，则 $a$ 的取值范围是( )

A. $[0,1)$    B. $[1,+\infty )$    C. $[1,2)$    D. $[2,+\infty )$

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答案： C。

解析： 先考察极值点。求导得

$$f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2+2x+a\right)=e^x\left[(x+1{)}^2+a-1\right].$$

由于 $e^x>0$，$f^{\prime }(x)$ 的符号由

$$(x+1{)}^2+a-1$$

决定。

当 $a<1$ 时，该二次式有两个不同实根，且导数符号发生两次改变，函数存在极值点。

当 $a=1$ 时，

$$f^{\prime }(x)=e^x(x+1{)}^2\ge 0,$$

在 $x=-1$ 处导数虽为零，但不变号，因此没有极值点。

当 $a>1$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，也没有极值点。

故“没有极值点”等价于

$$a\ge 1.$$

再考察拐点：

$$f^{\prime \prime }(x)=e^x\left(x^2+4x+a+2\right)=e^x\left[(x+2{)}^2+a-2\right].$$

曲线存在拐点，要求二次式有两个不同实根并在根处变号，即

$$a-2<0,$$

所以

$$a<2.$$

综合得

$$1\le a<2.$$

故选 C。

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19. 【2023-3-5 分】 已知可导函数 $y=f(x)$，其满足 $a{e}^x+y^2+y-\ln (1+x)\cos y+b=0$，且满足 $y(0)=0$，$y^{\prime }(0)=0$。

(1)求 $a$，$b$；

(2)判断 $x=0$ 是否为 $y=f(x)$ 的极值点。

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答案： (1) $a=1$，$b=-1$；

(2) $x=0$ 是 $y=f(x)$ 的极大值点。

解析： 将 $x=0$，$y(0)=0$ 代入原方程，得

$$a+b=0.$$

即

$$b=-a.$$

对原方程两边关于 $x$ 求导，得

$$a{e}^x+(2y+1)y^{\prime }-\frac{\cos y}{1+x}+\ln (1+x)\sin y{y}^{\prime }=0.$$

令 $x=0$，利用 $y(0)=0$，$y^{\prime }(0)=0$，得

$$a-1=0.$$

所以

$$a=1,b=-1.$$

下面判断极值。由于原方程左端对 $y$ 的偏导数在 $(0,0)$ 处为

$$2y+1+\ln (1+x)\sin y{|}_{(0,0)}=1\ne 0,$$

故由隐函数定理，$y=f(x)$ 在零点附近具有足够阶的连续导数。

再对一阶导数关系求导：

$$a{e}^x+2(y^{\prime }{)}^2+(2y+1)y^{\prime \prime }+\frac{\sin y{y}^{\prime }}{1+x}+\frac{\cos y}{(1+x{)}^2}+\frac{\sin y{y}^{\prime }}{1+x}+\ln (1+x)\left[\cos y(y^{\prime }{)}^2+\sin y{y}^{\prime \prime }\right]=0.$$

令 $x=0$，并代入

$$a=1,y(0)=0,y^{\prime }(0)=0,$$

得到

$$1+y^{\prime \prime }(0)+1=0.$$

因此

$$y^{\prime \prime }(0)=-2<0.$$

又 $y^{\prime }(0)=0$，故由极值的第二充分条件，$x=0$ 是函数 $y=f(x)$ 的极大值点。

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20. 【2025-123-5 分】 已知函数 $f(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}\sin t\mathrm{d}t$，$g(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t\cdot {\sin }^{2}x$。则( )

A. $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，也是 $g(x)$ 的极值点。

B. $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，$(0,0)$ 是 $g(x)$ 的拐点。

C. $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，$(0,0)$ 是 $f(x)$ 的拐点。

D. $(0,0)$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点，$(0,0)$ 也是 $g(x)$ 的拐点。

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答案： B

解析： 由变上限积分求导公式，

$$f^{\prime }(x)=e^{x^2}\sin x.$$

由于 $e^{x^2}>0$，所以在 $x=0$ 的充分小邻域内，$f^{\prime }(x)$ 与 $x$ 同号，即

$$f^{\prime }(x)<0(x<0),f^{\prime }(x)>0(x>0).$$

故 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点。

令

$$F(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t,h(x)={\sin }^{2}x,$$

则 $g(x)=F(x)h(x)$。注意到

$$F(0)=0,F^{\prime }(0)=1,$$

以及

$$h(0)=h^{\prime }(0)=0,h^{\prime \prime }(0)=2.$$

因此

$$g^{\prime \prime }(0)=0,$$

且

$$g^{\prime \prime \prime }(0)=3F^{\prime }(0)h^{\prime \prime }(0)=6>0.$$

由于 $g^{\prime \prime \prime }(x)$ 在零点附近连续，故在零点附近有 $g^{\prime \prime \prime }(x)>0$，从而 $g^{\prime \prime }(x)$ 严格增加。结合 $g^{\prime \prime }(0)=0$ 可知

