第5章 特征值与特征向量

基础部分

1. 已知$A$为3阶方阵，1,1,2是$A$的3个特征值，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为这3个特征值对应的特征向量，则( ).
   A. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$必为矩阵$2E-A$的特征向量
   B. ${\alpha }_1-{\alpha }_2$必为矩阵$2E-A$的特征向量
   C. ${\alpha }_1+{\alpha }_3$必为矩阵$2E-A$的特征向量
   D. ${\alpha }_1,{\alpha }_2$不是矩阵$2E-A$的特征向量，${\alpha }_3$必为矩阵$2E-A$的特征向量

查看答案与解析

答案：A

解析：若$A\alpha =\lambda \alpha$，则 $(2E-A)\alpha =(2-\lambda )\alpha ,$ 所以$A$的任一特征向量仍是$2E-A$的特征向量，其对应特征值由$\lambda$变为$2-\lambda$。

因此${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$必均为$2E-A$的特征向量，选A。

B不一定成立，因为若${\alpha }_1={\alpha }_2$，则${\alpha }_1-{\alpha }_2=0$，零向量不能作为特征向量；C把属于不同特征值的特征向量相加，一般也不是特征向量。

2. 已知 $A=\left[\begin{array}{ccc}3& -4& 0\\ 4& -5& 0\\ a& 2& -1\end{array}\right],$ 且$A$的三重特征值$\lambda$对应两个线性无关的特征向量，则$a=$( ).
   A. 1 B. 2 C. -1 D. -2

查看答案与解析

答案：D

解析：由于$A$为分块三角形式， $|\lambda E-A|=(\lambda +1)\left|\begin{array}{cc}\lambda -3& 4\\ -4& \lambda +5\end{array}\right|=(\lambda +1{)}^3.$ 故三重特征值为$\lambda =-1$。

要使$\lambda =-1$对应两个线性无关的特征向量，应有 $\dim N(A+E)=2,$ 即$r(A+E)=1$。而 $A+E=\left[\begin{array}{ccc}4& -4& 0\\ 4& -4& 0\\ a& 2& 0\end{array}\right].$ 第三行必须与第一行成比例。由$(a,2)=k(4,-4)$得$k=-\frac{1}{2}$，从而 $a=-2.$ 故选D。

3. 设 $P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right],$ ${\alpha }_1$是矩阵$A$属于特征值$\lambda =1$的特征向量，${\alpha }_2,{\alpha }_3$是矩阵$A$属于特征值$\lambda =3$的线性无关的特征向量，则矩阵$P$不可以是( ).
   A. $[{\alpha }_1,-2{\alpha }_2,{\alpha }_3]$
   B. $[{\alpha }_1,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_2-2{\alpha }_3]$
   C. $[{\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_2]$
   D. $[{\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_1-{\alpha }_2,{\alpha }_3]$

查看答案与解析

答案：D

解析：若 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,3,3),$ 则$P$的第一列必须是属于$\lambda =1$的特征向量，第二、三列必须是属于$\lambda =3$的两个线性无关特征向量。

A、B、C都满足这一条件。D中的第一列${\alpha }_1+{\alpha }_2$混合了属于不同特征值的特征向量，一般不是$A$的特征向量，因此不可以。故选D。

4. $\lambda =-1$是$A$的特征值的充分必要条件为( ).
   A. $A^2=E$ B. $r(A+E)<n$ C. $A$中每行元素之和为-1 D. $A=-E$

查看答案与解析

答案：B

解析：$\lambda =-1$是$A$的特征值，当且仅当 $|(-1)E-A|=0,$ 等价于 $|A+E|=0,$ 即 $r(A+E)<n.$ 故选B。

A、C、D都只是某些特殊情况下的充分条件，并非必要条件。

5. 设$A,P$都是$n$阶可逆矩阵，$\lambda ,\xi$分别是$A$的特征值和对应的特征向量，则$P^{-1}{A}^{\ast }P$的特征值和对应的特征向量分别是( ).
   A. $\frac{|A|}{\lambda },P^{-1}\xi$ B. $\frac{|A|}{\lambda },\xi$ C. $\frac{1}{\lambda },P\xi$ D. $\frac{1}{\lambda },P^{-1}\xi$

