五、方向导数与梯度（数一）

小题

1. 【1991-12-5 分】 设 $\vec{n}$ 是曲面

$2x^2+3y^2+z^2=6$

在点 $P(1,1,1)$ 处的指向外侧的法向量，求函数

$u=\frac{\sqrt{6x^2+8y^2}}{z}$

在点 $P$ 处沿方向 $\vec{n}$ 的方向导数。

查看答案与解析

答案： ${\frac{\partial u}{\partial n}|}_P=\frac{11}{7}$。

解析： 令

$F(x,y,z)=2x^2+3y^2+z^2-6$，

则曲面在 $P$ 点的外法向量为

$\nabla F(P)=(4,6,2)$。

对应的外法向单位向量为

${\vec{e}}_n=\frac{(4,6,2)}{\sqrt{4^2+6^2+2^2}}=\frac{(2,3,1)}{\sqrt{14}}$。

设 $R=\sqrt{6x^2+8y^2}$，则

$\nabla u=\left(\frac{6x}{zR},\frac{8y}{zR},-\frac{R}{z^2}\right)$。

在 $P(1,1,1)$ 处，$R=\sqrt{14}$，故

$\nabla u(P)=\left(\frac{6}{\sqrt{14}},\frac{8}{\sqrt{14}},-\sqrt{14}\right)$。

所以方向导数为

$$\begin{array}{rl}{\frac{\partial u}{\partial n}|}_P& =\nabla u(P)\cdot {\vec{e}}_n\\ & =\frac{6}{\sqrt{14}}\cdot \frac{2}{\sqrt{14}}+\frac{8}{\sqrt{14}}\cdot \frac{3}{\sqrt{14}}-\sqrt{14}\cdot \frac{1}{\sqrt{14}}\\ & =\frac{12+24}{14}-1=\frac{11}{7}。\end{array}$$

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2. 【1992-12-3 分】 函数

$u=\ln (x^2+y^2+z^2)$

在点 $M(1,2,-2)$ 处的梯度 $\mathrm{grad}u{|}_M=$ _____。

查看答案与解析

答案： $\mathrm{grad}u{|}_M=\left(\frac{2}{9},\frac{4}{9},-\frac{4}{9}\right)$。

解析： 由

$\nabla u=\left(\frac{2x}{x^2+y^2+z^2},\frac{2y}{x^2+y^2+z^2},\frac{2z}{x^2+y^2+z^2}\right)$。

在点 $M(1,2,-2)$ 处，

$x^2+y^2+z^2=1+4+4=9$，

故

$$\mathrm{grad}u{|}_M=\left(\frac{2}{9},\frac{4}{9},-\frac{4}{9}\right)$$

。

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3. 【1996-12-3 分】 函数

$u=\ln \left(x+\sqrt{y^2+z^2}\right)$

在点 $A(1,0,1)$ 处沿点 $A$ 指向点 $B(3,-2,2)$ 方向的方向导数为 _____。

查看答案与解析

答案： $\frac{1}{2}$。

解析： 由 $A$ 指向 $B$ 的向量为

$\overrightarrow{AB}=(2,-2,1)$，

其长度为 $3$，故单位方向向量为

$\vec{e}=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$。

记 $\rho =\sqrt{y^2+z^2}$，则

$\nabla u=\left(\frac{1}{x+\rho },\frac{y}{\rho (x+\rho )},\frac{z}{\rho (x+\rho )}\right)$。

在 $A(1,0,1)$ 处，$\rho =1$，所以

$\nabla u(A)=\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$。

因此

$${\frac{\partial u}{\partial e}|}_A=\nabla u(A)\cdot \vec{e}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+0+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{2}$$

。

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4. 【2005-1-4 分】 设函数

$u(x,y,z)=1+\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{18}$，

单位向量 $\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$，则

${\frac{\partial u}{\partial n}|}_{(1,2,3)}=$ _____。

查看答案与解析

答案： $\frac{1}{\sqrt{3}}$。

解析： 函数的梯度为

$\nabla u=\left(\frac{x}{3},\frac{y}{6},\frac{z}{9}\right)$。

在点 $(1,2,3)$ 处，

$\nabla u(1,2,3)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$。

所以

$${\frac{\partial u}{\partial n}|}_{(1,2,3)}=\nabla u(1,2,3)\cdot \vec{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