$$g^{\prime \prime }(x)<0(x<0),g^{\prime \prime }(x)>0(x>0).$$

所以曲线 $y=g(x)$ 在 $(0,0)$ 两侧凹凸性发生改变，$(0,0)$ 是其拐点。

综上，选 B。

（二）结合方程

1. 【1988-12-3 分】 设 $y=f(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+4y=0$ 的一个解，若 $f(x)>0$，且 $f^{\prime }(x_0)=0$，则函数 $f(x)$ 在点 $x_0$( )

A. 取得极大值    B. 取得极小值    C. 某个邻域内单调增加    D. 某个邻域内单调减少

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答案： A

解析： 由微分方程

$$f^{\prime \prime }(x)-2f^{\prime }(x)+4f(x)=0$$

得

$$f^{\prime \prime }(x_0)=2f^{\prime }(x_0)-4f(x_0).$$

又 $f^{\prime }(x_0)=0$，且 $f(x_0)>0$，所以

$$f^{\prime \prime }(x_0)=-4f(x_0)<0.$$

因此由极值的第二充分条件，$x_0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，即函数在该点取得极大值。

故选 A。

---

2. 【1994-3-3 分】 设 $y=f(x)$ 是满足微分方程 $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-e^{\sin x}=0$，且 $f^{\prime }(x_0)=0$，则 $f(x)$ 在( )

A. $x_0$ 的某个邻域内单调增加    B. $x_0$ 的某个邻域内单调减少

C. $x_0$ 处取得极小值    D. $x_0$ 处取得极大值

查看答案与解析

答案： C

解析： 由微分方程可得

$$f^{\prime \prime }(x)=e^{\sin x}-f^{\prime }(x).$$

将 $f^{\prime }(x_0)=0$ 代入，得

$$f^{\prime \prime }(x_0)=e^{\sin x_0}>0.$$

因此由极值的第二充分条件，$x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点，函数在 $x_0$ 处取得极小值。

故选 C。

---

3. 【1997-2-3 分】 已知函数 $y=f(x)$ 对一切 $x$ 满足 $x{f}^{\prime \prime }(x)+3x[f^{\prime }(x){]}^2=1-e^{-x}$，若 $f^{\prime }(x_0)=0(x_0\ne 0)$，则( )

A. $f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的极大值

B. $f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的极小值

C. $(x_0,f(x_0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

D. $f(x_0)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(x_0,f(x_0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

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答案： B

解析： 在 $x=x_0$ 处，由 $f^{\prime }(x_0)=0$ 得

$$x_0{f}^{\prime \prime }(x_0)=1-e^{-x_0},$$

即

$$f^{\prime \prime }(x_0)=\frac{1-e^{-x_0}}{x_0}.$$

当 $x_0>0$ 时，$1-e^{-x_0}>0$；当 $x_0<0$ 时，$1-e^{-x_0}<0$。因此分子与分母始终同号，从而

$$f^{\prime \prime }(x_0)>0.$$

由极值的第二充分条件，$x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点，即 $f(x_0)$ 是函数的极小值。

故选 B。

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4. 【2000-2-3 分】 设函数 $f(x)$ 满足关系式 $f^{\prime \prime }(x)+[f^{\prime }(x){]}^2=x$，且 $f^{\prime }(0)=0$，则( )

A. $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值

B. $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值

C. 点 $(0,f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

D. $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值，点 $(0,f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

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答案： C

解析： 令 $x=0$，由

$$f^{\prime \prime }(x)+[f^{\prime }(x){]}^2=x$$

以及 $f^{\prime }(0)=0$，得

$$f^{\prime \prime }(0)=0.$$

对原关系式两边求导，得

$$f^{\prime \prime \prime }(x)+2f^{\prime }(x)f^{\prime \prime }(x)=1.$$

令 $x=0$，可得

$$f^{\prime \prime \prime }(0)=1>0.$$

由于 $f^{\prime \prime \prime }(x)$ 在零点附近连续，故 $f^{\prime \prime }(x)$ 在零点附近严格增加。又 $f^{\prime \prime }(0)=0$，所以

$$f^{\prime \prime }(x)<0(x<0),f^{\prime \prime }(x)>0(x>0).$$

因此曲线在 $x=0$ 两侧凹凸性发生改变，点 $(0,f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。