查看答案与解析

答案：A

解析：因$A$可逆， $A^{\ast }=|A|A^{-1}.$ 由$A\xi =\lambda \xi$可得 $A^{-1}\xi =\frac{1}{\lambda }\xi ,$ 故 $A^{\ast }\xi =\frac{|A|}{\lambda }\xi .$ 再由相似变换， $(P^{-1}{A}^{\ast }P)(P^{-1}\xi )=P^{-1}{A}^{\ast }\xi =\frac{|A|}{\lambda }{P}^{-1}\xi .$ 因此特征值为$\frac{|A|}{\lambda }$，对应特征向量为$P^{-1}\xi$，选A。

6. 设$A$是3阶矩阵，将$A$的第2列加到第3列得矩阵$B$，再将$B$的第3行的$-1$倍加到第2行得 $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 2& a\end{array}\right],$ 其中$a$为常数，则$A$的特征值为( ).
   A. 1,2,$a$ B. 1,2,-2 C. 1,-1,2 D. 1,$a$,-$a$

查看答案与解析

答案：A

解析：记 $P=E+E_{23},$ 其中$E_{23}$表示第$(2,3)$位置为1、其余位置为0的矩阵。把第2列加到第3列等价于右乘$P$，而把第3行的$-1$倍加到第2行等价于左乘 $P^{-1}=E-E_{23}.$ 因此最终矩阵 $C=P^{-1}AP,$ 即$C$与$A$相似。

$C$为下三角矩阵，其特征值就是对角元$1,2,a$。相似矩阵具有相同特征值，所以$A$的特征值为$1,2,a$，选A。

7. 下列矩阵中，不能相似对角化的是( ).
   A. $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right]$
   B. $\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$
   C. $\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$
   D. $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& 2\end{array}\right]$

查看答案与解析

答案：D

解析：A是实对称矩阵，必可正交相似对角化。

B为上三角矩阵，特征值为$3,2,0$，三者互异，故必可相似对角化。

C的特征值为$2,2,1$。当$\lambda =2$时， $C-2E=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right],$ 秩为1，所以$\lambda =2$的特征子空间维数为2，等于其代数重数，因此C可相似对角化。

D的特征值为$0,2,2$。当$\lambda =2$时， $D-2E=\left[\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right],$ 秩为2，故$\lambda =2$只有一个线性无关特征向量，小于其代数重数2，所以D不能相似对角化。

8. 设$A$为2阶矩阵，$\alpha =\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$是方程组$Ax=0$的解，$\beta =\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$是方程组$Ax=\beta$的解，则矩阵$A=$

查看答案与解析

答案： $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right].$

解析：由 $A\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=0$ 知$A$的第一列为零。设第二列为$\gamma$，则 $A\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=0+\gamma =\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],$ 故第二列为$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$，从而得到答案。

9. 已知$A$为2阶方阵，可逆矩阵$P=[\alpha ,\beta ]$使得 $P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right],$ $Q=[\beta ,\alpha ]$，则$Q^{-1}{A}^{\ast }Q=$

查看答案与解析

答案： $Q^{-1}{A}^{\ast }Q=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right].$

解析：$A$的特征值为$1,2$，故 $|A|=2.$ 又$A^{\ast }=|A|A^{-1}$，于是属于$A$特征值$\lambda$的特征向量，也是$A^{\ast }$的特征向量，其对应特征值为 $\frac{|A|}{\lambda }.$ 因此$\alpha$对应$A^{\ast }$的特征值2，$\beta$对应$A^{\ast }$的特征值1。

而$Q=[\beta ,\alpha ]$，故在此基下对角元依次为1和2，即 $Q^{-1}{A}^{\ast }Q=\mathrm{diag}(1,2).$

10. 设1与-1是矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ -a& -1& a\\ 4& 1& -3\end{array}\right]$ 的特征值，若矩阵$A$可相似对角化，则$a=$( ).
    A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

查看答案与解析

答案：B

解析：计算特征多项式得 $|\lambda E-A|=(\lambda -1)(\lambda +1{)}^2.$ 因此$\lambda =-1$为二重特征值。$A$可相似对角化的必要条件是$\lambda =-1$对应两个线性无关的特征向量，即 $r(A+E)=1.$ 而 $A+E=\left[\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ -a& 0& a\\ 4& 1& -2\end{array}\right].$ 第一行非零。要使秩为1，第二行必须为零行，因为若它是第一行的倍数，由第二个分量为0立即得到倍数只能为0。因此 $a=0.$ 故选B。

