一、导数的几何意义和物理意义｜小题·求某点的切线和法线与相切的充要条件

小题

（一）求某点的切线和法线

1. 【1987-3-3 分】 曲线 $y=\arctan x$ 在横坐标为 $1$ 点处的切线方程为____，法线方程为____。

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答案： 切线方程为 $y-\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}(x-1)$；法线方程为 $y-\frac{\pi }{4}=-2(x-1)$。

解析： 曲线在 $x=1$ 处对应的点为

$$\left(1,\arctan 1\right)=\left(1,\frac{\pi }{4}\right).$$

由

$$y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2},$$

得切线斜率

$$k_{\text{切}}=y^{\prime }(1)=\frac{1}{2}.$$

因此切线方程为

$$y-\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}(x-1).$$

法线斜率为切线斜率的负倒数，即

$$k_{\text{法}}=-\frac{1}{k_{\text{切}}}=-2,$$

故法线方程为

$$y-\frac{\pi }{4}=-2(x-1).$$

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2. 【1988-3-4 分】 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+6x+1$ 的图形在点 $(0,1)$ 处切线与 $x$ 轴交点的坐标是（ ）。

A. $\left(-\frac{1}{6},0\right)$    B. $(-1,0)$    C. $\left(\frac{1}{6},0\right)$    D. $(1,0)$

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答案： A。

解析： 先求导：

$$f^{\prime }(x)=x^2+x+6.$$

所以曲线在 $x=0$ 处的切线斜率为

$$f^{\prime }(0)=6.$$

切线经过点 $(0,1)$，故切线方程为

$$y-1=6x,$$

即

$$y=6x+1.$$

令 $y=0$，得

$$6x+1=0⟹x=-\frac{1}{6}.$$

因此切线与 $x$ 轴的交点为 $\left(-\frac{1}{6},0\right)$，故选 A。其余选项均不满足切线方程。

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3. 【1989-3-3 分】 曲线 $y={\int }_0^x(t-1)(t-2)dt$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程是____。

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答案： $y=2x$。

解析： 由变上限积分求导公式，

$$y^{\prime }=(x-1)(x-2).$$

在 $x=0$ 处，切线斜率为

$$y^{\prime }(0)=(-1)(-2)=2.$$

曲线经过点 $(0,0)$，故切线方程为

$$y-0=2(x-0),$$

即

$$y=2x.$$

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4. 【1990-3-3 分】 曲线

$$\{\begin{array}{l}x={\cos }^{3}t,\\ y={\sin }^{3}t\end{array}$$

上对应 $t=\frac{\pi }{6}$ 点处的法线方程是____。

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答案： $y-\frac{1}{8}=\sqrt{3}\left(x-\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)$，即 $y=\sqrt{3}x-1$。

解析： 当 $t=\frac{\pi }{6}$ 时，曲线上对应点为

$$x={\cos }^3\frac{\pi }{6}={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3=\frac{3\sqrt{3}}{8},$$$$y={\sin }^3\frac{\pi }{6}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}.$$

参数方程所确定曲线的切线斜率为

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{3{\sin }^{2}t\cos t}{-3{\cos }^{2}t\sin t}=-\tan t.$$

因此在 $t=\frac{\pi }{6}$ 处，

$$k_{\text{切}}=-\tan \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

法线斜率为

$$k_{\text{法}}=-\frac{1}{k_{\text{切}}}=\sqrt{3}.$$

故法线方程为

$$y-\frac{1}{8}=\sqrt{3}\left(x-\frac{3\sqrt{3}}{8}\right),$$

化简得

$$y=\sqrt{3}x-1.$$

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5. 【1995-45-3 分】 设 $f(x)$ 为可导函数，且满足条件 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1)-f(1-x)}{2x}=-1$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线斜率为（ ）。

A. $2$    B. $-1$    C. $\frac{1}{2}$    D. $-2$

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答案： D。

解析： 由导数定义，

$$f^{\prime }(1)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1)-f(1-x)}{x}.$$