故选 C。

（三）结合图像

1. 【2003-12-4 分】 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内连续，其导数的图形如图所示，则 $f(x)$ 有( )

A. 一个极小值点和两个极大值点

B. 两个极小值点和一个极大值点

C. 两个极小值点和两个极大值点

D. 三个极小值点和一个极大值点

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答案： B

解析： 图像表示的是 $f^{\prime }(x)$。

从左到右观察 $f^{\prime }(x)$ 与横轴的交点及其符号变化：

• 第一个交点处，$f^{\prime }(x)$ 由正变负，因此 $f(x)$ 取得极大值；
• 第二个交点处，$f^{\prime }(x)$ 由负变正，因此 $f(x)$ 取得极小值；
• 右侧交点处，$f^{\prime }(x)$ 再次由负变正，因此 $f(x)$ 又取得一个极小值。

所以 $f(x)$ 有两个极小值点和一个极大值点。

故选 B。

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2. 【2015-123-4 分】 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内连续，其二阶导函数 $f^{\prime \prime }(x)$ 的图形如图所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为( )

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. $3$

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答案： B

解析： 曲线 $y=f(x)$ 的拐点对应 $f^{\prime \prime }(x)$ 变号的位置。

左侧曲线虽然与横轴相切，但在该点两侧均位于横轴上方，即 $f^{\prime \prime }(x)$ 均为正，未发生变号，因此该点不是拐点。

右侧曲线穿过横轴，$f^{\prime \prime }(x)$ 由负变正，凹凸性发生改变，因此产生一个拐点。

所以曲线共有一个拐点。

故选 B。

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3. 【2016-23-4 分】 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内连续，其导函数的图像如图所示，则( )

A. 函数 $f(x)$ 有 $2$ 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 $2$ 个拐点

B. 函数 $f(x)$ 有 $2$ 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 $3$ 个拐点

C. 函数 $f(x)$ 有 $3$ 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 $1$ 个拐点

D. 函数 $f(x)$ 有 $3$ 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 $2$ 个拐点

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答案： B

解析： 图像为 $f^{\prime }(x)$ 的图像。

先判断极值点。$f^{\prime }(x)$ 与横轴有两个穿越交点：

• 左侧交点处，$f^{\prime }(x)$ 由正变负，故 $f(x)$ 有一个极大值点；
• 虚线右侧的第一个交点处，$f^{\prime }(x)$ 由负变正，故 $f(x)$ 有一个极小值点。

右侧曲线在横轴处相切，但 $f^{\prime }(x)$ 在该点两侧均为正，符号不变，故该点不是极值点。因此 $f(x)$ 共有两个极值点。

再判断拐点。曲线 $y=f(x)$ 的凹凸性由 $f^{\prime }(x)$ 的增减性决定：

• 在虚线所示点的左、右两侧，$f^{\prime }(x)$ 由递减转为递增，凹凸性发生改变；
• 右侧波峰处，$f^{\prime }(x)$ 由递增转为递减，产生一个拐点；
• 右侧与横轴相切的谷点处，$f^{\prime }(x)$ 由递减转为递增，再产生一个拐点。

所以曲线 $y=f(x)$ 共有三个拐点。

故选 B。

（四）结合极限

1. 【1987-12-3 分】 设 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{(x-a{)}^2}=-1$，则在点 $x=a$ 处( )

A. $f(x)$ 导数存在，$f^{\prime }(a)\ne 0$    B. $f(x)$ 取得极大值

C. $f(x)$ 取得极小值    D. $f(x)$ 的导数不存在

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答案： B

解析： 由极限为 $-1$ 可知，当 $x$ 充分接近 $a$ 且 $x\ne a$ 时，

$$\frac{f(x)-f(a)}{(x-a{)}^2}<0.$$

由于 $(x-a{)}^2>0$，故

$$f(x)-f(a)<0,$$

即

$$f(x)<f(a).$$

因此 $f(a)$ 是函数的极大值。

另外，

$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=(x-a)\frac{f(x)-f(a)}{(x-a{)}^2}\to 0,$$