11. 已知 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -a\\ 2& a& -2\\ -a& -1& 1\end{array}\right],$ 求$A$的特征值，并讨论$A$是否可相似对角化。

查看答案与解析

答案：特征值为 ${\lambda }_1=a,{\lambda }_2=a+1,{\lambda }_3=1-a.$ 当且仅当 $a\ne 0,a\ne \frac{1}{2}$ 时，$A$可相似对角化。

解析：计算特征多项式： $|\lambda E-A|=(\lambda -a)(\lambda -a-1)(\lambda +a-1).$ 故三个特征值为$a,a+1,1-a$。

若$a\ne 0,\frac{1}{2}$，则三个特征值互不相同，所以$A$必可相似对角化。

当$a=0$时，特征值为$0,1,1$。此时 $r(A-E)=2,$ 所以$\lambda =1$的特征子空间维数为1，小于代数重数2，故不能相似对角化。

当$a=\frac{1}{2}$时，特征值为$\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}$。此时 $r\left(A-\frac{1}{2}E\right)=2,$ 故$\lambda =\frac{1}{2}$的特征子空间维数仍为1，也不能相似对角化。

综上，$A$可相似对角化的充要条件为 $a\ne 0,\frac{1}{2}.$

12. 设$A$是3阶实对称矩阵，已知$A$的每行元素之和为3，且有二重特征值${\lambda }_1={\lambda }_2=1$，求$A$的全部特征值、特征向量，并求$A^n$。

查看答案与解析

答案：全部特征值为 $1,1,3.$ 对应于$\lambda =3$的特征向量为 $k\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],k\ne 0;$ 对应于$\lambda =1$的特征向量为任意满足 $x_1+x_2+x_3=0$ 的非零向量。

并且 $A^n=E+\frac{3^n-1}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right].$

解析：由于$A$每行元素之和为3，故 $A\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],$ 所以$3$是$A$的一个特征值。

又已知另有二重特征值$1$，因此全部特征值为$1,1,3$。

实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以$\lambda =1$的特征子空间就是 $\left\{x:x_1+x_2+x_3=0\right\}.$ 令 $u=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],P_3=\frac{u{u}^T}{u^{T}u}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right].$ 则$P_3$是投影到$\lambda =3$特征子空间的正交投影，故 $A=1(E-P_3)+3P_3=E+2P_3.$ 于是 $A^n=(E-P_3)+3^n{P}_3=E+\frac{3^n-1}{3}u{u}^T,$ 得到结论。

13. 设$A$是3阶实对称矩阵，满足 $A+A^2+\frac{1}{2}{A}^3=0,$ 则$r(A)=$

查看答案与解析

答案： $0.$

解析：实对称矩阵$A$可正交相似对角化，因此其全部特征值均为实数。若$\lambda$是$A$的任一特征值，则 $\lambda +{\lambda }^2+\frac{1}{2}{\lambda }^3=0,$ 即 $\lambda \left(1+\lambda +\frac{1}{2}{\lambda }^2\right)=0.$ 而 $1+\lambda +\frac{1}{2}{\lambda }^2=\frac{1}{2}\left[(\lambda +1{)}^2+1\right]>0$ 对所有实数$\lambda$恒成立，所以只能有$\lambda =0$。

因此$A$的全部特征值均为0。实对称矩阵可对角化，故$A=O$，从而 $r(A)=0.$

14. (1) 设$A,B$是$n$阶矩阵，$A$有特征值$\lambda =1,2,\cdots ,n$。证明$AB$和$BA$有相同的特征值且$AB\sim BA$；
    (2) 对一般的$n$阶矩阵$A,B$，是否必有$AB\sim BA$，说明理由。

查看答案与解析

答案：(1) $AB\sim BA$，故二者有完全相同的特征值；(2) 一般不一定有$AB\sim BA$。

解析：

(1) $A$的特征值为$1,2,\dots ,n$，均非零，因此 $|A|=1\cdot 2\cdots n\ne 0,$ 所以$A$可逆。

于是 $A^{-1}(AB)A=BA.$ 故 $AB\sim BA.$ 相似矩阵具有相同的特征多项式，因此具有相同的特征值。

(2) 对一般矩阵不一定成立。例如取 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right].$ 则 $AB=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],BA=O.$ 二者秩分别为1和0，而相似矩阵必有相同的秩，所以$AB$与$BA$不相似。