又题设给出

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1)-f(1-x)}{2x}=-1,$$

故

$$\frac{1}{2}{f}^{\prime }(1)=-1,$$

从而

$$f^{\prime }(1)=-2.$$

曲线在点 $(1,f(1))$ 处的切线斜率就是 $f^{\prime }(1)$，故选 D。

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6. 【1995-3-3 分】 曲线

$$\{\begin{array}{l}x=1+t^2,\\ y=t^3\end{array}$$

在 $t=2$ 处的切线方程为____。

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答案： $y-8=3(x-5)$，即 $3x-y-7=0$。

解析： 当 $t=2$ 时，曲线上对应点为

$$x=1+2^2=5,y=2^3=8.$$

又

$$\frac{dx}{dt}=2t,\frac{dy}{dt}=3t^2,$$

所以

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2}.$$

当 $t=2$ 时，切线斜率为

$$k=\frac{3\times 2}{2}=3.$$

因此切线方程为

$$y-8=3(x-5),$$

即

$$3x-y-7=0.$$

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7. 【1996-4-3 分】 设 $(x_0,y_0)$ 是抛物线 $y=a{x}^2+bx+c$ 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数 $a,b,c$ 应满足的关系是____。

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答案： $a{x}_0^2=c$。

解析： 由于 $(x_0,y_0)$ 在抛物线上，故

$$y_0=a{x}_0^2+b{x}_0+c.$$

抛物线的导数为

$$y^{\prime }=2ax+b,$$

所以在 $(x_0,y_0)$ 处的切线斜率为

$$2a{x}_0+b.$$

切线方程为

$$y-y_0=(2a{x}_0+b)(x-x_0).$$

该切线经过原点 $(0,0)$，代入得

$$-y_0=-(2a{x}_0+b)x_0,$$

即

$$y_0=(2a{x}_0+b)x_0.$$

与 $y_0=a{x}_0^2+b{x}_0+c$ 比较，得

$$a{x}_0^2+b{x}_0+c=2a{x}_0^2+b{x}_0,$$

从而

$$a{x}_0^2=c.$$

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8. 【1997-1-3 分】 对数螺线 $\rho =e^{\theta }$ 在点 $(\rho ,\theta )=\left(e^{\frac{\pi }{2}},\frac{\pi }{2}\right)$ 处切线的直角坐标方程为____。

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答案： $x+y=e^{\frac{\pi }{2}}$。

解析： 由极坐标与直角坐标的关系，

$$x=\rho \cos \theta =e^{\theta }\cos \theta ,$$$$y=\rho \sin \theta =e^{\theta }\sin \theta .$$

当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时，曲线上对应点为

$$x=0,y=e^{\frac{\pi }{2}}.$$

分别对 $\theta$ 求导：

$$\frac{dx}{d\theta }=e^{\theta }(\cos \theta -\sin \theta ),$$$$\frac{dy}{d\theta }=e^{\theta }(\sin \theta +\cos \theta ).$$

故切线斜率为

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin \theta +\cos \theta }{\cos \theta -\sin \theta }.$$

在 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 处，

$$k=\frac{1+0}{0-1}=-1.$$

因此切线方程为

$$y-e^{\frac{\pi }{2}}=-x,$$

即

$$x+y=e^{\frac{\pi }{2}}.$$

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9. 【1998-34-3 分】 设曲线 $f(x)=x^n$ 在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $({\xi }_n,0)$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }f({\xi }_n)=$____。

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答案： $\frac{1}{e}$。

解析： 由

$$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1},$$

得曲线在点 $(1,1)$ 处的切线斜率为

$$f^{\prime }(1)=n.$$

切线方程为

$$y-1=n(x-1).$$

令 $y=0$，得切线与 $x$ 轴交点的横坐标

$$-1=n({\xi }_n-1),$$

所以

$${\xi }_n=1-\frac{1}{n}.$$

于是

$$f({\xi }_n)={\xi }_n^n={\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n.$$