。

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5. 【2008-1-4 分】 函数

$f(x,y)=\arctan \frac{x}{y}$

在点 $(0,1)$ 处的梯度等于（ ）

A. $\mathbf{i}$    B. $-\mathbf{i}$    C. $\mathbf{j}$    D. $-\mathbf{j}$

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答案： A。

解析： 由链式法则，

$$f_x^{\prime }(x,y)=\frac{1}{1+(x/y{)}^2}\cdot \frac{1}{y}=\frac{y}{x^2+y^2}$$

，

$$f_y^{\prime }(x,y)=\frac{1}{1+(x/y{)}^2}\cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right)=-\frac{x}{x^2+y^2}$$

。

故

$\nabla f(0,1)=(1,0)=\mathbf{i}$。

所以选 A。

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6. 【2012-1-4 分】

${\mathrm{grad}\left(xy+\frac{z}{y}\right)|}_{(2,1,1)}=$ _____。

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答案： $(1,1,1)$。

解析： 令

$u(x,y,z)=xy+\frac{z}{y}$，

则

$\nabla u=\left(y,x-\frac{z}{y^2},\frac{1}{y}\right)$。

代入 $(2,1,1)$ 得

$\nabla u(2,1,1)=(1,1,1)$。

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7. 【2017-1-4 分】 函数

$f(x,y,z)=x^{2}y+z^2$

在点 $(1,2,0)$ 处沿向量 $n=(1,2,2)$ 的方向导数为（ ）

A. 12    B. 6    C. 4    D. 2

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答案： D。

解析： 向量 $n=(1,2,2)$ 的长度为 $3$，故其单位向量为

$\vec{e}=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$。

函数的梯度为

$\nabla f=(2xy,x^2,2z)$，

从而

$\nabla f(1,2,0)=(4,1,0)$。

因此方向导数为

$$\nabla f(1,2,0)\cdot \vec{e}=4\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{2}{3}=2$$

。

故选 D。A、B、C 均未正确使用单位方向向量或点积计算。

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8. 【2022-1-5 分】 设

$f(x,y)=x^2+2y^2$，

求其在 $(0,1)$ 处的最大方向导数。

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答案： $4$。

解析： 函数在一点沿单位方向 $\vec{e}$ 的方向导数为

$D_{\vec{e}}f=\nabla f\cdot \vec{e}$。

由柯西不等式，方向导数的最大值等于梯度的模，并在 $\vec{e}$ 与梯度同向时取得。

本题

$\nabla f=(2x,4y)$，

故

$\nabla f(0,1)=(0,4)$，

所以最大方向导数为

$|\nabla f(0,1)|=4$。

取得最大值的方向为 $(0,1)$。

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9. 【2025-1-5 分】 已知函数

$u(x,y,z)=x{y}^2{z}^3$，

向量 $\vec{n}=⟨2,2,-1⟩$，则

${\frac{\partial u}{\partial n}|}_{(1,1,1)}=$ _____。

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答案： $1$。

解析： 向量 $\vec{n}=(2,2,-1)$ 的长度为

$|\vec{n}|=\sqrt{4+4+1}=3$，

故相应单位方向向量为

${\vec{e}}_n=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$。

函数的梯度为

$\nabla u=\left(y^2{z}^3,2xy{z}^3,3x{y}^2{z}^2\right)$，

所以

$\nabla u(1,1,1)=(1,2,3)$。

于是

$${\frac{\partial u}{\partial n}|}_{(1,1,1)}=(1,2,3)\cdot \left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)=\frac{2+4-3}{3}=1$$

。

大题

1. 【2002-1-7 分】 设有一小山，取它的底面所在的平面为 $xOy$ 坐标面，其底部所占的区域为

$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2-xy\le 75\}$，

小山的高度函数为

$h(x,y)=75-x^2-y^2+xy$。

（1）设 $M(x_0,y_0)$ 为区域 $D$ 上一点，问 $h(x,y)$ 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为 $g(x_0,y_0)$，试写出 $g(x_0,y_0)$ 的表达式；

（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡难度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在 $D$ 的边界线

$x^2+y^2-xy=75$

上找出使（1）中的 $g(x,y)$ 达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。

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答案： （1）当 $(x_0,y_0)\ne (0,0)$ 时，最大方向导数的方向为