15. 已知 $A=\left[\begin{array}{ccc}3& a& 4\\ 2& -1& 2\\ -2& -a& -3\end{array}\right],$ 求$A$的特征值，问$a$为何值时，$A$不能相似于对角矩阵；$a$为何值时，$A$相似于对角矩阵，并求可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$。

查看答案与解析

答案：$A$的特征值为 $1,-1,-1.$ 当$a\ne 0$时不能相似对角化；当$a=0$时可以相似对角化。可取 $P=\left[\begin{array}{ccc}-2& 0& -1\\ -1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right],\Lambda =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right].$

解析：计算得 $|\lambda E-A|=(\lambda -1)(\lambda +1{)}^2,$ 所以特征值恒为$1,-1,-1$。

对二重特征值$\lambda =-1$， $A+E=\left[\begin{array}{ccc}4& a& 4\\ 2& 0& 2\\ -2& -a& -2\end{array}\right].$ 其中所有二阶子式均含因子$a$；当$a\ne 0$时$r(A+E)=2$，因此 $\dim N(A+E)=1<2,$ 不能相似对角化。

当$a=0$时$r(A+E)=1$，故$\lambda =-1$有两个线性无关的特征向量。可取 ${\xi }_1=\left[\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right]$ 对应$\lambda =1$，以及 ${\xi }_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\xi }_3=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ 对应$\lambda =-1$。

令$P=[{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3]$，则$|P|\ne 0$，并有 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,-1,-1).$

16. 已知3阶矩阵$A$有三个特征值$-1,2,\frac{1}{3}$，对应的特征向量分别是${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$，取$P=[2{\xi }_2,-{\xi }_1,3{\xi }_3]$，则$P^{-1}AP=$

查看答案与解析

答案： $P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& \frac{1}{3}\end{array}\right].$

解析：非零倍数仍是同一特征值的特征向量。$P$的三列依次属于特征值$2,-1,\frac{1}{3}$，因此在此特征向量基下，$A$的矩阵就是相应特征值组成的对角矩阵。

17. 已知$A$是3阶矩阵，$r(A)=1$，则$\lambda =0$是$A$的特征值，其重数( ).
    A. 必为2 B. 可能为2或3 C. 可能为1或2 D. 可能为1,2或3

查看答案与解析

答案：B

解析：由秩-零度定理， $\dim N(A)=3-r(A)=2.$ 因此$\lambda =0$的几何重数为2，而代数重数不小于几何重数，所以0的代数重数至少为2，至多为3。

两种情况都可能发生，因此选B。

18. 设$A$是2阶矩阵，有特征值${\lambda }_1=1$，${\lambda }_2=2$，$f(x)=x^2-3x+3$，则$f(A)=$_____。

查看答案与解析

答案： $E.$

解析：因$A$有两个不同特征值1和2，所以其最小多项式为 $m_A(x)=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2.$ 故 $A^2-3A+2E=O.$ 于是 $f(A)=A^2-3A+3E=E.$

19. 设$A,B$是$n$阶可逆矩阵，且$A\sim B$，则以下结论中：
    (1)$A^{-1}\sim B^{-1}$；(2)$A^T\sim B^T$；(3)$A^{\ast }\sim B^{\ast }$；(4)$AB\sim BA$。
    正确结论的个数是( ).
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

查看答案与解析

答案：D

解析：设 $B=P^{-1}AP.$ 则 $B^{-1}=P^{-1}{A}^{-1}P,$ 故(1)正确。

转置得 $B^T=P^T{A}^T(P^{-1}{)}^T={\left((P^{-1}{)}^T\right)}^{-1}{A}^T(P^{-1}{)}^T,$ 故(2)正确。

又相似矩阵行列式相等，且 $A^{\ast }=|A|A^{-1},B^{\ast }=|B|B^{-1},$ 所以(3)正确。

因为$A$可逆， $A^{-1}(AB)A=BA,$ 故(4)也正确。

因此四个结论全都正确，选D。

20. 设 $A=E-\frac{3}{{\alpha }^T\alpha }\alpha {\alpha }^T,$ 其中$E$是$n$阶单位矩阵，$\alpha =[a_1,a_2,\cdots ,a_n{]}^T\ne 0$。
    (1)计算$A^2$，并求$A^{-1}$；
    (2)验证$\alpha$是$A$的特征向量，并求$A$的对应于$\alpha$的特征值。