利用重要极限，

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n=e^{-1}.$$

故

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f({\xi }_n)=\frac{1}{e}.$$

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10. 【1999-2-3 分】 曲线

$$\{\begin{array}{l}x=e^t\sin 2t,\\ y=e^t\cos t\end{array}$$

在点 $(0,1)$ 处的法线方程为____。

查看答案与解析

答案： $y-1=-2x$，即 $2x+y-1=0$。

解析： 当 $t=0$ 时，

$$x=e^0\sin 0=0,y=e^0\cos 0=1,$$

故点 $(0,1)$ 对应参数 $t=0$。

分别求导：

$$\frac{dx}{dt}=e^t\sin 2t+2e^t\cos 2t=e^t(\sin 2t+2\cos 2t),$$$$\frac{dy}{dt}=e^t\cos t-e^t\sin t=e^t(\cos t-\sin t).$$

因此切线斜率为

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t-\sin t}{\sin 2t+2\cos 2t}.$$

在 $t=0$ 处，

$$k_{\text{切}}=\frac{1}{2}.$$

所以法线斜率为

$$k_{\text{法}}=-\frac{1}{k_{\text{切}}}=-2.$$

法线经过点 $(0,1)$，故其方程为

$$y-1=-2x,$$

即

$$2x+y-1=0.$$

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11. 【2001-2-3 分】 设函数 $y=f(x)$ 由方程

$$e^{2x+y}-\cos (xy)=e-1$$

所确定，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的法线方程为____。

查看答案与解析

答案： $y-1=\frac{1}{2}x$，即 $x-2y+2=0$。

解析： 对方程两边关于 $x$ 求导，得

$$e^{2x+y}(2+y^{\prime })+\sin (xy)(y+x{y}^{\prime })=0.$$

在点 $(0,1)$ 处，$e^{2x+y}=e$，且 $\sin (xy)=0$，所以

$$e(2+y^{\prime })=0,$$

从而切线斜率为

$$y^{\prime }(0)=-2.$$

因此法线斜率为

$$k_{\text{法}}=-\frac{1}{y^{\prime }(0)}=\frac{1}{2}.$$

法线经过点 $(0,1)$，故法线方程为

$$y-1=\frac{1}{2}x,$$

即

$$x-2y+2=0.$$

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12. 【2003-2-4 分】 设函数 $y=f(x)$ 由方程

$$xy+2\ln x=y^4$$

所确定，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程是____。

查看答案与解析

答案： $y=x$。

解析： 对方程两边关于 $x$ 求导，得

$$y+x{y}^{\prime }+\frac{2}{x}=4y^3{y}^{\prime }.$$

代入点 $(1,1)$，有

$$1+y^{\prime }+2=4y^{\prime },$$

所以

$$y^{\prime }=1.$$

因此曲线在点 $(1,1)$ 处的切线方程为

$$y-1=x-1,$$

即

$$y=x.$$

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13. 【2004-1-4 分】 曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=1$ 垂直的切线方程为____。