$\frac{(y_0-2x_0,x_0-2y_0)}{\sqrt{(y_0-2x_0{)}^2+(x_0-2y_0{)}^2}}$，

且

$g(x_0,y_0)=\sqrt{(y_0-2x_0{)}^2+(x_0-2y_0{)}^2}$。

当 $(x_0,y_0)=(0,0)$ 时，任意方向的方向导数均为 $0$。

（2）攀登起点为

$(5,-5)$ 或 $(-5,5)$，

此时最大方向导数为

$15\sqrt{2}$。

解析： （1）由

$h(x,y)=75-x^2-y^2+xy$

得梯度

$\nabla h(x,y)=(y-2x,x-2y)$。

在一点处，沿单位向量 $\mathbf{e}$ 的方向导数为

$D_{\mathbf{e}}h=\nabla h\cdot \mathbf{e}$。

根据柯西不等式，方向导数的最大值等于梯度的模，并在 $\mathbf{e}$ 与梯度同向时取得。因此，当 $\nabla h(x_0,y_0)\ne 0$ 时，最大方向为

$$\mathbf{e}=\frac{\nabla h(x_0,y_0)}{|\nabla h(x_0,y_0)|}=\frac{(y_0-2x_0,x_0-2y_0)}{\sqrt{(y_0-2x_0{)}^2+(x_0-2y_0{)}^2}}$$

，

最大值为

$$g(x_0,y_0)=|\nabla h(x_0,y_0)|=\sqrt{(y_0-2x_0{)}^2+(x_0-2y_0{)}^2}$$

。

若 $(x_0,y_0)=(0,0)$，则 $\nabla h(0,0)=0$，故沿任意方向的方向导数均为 $0$。

（2）在边界

$x^2+y^2-xy=75$

上，最大化 $g(x,y)$ 等价于最大化

$g^2(x,y)=5x^2+5y^2-8xy$。

令

$u=x+y,v=x-y$，

则

$x^2+y^2-xy=\frac{u^2+3v^2}{4}$，

所以边界条件化为

$u^2+3v^2=300$。

同时

$$g^2=5(x^2+y^2)-8xy=\frac{1}{2}{u}^2+\frac{9}{2}{v}^2$$

。

由 $u^2=300-3v^2$，得

$g^2=150+3v^2$。

在约束 $u^2+3v^2=300$ 下，有 $v^2\le 100$，故

$g^2\le 150+3\times 100=450$。

等号成立当且仅当

$u=0,v=\pm 10$。

由 $x=\frac{u+v}{2}$、$y=\frac{u-v}{2}$，得到

$(x,y)=(5,-5)$ 或 $(-5,5)$。

因此山脚上坡度最大的两点即为上述两点，最大方向导数为

$g_{\max }=\sqrt{450}=15\sqrt{2}$。

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2. 【2015-1-10 分】 已知函数

$f(x,y)=x+y+xy$，

曲线

$C:x^2+y^2+xy=3$，

求 $f(x,y)$ 在曲线 $C$ 上的最大方向导数。

查看答案与解析

答案： $3$。

该最大值在点

$(2,-1)$ 和 $(-1,2)$

处取得。

解析： 函数的梯度为

$\nabla f(x,y)=(1+y,1+x)$。

在点 $(x,y)$ 处的最大方向导数等于梯度的模，因此需在曲线 $C$ 上求

$|\nabla f|=\sqrt{(1+y{)}^2+(1+x{)}^2}$

的最大值。

令

$u=x+y,v=x-y$。

则约束条件

$x^2+y^2+xy=3$

化为

$3u^2+v^2=12$，

因而 $-2\le u\le 2$。

又

$$|\nabla f{|}^2=(1+y{)}^2+(1+x{)}^2=x^2+y^2+2(x+y)+2$$

。

由

$$x^2+y^2=\frac{u^2+v^2}{2}=\frac{u^2+12-3u^2}{2}=6-u^2$$

，

可得

$$|\nabla f{|}^2=8+2u-u^2=9-(u-1{)}^2\le 9$$

。

当且仅当 $u=1$ 时等号成立，因此最大方向导数为

$|\nabla f{|}_{\max }=3$。

当 $u=1$ 时，由 $3u^2+v^2=12$ 得 $v=\pm 3$，从而

$(x,y)=\left(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2}\right)$

分别为

$(2,-1),(-1,2)$。

在 $(2,-1)$ 处，梯度为 $(0,3)$，最大方向为 $(0,1)$；在 $(-1,2)$ 处，梯度为 $(3,0)$，最大方向为 $(1,0)$。