查看答案与解析

答案： $A^2=E+\frac{3}{{\alpha }^T\alpha }\alpha {\alpha }^T,$ $A^{-1}=E-\frac{3}{2{\alpha }^T\alpha }\alpha {\alpha }^T.$ $\alpha$是$A$的特征向量，对应特征值为$-2$。

解析：令 $P=\frac{\alpha {\alpha }^T}{{\alpha }^T\alpha }.$ 则 $P^2=\frac{\alpha ({\alpha }^T\alpha ){\alpha }^T}{({\alpha }^T\alpha {)}^2}=P.$ 因此$A=E-3P$，从而 $A^2=(E-3P{)}^2=E-6P+9P^2=E+3P,$ 即 $A^2=E+\frac{3}{{\alpha }^T\alpha }\alpha {\alpha }^T.$

设$A^{-1}=E+cP$，则 $(E-3P)(E+cP)=E+(c-3-3c)P.$ 要使其等于$E$，须有 $c-3-3c=0,$ 即$c=-\frac{3}{2}$。故 $A^{-1}=E-\frac{3}{2}P=E-\frac{3}{2{\alpha }^T\alpha }\alpha {\alpha }^T.$

又 $A\alpha =\alpha -\frac{3}{{\alpha }^T\alpha }\alpha ({\alpha }^T\alpha )=-2\alpha ,$ 所以$\alpha$是$A$的特征向量，对应特征值为$-2$。

21. 设$A$是3阶矩阵，${\lambda }_0$是$A$的特征值，对应的特征向量为$\xi =[1,1,1{]}^T$，且$|A|=1$，$A^{\ast }$是$A$的伴随矩阵， $A^{\ast }=\left[\begin{array}{ccc}-a& 1& -2\\ -1& b& -\frac{7}{2}\\ 2& -3& a\end{array}\right],$ 求$a,b$及${\lambda }_0$。

查看答案与解析

答案： $a=0,b=\frac{7}{2},{\lambda }_0=-1.$

解析：因$|A|=1$， $A^{\ast }=A^{-1}.$ 若$A\xi ={\lambda }_0\xi$，则 $A^{\ast }\xi =A^{-1}\xi =\frac{1}{{\lambda }_0}\xi .$

计算$A^{\ast }\xi$： $A^{\ast }\xi =\left[\begin{array}{c}-a-1\\ b-\frac{9}{2}\\ a-1\end{array}\right].$ 三个分量都应等于$\frac{1}{{\lambda }_0}$，故 $-a-1=a-1,$ 所以$a=0$。于是共同值为$-1$，从而 $\frac{1}{{\lambda }_0}=-1,$ 即${\lambda }_0=-1$。

再由 $b-\frac{9}{2}=-1$ 得 $b=\frac{7}{2}.$

22. 设$A$是3阶矩阵，${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$是$A$的三个不同的特征值，对应的特征向量分别是${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$，令$\beta ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3$，证明：
    (1) $\beta$不是$A$的特征向量；
    (2) 向量组$\beta ,A\beta ,A^2\beta$线性无关。

查看答案与解析

答案：结论均成立。

解析：由于不同特征值对应的特征向量线性无关，故${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$线性无关。

(1) 若$\beta$是$A$的特征向量，设对应特征值为$\lambda$，则 $A\beta =\lambda \beta .$ 另一方面 $A\beta ={\lambda }_1{\xi }_1+{\lambda }_2{\xi }_2+{\lambda }_3{\xi }_3.$ 因此 $({\lambda }_1-\lambda ){\xi }_1+({\lambda }_2-\lambda ){\xi }_2+({\lambda }_3-\lambda ){\xi }_3=0.$ 由线性无关性可得 ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=\lambda ,$ 与三特征值互异矛盾。所以$\beta$不是特征向量。