查看答案与解析

答案： $y=x-1$。

解析： 直线 $x+y=1$ 的斜率为 $-1$，所以与其垂直的直线斜率为 $1$。

曲线 $y=\ln x$ 的导数为

$$y^{\prime }=\frac{1}{x}.$$

令切线斜率等于 $1$，得

$$\frac{1}{x}=1,$$

所以 $x=1$，对应点为

$$(1,\ln 1)=(1,0).$$

因此所求切线方程为

$$y-0=1(x-1),$$

即

$$y=x-1.$$

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14. 【2005-2-4 分】 设函数由参数方程

$$\{\begin{array}{l}x=t^2+2t,\\ y=\ln (1+t)\end{array}$$

确定，则曲线 $y=y(x)$ 在 $x=3$ 处的法线与 $x$ 轴交点的横坐标是（ ）。

A. $\frac{1}{8}\ln 2+3$    B. $-\frac{1}{8}\ln 2+3$    C. $-8\ln 2+3$    D. $8\ln 2+3$

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答案： A。

解析： 由 $x=3$，得

$$t^2+2t=3,$$

即

$$(t-1)(t+3)=0.$$

由于 $y=\ln (1+t)$ 要求 $t>-1$，故只能取 $t=1$。此时曲线上的点为

$$(x,y)=(3,\ln 2).$$

又

$$\frac{dx}{dt}=2t+2,\frac{dy}{dt}=\frac{1}{1+t}.$$

所以切线斜率为

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1}{2(1+t{)}^2}.$$

当 $t=1$ 时，

$$k_{\text{切}}=\frac{1}{8},$$

故法线斜率为

$$k_{\text{法}}=-8.$$

法线方程为

$$y-\ln 2=-8(x-3).$$

令 $y=0$，得

$$-\ln 2=-8(x-3),$$

所以法线与 $x$ 轴交点的横坐标为

$$x=3+\frac{1}{8}\ln 2.$$

故选 A。B 的符号错误，C、D 则把斜率 $8$ 与其倒数混淆。

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15. 【2007-2-4 分】 曲线

$$\{\begin{array}{l}x=\cos t+{\cos }^{2}t,\\ y=1+\sin t\end{array}$$

上对应于 $t=\frac{\pi }{4}$ 点处的法线斜率为____。

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答案： $1+\sqrt{2}$。

解析： 分别对参数 $t$ 求导：

$$\frac{dx}{dt}=-\sin t-2\cos t\sin t=-\sin t(1+2\cos t),$$$$\frac{dy}{dt}=\cos t.$$

因此切线斜率为

$$k_{\text{切}}=\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos t}{\sin t(1+2\cos t)}.$$

在 $t=\frac{\pi }{4}$ 处，$\sin t=\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以

$$k_{\text{切}}=-\frac{1}{1+\sqrt{2}}.$$

法线斜率为切线斜率的负倒数，故

$$k_{\text{法}}=-\frac{1}{k_{\text{切}}}=1+\sqrt{2}.$$

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16. 【2008-4-4 分】 已知

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=2,$$

则 $y=f(x)$ 上对应 $x=0$ 处的切线方程____。

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答案： $y=2x$。

解析： 由

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=2$$

可知 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$。题目既指出曲线在 $x=0$ 处有对应点并要求其切线，按题意该点为 $(0,0)$，即 $f(0)=0$。

于是

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=2.$$

因此曲线在原点处的切线斜率为 $2$，切线方程为

$$y=2x.$$

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17. 【2008-12-4 分】 曲线

$$\sin (xy)+\ln (y-x)=x$$

在点 $(0,1)$ 处的切线方程为____。

查看答案与解析

答案： $y=x+1$。

解析： 对方程两边关于 $x$ 求导，得

$$\cos (xy)(y+x{y}^{\prime })+\frac{y^{\prime }-1}{y-x}=1.$$

代入点 $(0,1)$，有

$$1+(y^{\prime }-1)=1,$$

所以

$$y^{\prime }=1.$$

因此曲线在点 $(0,1)$ 处的切线方程为

$$y-1=x,$$

即

$$y=x+1.$$

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18. 【2009-2-4 分】 曲线

$$\{\begin{array}{l}x={\int }_0^{1-t}{e}^{-u^2}du,\\ y=t^2\ln (2-t^2)\end{array}$$