所以 $f^{\prime }(a)=0$。故 A、D 均不正确。

故选 B。

---

2. 【1990-123-3 分】 已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内连续，且 $f(0)=0$，$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{1-\cos x}=2$，则在点 $x=0$ 处 $f(x)$( )

A. 不可导    B. 可导，且 $f^{\prime }(0)\ne 0$    C. 取得极大值    D. 取得极小值

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答案： D

解析： 由

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{1-\cos x}=2>0$$

可知，当 $x$ 充分接近 $0$ 且 $x\ne 0$ 时，$f(x)$ 与 $1-\cos x$ 同号。

又因为

$$1-\cos x>0(x\ne 0),$$

所以在零点的某个去心邻域内有

$$f(x)>0=f(0).$$

因此 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点，函数在该点取得极小值。

事实上，由 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，还有

$$f(x)\sim x^2,$$

从而 $f^{\prime }(0)=0$，故 B 也不成立。

故选 D。

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3. 【1996-12-3 分】 设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $f^{\prime }(0)=0$，$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)}{|x|}=1$，则( )

A. $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值

B. $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值

C. $(0,f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

D. $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(0,f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

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答案： B

解析： 由

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime \prime }(x)}{|x|}=1>0,$$

可知当 $x$ 充分接近 $0$ 且 $x\ne 0$ 时，

$$f^{\prime \prime }(x)>0.$$

因此 $f^{\prime }(x)$ 在零点附近严格单调增加。又因为 $f^{\prime }(0)=0$，所以

$$f^{\prime }(x)<0(x<0),f^{\prime }(x)>0(x>0).$$

于是 $f(x)$ 在 $x=0$ 左侧递减、右侧递增，故 $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值。

另一方面，$f^{\prime \prime }(x)$ 在零点两侧均为正，凹凸性不发生改变，因此 $(0,f(0))$ 不是拐点。

故选 B。

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4. 【1998-2-3 分】 设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某个邻域内连续，且 $f(a)$ 为极大值，则存在 $\delta >0$，当 $x\in (a-\delta ,a+\delta )$ 时，必有( )

A. $(x-a)[f(x)-f(a)]\ge 0$

B. $(x-a)[f(x)-f(a)]\le 0$

C. $\underset{t\to a}{\lim }\frac{f(t)-f(x)}{(t-x{)}^2}\ge 0(x\ne a)$

D. $\underset{t\to a}{\lim }\frac{f(t)-f(x)}{(t-x{)}^2}\le 0(x\ne a)$

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答案： C

解析： 因为 $f(a)$ 是极大值，所以存在 $\delta >0$，使得当

$$x\in (a-\delta ,a+\delta )$$

时，恒有

$$f(x)\le f(a).$$

固定任意 $x\ne a$，由 $f$ 在 $a$ 处连续，得

$$\underset{t\to a}{\lim }\frac{f(t)-f(x)}{(t-x{)}^2}=\frac{f(a)-f(x)}{(a-x{)}^2}.$$

其中

$$f(a)-f(x)\ge 0,(a-x{)}^2>0,$$

故

$$\underset{t\to a}{\lim }\frac{f(t)-f(x)}{(t-x{)}^2}\ge 0.$$

因此 C 必然成立。

对于 A、B，当 $x$ 位于 $a$ 的两侧时，$x-a$ 的符号不同，故均不能在整个邻域内恒成立。

故选 C。

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5. 【2001-34-3 分】 设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，又 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{x-a}=-1$，则( )

A. $x=a$ 是 $f(x)$ 的极小值点

B. $x=a$ 是 $f(x)$ 的极大值点

C. $(a,f(a))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

D. $x=a$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(a,f(a))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

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答案： B

解析： 由于 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=a$ 处连续，且

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{x-a}=-1,$$

首先有 $f^{\prime }(a)=0$。否则当 $x\to a$ 时，分子趋于非零常数，而分母趋于零，极限不可能为有限值。

又由极限为负数可知，当 $x$ 充分接近 $a$ 且 $x\ne a$ 时，

$$\frac{f^{\prime }(x)}{x-a}<0.$$

因此：

• 当 $x<a$ 时，$x-a<0$，从而 $f^{\prime }(x)>0$；
• 当 $x>a$ 时，$x-a>0$，从而 $f^{\prime }(x)<0$。

所以 $f(x)$ 在 $a$ 的左侧递增、右侧递减，故 $x=a$ 是 $f(x)$ 的极大值点。

故选 B。