(2) 设 $c_0\beta +c_{1}A\beta +c_2{A}^2\beta =0.$ 按${\xi }_i$展开得 $\sum _{i=1}^3(c_0+c_1{\lambda }_i+c_2{\lambda }_i^2){\xi }_i=0.$ 由于${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$线性无关，故 $c_0+c_1{\lambda }_i+c_2{\lambda }_i^2=0,i=1,2,3.$ 即二次多项式$c_0+c_{1}x+c_2{x}^2$有三个不同实根${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$，只能是零多项式，所以 $c_0=c_1=c_2=0.$ 因此$\beta ,A\beta ,A^2\beta$线性无关。

23. 设$A$为3阶实对称矩阵，$tr(A)=1$，齐次线性方程组$Ax=0$的通解为 $x=k_1\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right],$ $k_1,k_2$为任意常数，求$A^n$。

查看答案与解析

答案：对正整数$n$， $A^n=A=\frac{1}{14}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right].$

解析：$Ax=0$的解空间维数为2，所以 $r(A)=1.$ 因此$A$有两个零特征值。又 $tr(A)=1,$ 所以第三个特征值为1。

因为$A$为实对称矩阵，属于非零特征值1的特征向量应与零特征空间正交。设其为$u=(x,y,z{)}^T$，则 $-2x+y=0,-3x+z=0.$ 可取 $u=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right].$

于是$A$就是到$\mathrm{span}\{u\}$上的正交投影： $A=\frac{u{u}^T}{u^{T}u}=\frac{1}{14}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 9\end{array}\right].$ 且$A^2=A$，故对任意正整数$n$， $A^n=A.$

强化部分

1. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ b& 2& 0\\ 0& c& 3\end{array}\right],$ $abc=-6$，则$A$的伴随矩阵$A^{\ast }$有非零特征值( ).
   A. -8 B. 8 C. -11 D. 11

查看答案与解析

答案：D

解析：计算$A$的特征多项式： $|\lambda E-A|={\lambda }^3-6{\lambda }^2+11\lambda -(6+abc).$ 由$abc=-6$得 $|\lambda E-A|=\lambda ({\lambda }^2-6\lambda +11).$ 故$A$的三个特征值为 $0,3+i\sqrt{2},3-i\sqrt{2}.$ 其中仅有一个特征值为0，因此$r(A)=2$，从而$r(A^{\ast })=1$，故$A^{\ast }$恰有一个非零特征值。

对于可对角化矩阵，伴随矩阵在同一特征基下的特征值是“其余特征值的乘积”。这里三个特征值互异，所以$A$在复数域可对角化，$A^{\ast }$的唯一非零特征值为 $(3+i\sqrt{2})(3-i\sqrt{2})=9+2=11.$ 故选D。

2. $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ a& 4& b\\ -3& -6& 8\end{array}\right]$有三个线性无关的特征向量，$\lambda =2$是$A$的二重特征值，则( ).
   A. $a=1,b=-2$ B. $a=-1,b=2$ C. $a=2,b=-1$ D. $a=-2,b=1$

查看答案与解析

答案：A

解析：计算特征多项式： $|\lambda E-A|=(\lambda -2)\left({\lambda }^2-11\lambda +28+2a+6b\right).$ 因为$\lambda =2$是二重特征值，故二次因子在$\lambda =2$处也为0： $4-22+28+2a+6b=0,$ 即 $a+3b=-5.$ 四个选项中只有A满足该条件。

再验证$a=1,b=-2$时 $A-2E=\left[\begin{array}{ccc}-1& -2& 2\\ 1& 2& -2\\ -3& -6& 6\end{array}\right],$ 其秩为1，因此$\lambda =2$的特征子空间维数为2，确有两个线性无关特征向量；另一个特征值为9，所以总共有三个线性无关特征向量。故选A。

3. 设$A$是3阶矩阵，有特征值${\lambda }_1=0$，${\lambda }_2=1$，${\lambda }_3=-1$，对应的特征向量分别是${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$，以下$k,k_1,k_2$为任意常数，则非齐次线性方程组$Ax={\xi }_2+{\xi }_3$的通解是( ).
   A. $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+{\xi }_3$
   B. $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_3+{\xi }_2$
   C. $k{\xi }_1-{\xi }_2+{\xi }_3$
   D. $k{\xi }_1+{\xi }_2-{\xi }_3$