在 $(0,0)$ 处的切线方程为____。

查看答案与解析

答案： $y=2x$。

解析： 由

$$x={\int }_0^{1-t}{e}^{-u^2}du=0$$

以及被积函数恒为正，得 $1-t=0$，即 $t=1$。此时

$$y=1^2\ln (2-1)=0,$$

故点 $(0,0)$ 对应参数 $t=1$。

由变上限积分求导公式，

$$\frac{dx}{dt}=-e^{-(1-t{)}^2}.$$

同时，

$$\frac{dy}{dt}=2t\ln (2-t^2)-\frac{2t^3}{2-t^2}.$$

在 $t=1$ 处，

$${\frac{dx}{dt}|}_{t=1}=-1,{\frac{dy}{dt}|}_{t=1}=-2.$$

所以切线斜率为

$${\frac{dy}{dx}|}_{t=1}=\frac{-2}{-1}=2.$$

切线经过原点，故切线方程为

$$y=2x.$$

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19. 【2011-3-4 分】 曲线

$$\tan \left(x+y+\frac{\pi }{4}\right)=e^y$$

在点 $(0,0)$ 处的切线方程为____。

查看答案与解析

答案： $y=-2x$。

解析： 对方程两边关于 $x$ 求导，得

$${\sec }^2\left(x+y+\frac{\pi }{4}\right)(1+y^{\prime })=e^y{y}^{\prime }.$$

在点 $(0,0)$ 处，

$${\sec }^2\frac{\pi }{4}=2,e^0=1,$$

故

$$2(1+y^{\prime })=y^{\prime }.$$

解得

$$y^{\prime }=-2.$$

因此曲线在原点处的切线方程为

$$y=-2x.$$

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20. 【2013-2-4 分】 曲线

$$\{\begin{array}{l}x=\arctan t,\\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}$$

上对应于 $t=1$ 的点处的法线方程为____。

查看答案与解析

答案： $y-\frac{1}{2}\ln 2=-\left(x-\frac{\pi }{4}\right)$。

解析： 当 $t=1$ 时，曲线上的点为

$$x=\arctan 1=\frac{\pi }{4},y=\ln \sqrt{2}=\frac{1}{2}\ln 2.$$

分别求导：

$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^2},$$$$\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2}\ln (1+t^2)\right]=\frac{t}{1+t^2}.$$

因此切线斜率为

$$k_{\text{切}}=\frac{dy}{dx}=\frac{t}{1+t^2}÷\frac{1}{1+t^2}=t.$$

在 $t=1$ 处，$k_{\text{切}}=1$，所以法线斜率为 $-1$。

故法线方程为

$$y-\frac{1}{2}\ln 2=-\left(x-\frac{\pi }{4}\right).$$

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21. 【2014-2-4 分】 曲线 $L$ 的极坐标方程是 $r=\theta$，则 $L$ 在点 $(r,\theta )=\left(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 的切线的直角坐标方程是____。

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答案： $2x+\pi y-\frac{{\pi }^2}{2}=0$。

解析： 由极坐标与直角坐标的关系，曲线可写成参数方程

$$\{\begin{array}{l}x=\theta \cos \theta ,\\ y=\theta \sin \theta .\end{array}$$

因此

$$\frac{dx}{d\theta }=\cos \theta -\theta \sin \theta ,\frac{dy}{d\theta }=\sin \theta +\theta \cos \theta .$$

在 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时，

$$x=0,y=\frac{\pi }{2},$$

且

$${\frac{dx}{d\theta }|}_{\theta =\frac{\pi }{2}}=-\frac{\pi }{2},{\frac{dy}{d\theta }|}_{\theta =\frac{\pi }{2}}=1.$$

故切线斜率为

$$k={\frac{dy}{dx}|}_{\theta =\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{-\frac{\pi }{2}}=-\frac{2}{\pi }.$$

于是切线方程为

$$y-\frac{\pi }{2}=-\frac{2}{\pi }x,$$

即

$$2x+\pi y-\frac{{\pi }^2}{2}=0.$$

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22. 【2018-23-4 分】 曲线 $y=x^2+2\ln x$ 在其拐点处的切线方程是____。

查看答案与解析

答案： $y=4x-3$。

解析： 函数的定义域为 $x>0$。求导得

$$y^{\prime }=2x+\frac{2}{x},$$$$y^{\prime \prime }=2-\frac{2}{x^2}=\frac{2(x^2-1)}{x^2}.$$