查看答案与解析

答案：D

解析：因三个特征值互异，${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$线性无关并构成一组基。设 $x=c_1{\xi }_1+c_2{\xi }_2+c_3{\xi }_3.$ 则 $Ax=0\cdot c_1{\xi }_1+c_2{\xi }_2-c_3{\xi }_3.$ 令其等于${\xi }_2+{\xi }_3$，得 $c_2=1,c_3=-1,$ 而$c_1$任意。因此通解为 $x=k{\xi }_1+{\xi }_2-{\xi }_3,$ 故选D。

4. 设$A$是3阶矩阵，$Ax=0$有通解$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$，$A{\xi }_3={\xi }_3$，则存在可逆矩阵$P$，使得 $P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$ 则$P$是( ).
   A. $[{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_1+{\xi }_3]$
   B. $[{\xi }_2,{\xi }_3,{\xi }_1]$
   C. $[{\xi }_1+{\xi }_2,-{\xi }_2,2{\xi }_3]$
   D. $[{\xi }_1+{\xi }_2,{\xi }_2-{\xi }_3,{\xi }_3]$

查看答案与解析

答案：C

解析：$Ax=0$的解空间为 $N(A)=\mathrm{span}\{{\xi }_1,{\xi }_2\},$ 所以${\xi }_1,{\xi }_2$是属于特征值0的两个线性无关特征向量，而${\xi }_3$属于特征值1。

若$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(0,0,1)$，则$P$的前两列必须是$N(A)$中的两个线性无关向量，第三列必须是属于特征值1的特征向量。

C中${\xi }_1+{\xi }_2$与$-{\xi }_2$线性无关，且均属于$N(A)$；$2{\xi }_3$属于特征值1，因此满足要求。故选C。

5. 设3阶矩阵$A$的某一行元素全是1，且$A$有3个特征向量 ${\xi }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right],{\xi }_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],{\xi }_3=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right],$ 则$A$的迹$tr(A)=$

查看答案与解析

答案： $3.$

解析：三个特征向量线性无关，因此对应的三个特征值之和就是$tr(A)$。

设全为1的是第$i$行。对任一特征向量$\xi$，该行与$\xi$的乘积等于$\xi$各分量之和，同时又等于相应特征值乘以$\xi$的第$i$个分量。

三个向量的分量和分别为 $0,2,1.$ 第2行不可能全为1，因为${\xi }_2$第二分量为0而分量和为2，会导致$2={\lambda }_2\cdot 0$的矛盾。

若第1行全为1，则三个特征值分别为 $0,2,1.$ 若第3行全为1，同样得到 $0,2,1.$ 所以无论是哪一种可能， $tr(A)=0+2+1=3.$

6. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$ 有特征向量 ${\xi }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right],{\xi }_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\xi }_3=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right].$ (1)求$A$的对应于${\xi }_i(i=1,2,3)$的特征值；
   (2)求$Ax=0$的通解；
   (3)求$A$。

查看答案与解析

答案：

(1) ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=0,{\lambda }_3=-1.$

(2) $x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2=k_1\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right].$

(3) $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ -2& 4& -6\\ -2& 4& -6\end{array}\right].$

解析：由第一行即可确定每个特征向量对应的特征值。

对${\xi }_1$，第一行乘积为 $1-4+3=0,$ 而${\xi }_1$第一分量为1，故${\lambda }_1=0$。

对${\xi }_2$，第一行乘积为 $-1-2+3=0,$ 且第一分量为$-1$，故${\lambda }_2=0$。

对${\xi }_3$，第一行乘积为 $-1-4+6=1.$ 由于${\xi }_3$第一分量为$-1$，故 $1={\lambda }_3(-1),$ 所以${\lambda }_3=-1$。

三个给定向量线性无关，因此${\xi }_1,{\xi }_2$张成$N(A)$，得到(2)。

令 $P=[{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3],\Lambda =\mathrm{diag}(0,0,-1).$ 则 $A=P\Lambda P^{-1}.$ 计算可得 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ -2& 4& -6\\ -2& 4& -6\end{array}\right].$

7. 设$A$是3阶不可逆矩阵，$\alpha ,\beta$是3维线性无关列向量，满足$A\alpha =\beta$，$A\beta =\alpha$，且$A\sim \Lambda$，则$A=$