令 $y^{\prime \prime }=0$，得 $x=1$。当 $0<x<1$ 时，$y^{\prime \prime }<0$；当 $x>1$ 时，$y^{\prime \prime }>0$，故曲线在 $x=1$ 处凹凸性发生改变，拐点为

$$(1,1).$$

在 $x=1$ 处的切线斜率为

$$y^{\prime }(1)=2+2=4.$$

因此切线方程为

$$y-1=4(x-1),$$

即

$$y=4x-3.$$

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23. 【2019-2-4 分】 曲线

$$\{\begin{array}{l}x=t-\sin t,\\ y=1-\cos t\end{array}$$

在 $t=\frac{3}{2}\pi$ 对应点处的切线在 $y$ 轴上的截距为____。

查看答案与解析

答案： $2+\frac{3\pi }{2}$。

解析： 当 $t=\frac{3\pi }{2}$ 时，

$$x=\frac{3\pi }{2}-\sin \frac{3\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}+1,$$$$y=1-\cos \frac{3\pi }{2}=1.$$

又

$$\frac{dx}{dt}=1-\cos t,\frac{dy}{dt}=\sin t.$$

在 $t=\frac{3\pi }{2}$ 处，

$$\frac{dx}{dt}=1,\frac{dy}{dt}=-1,$$

故切线斜率为

$$\frac{dy}{dx}=-1.$$

切线方程为

$$y-1=-\left(x-\frac{3\pi }{2}-1\right).$$

令 $x=0$，得切线与 $y$ 轴交点的纵坐标为

$$y=1+\frac{3\pi }{2}+1=2+\frac{3\pi }{2}.$$

所以切线在 $y$ 轴上的截距为 $2+\frac{3\pi }{2}$。

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24. 【2020-3-4 分】 曲线 $x+y+e^{2xy}=0$ 在点 $(0,-1)$ 处的切线方程为____。

查看答案与解析

答案： $y=x-1$。

解析： 对方程两边关于 $x$ 求导，得

$$1+y^{\prime }+e^{2xy}\cdot 2(y+x{y}^{\prime })=0.$$

将 $x=0,y=-1$ 代入，得

$$1+y^{\prime }+2(-1)=0,$$

即

$$y^{\prime }=1.$$

因此曲线在点 $(0,-1)$ 处的切线方程为

$$y+1=x,$$

即

$$y=x-1.$$

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25. 【2023-2-5 分】 曲线 $3x^3=y^5+2y^3$ 在 $x=1$ 对应点处的法线斜率为____。

查看答案与解析

答案： $-\frac{11}{9}$。

解析： 当 $x=1$ 时，方程化为

$$y^5+2y^3=3.$$

函数 $h(y)=y^5+2y^3$ 严格单调增加，且 $h(1)=3$，故对应点的纵坐标为 $y=1$。

对原方程两边关于 $x$ 求导，得

$$9x^2=(5y^4+6y^2)y^{\prime }.$$

在点 $(1,1)$ 处，切线斜率为

$$y^{\prime }=\frac{9}{5+6}=\frac{9}{11}.$$

因此法线斜率为切线斜率的负倒数，即

$$k_{\text{法}}=-\frac{11}{9}.$$

（二）相切的充要条件

1. 【1991-45-3 分】 设曲线 $f(x)=x^3+ax$ 与 $g(x)=b{x}^2+c$ 都通过点 $(-1,0)$，且在点 $(-1,0)$ 有公共切线，则（ ）。

A. $a=0,b=-2$    B. $a=1,b=-3$    C. $a=-3,b=1$    D. $a=-1,b=-1$

查看答案与解析

答案： D。

解析： 两条曲线都通过点 $(-1,0)$，因此

$$f(-1)=-1-a=0,$$

从而

$$a=-1.$$

又

$$g(-1)=b+c=0,$$

即 $c=-b$。

两曲线在该点有公共切线，故它们在 $x=-1$ 处的导数相等。由

$$f^{\prime }(x)=3x^2+a,g^{\prime }(x)=2bx,$$

得

$$f^{\prime }(-1)=3+a=2,g^{\prime }(-1)=-2b.$$

于是

$$-2b=2,$$

解得

$$b=-1.$$

因此 $a=-1,b=-1$，故选 D。其余选项不能同时满足“过点”和“切线斜率相等”两个条件。

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2. 【1991-3-3 分】 若曲线 $y=x^2+ax+b$ 和 $2y=-1+x{y}^3$ 在 $(1,-1)$ 点相切，其中 $a,b$ 是常数，则（ ）。

A. $a=0,b=-2$    B. $a=1,b=-3$    C. $a=-3,b=1$    D. $a=-1,b=-1$

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答案： D。

解析： 第一条曲线通过点 $(1,-1)$，故

$$-1=1+a+b,$$

即

$$a+b=-2.$$

第一条曲线的导数为

$$y^{\prime }=2x+a,$$

所以在 $x=1$ 处的切线斜率为

$$k_1=2+a.$$

对第二条曲线

$$2y=-1+x{y}^3$$

两边关于 $x$ 求导，得

$$2y^{\prime }=y^3+3x{y}^2{y}^{\prime }.$$

整理得

$$(2-3x{y}^2)y^{\prime }=y^3.$$

在点 $(1,-1)$ 处，

$$(2-3)y^{\prime }=(-1{)}^3,$$

因此

$$y^{\prime }=1.$$

两曲线相切，故斜率相等，即

$$2+a=1,$$

从而

$$a=-1.$$

再由 $a+b=-2$，得

$$b=-1.$$

故选 D。

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3. 【2003-3-4 分】 已知曲线 $y=x^3-3a^{2}x+b$ 与 $x$ 轴相切，则 $b^2=$____（用 $a$ 表示）。

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答案： $4a^6$。

解析： 曲线与 $x$ 轴相切，说明存在切点 $(x_0,0)$，使得

$$\{\begin{array}{l}{x}_0^3-3a^2{x}_0+b=0,\\ 3x_0^2-3a^2=0.\end{array}$$

由第二个方程得

$$x_0^2=a^2,$$

即

$$x_0=a\text{或}{x}_0=-a.$$

当 $x_0=a$ 时，

$$a^3-3a^3+b=0,$$

所以

$$b=2a^3.$$

当 $x_0=-a$ 时，

$$-a^3+3a^3+b=0,$$

所以

$$b=-2a^3.$$

两种情形均有

$$b^2=4a^6.$$

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4. 【2010-2-4 分】 曲线 $y=x^2$ 与曲线 $y=a\ln x(a\ne 0)$ 相切，则 $a=$（ ）。

A. $4e$    B. $3e$    C. $2e$    D. $e$

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答案： C。

解析： 设两曲线在 $x=x_0$ 处相切。由于对数函数要求 $x_0>0$，相切条件为函数值相等且导数相等，即

$$\{\begin{array}{l}{x}_0^2=a\ln x_0,\\ 2x_0=\frac{a}{x_0}.\end{array}$$

由第二个方程得

$$a=2x_0^2.$$

代入第一个方程，得

$$x_0^2=2x_0^2\ln x_0.$$

因 $x_0>0$，且相切点不可能为 $x_0=0$，故

$$1=2\ln x_0.$$

于是

$$\ln x_0=\frac{1}{2},x_0=\sqrt{e}.$$

所以

$$a=2x_0^2=2e.$$

故选 C。

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5. 【2013-3-4 分】 设曲线 $y=f(x)$ 与 $y=x^2-x$ 在点 $(1,0)$ 处有公共切线，则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }nf\left(\frac{n}{n+2}\right)=$$

____。

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答案： $-2$。

解析： 两曲线在点 $(1,0)$ 处有公共切线，因此

$$f(1)=0,$$

且

$$f^{\prime }(1)={(2x-1)|}_{x=1}=1.$$

令

$$x_n=\frac{n}{n+2},$$

则 $x_n\to 1$，并且

$$x_n-1=-\frac{2}{n+2}.$$

由导数定义，

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\prime }(1)=1.$$

于是

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }nf\left(\frac{n}{n+2}\right)& =\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(x_n-1\right)\frac{f(x_n)-f(1)}{x_n-1}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\left(-\frac{2n}{n+2}\right)\cdot 1\\ & =-2.\end{array}$$