查看答案与解析

答案：由题干现有信息不能唯一确定具体矩阵$A$；可以唯一确定其相似标准形为 $A\sim \mathrm{diag}(1,-1,0).$

解析：由 $A\alpha =\beta ,A\beta =\alpha$ 可得 $A(\alpha +\beta )=\alpha +\beta ,$ 所以$\alpha +\beta$是特征值1的特征向量；又 $A(\alpha -\beta )=-(\alpha -\beta ),$ 所以$\alpha -\beta$是特征值$-1$的特征向量。

又因$A$不可逆，0也是$A$的特征值。于是$A$的三个特征值为 $1,-1,0.$ 三者互异，故$A$必可相似对角化，即 $A\sim \mathrm{diag}(1,-1,0).$

但源题未给出$\alpha ,\beta$的具体坐标，也未给出第三个特征向量，因此无法唯一写出标准基下的具体矩阵$A$；上述相似标准形是由现有题干能够确定的完整结论。

8. 设$A,B$均为$n$阶矩阵，$|B|\ne 0$，$\alpha$为$n$维非零列向量，则“$\alpha$是$AB$的特征向量”是“$B\alpha$是$BA$的特征向量”的( ).
   A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件

查看答案与解析

答案：A

解析：因$|B|\ne 0$，故$B$可逆，且$\alpha \ne 0$时$B\alpha \ne 0$。

若$\alpha$是$AB$对应于$\lambda$的特征向量，则 $AB\alpha =\lambda \alpha .$ 左乘$B$得 $BA(B\alpha )=\lambda (B\alpha ),$ 所以$B\alpha$是$BA$的特征向量。

反之，若 $BA(B\alpha )=\lambda (B\alpha ),$ 则 $B(AB\alpha )=B(\lambda \alpha ).$ 由$B$可逆可约去$B$，得到 $AB\alpha =\lambda \alpha .$ 所以两个命题互为充分必要条件，选A。

9. 设 $\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right].$ (1) 当$\{\begin{array}{l}{x}_0=1\\ y_0=2\end{array}$时，求$x_{100},y_{100}$；
   (2) 当$\{\begin{array}{l}{x}_0=1\\ y_0=1\end{array}$时，求$x_{100}$。

查看答案与解析

答案：

(1) $x_{100}=5^{100},y_{100}=2\cdot 5^{100}.$

(2) $x_{100}=\frac{2\cdot 5^{100}+1}{3}.$

解析：记 $M=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right].$ 其特征值满足 $|\lambda E-M|=(\lambda -5)(\lambda +1),$ 对应特征向量可分别取 ${\xi }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],{\xi }_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right].$

(1) 初始向量恰为${\xi }_1$，故 $\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right]=M^n{\xi }_1=5^n{\xi }_1.$ 令$n=100$即得答案。

(2) 将初始向量分解为 $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\frac{2}{3}{\xi }_1+\frac{1}{3}{\xi }_2.$ 因此 $\left[\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right]=\frac{2}{3}{5}^n{\xi }_1+\frac{1}{3}(-1{)}^n{\xi }_2.$ 于是 $x_n=\frac{2}{3}{5}^n+\frac{1}{3}(-1{)}^n.$ 当$n=100$时$(-1{)}^{100}=1$，故 $x_{100}=\frac{2\cdot 5^{100}+1}{3}.$

相似理论

1. 设$A,B,D$均为2阶矩阵，$|A|\ne |B|$，$|A|<0$，$|B|<0$， $C=\left[\begin{array}{cc}A& D\\ O& B\end{array}\right],$ 则“$tr(A)=tr(B)$”是“$C$可以相似对角化”的( ).
   A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件

查看答案与解析

答案：A

解析：对任意2阶实矩阵$M$，若$|M|<0$，则其特征方程 ${\lambda }^2-tr(M)\lambda +|M|=0$ 的两根实且异号，因此必为两个不同的实特征值，故$M$可相似对角化。

现设 $tr(A)=tr(B)=t.$ $A,B$的特征多项式分别为 ${\lambda }^2-t\lambda +|A|,{\lambda }^2-t\lambda +|B|.$ 由于$|A|\ne |B|$，二者不可能有公共根；否则若公共根为${\lambda }_0$，相减即得$|A|=|B|$，矛盾。

所以$A$和$B$的四个特征值两两不重复。分块上三角矩阵$C$的特征值正是$A,B$特征值的并集，因此$C$有4个不同特征值，必可相似对角化。因此$tr(A)=tr(B)$是充分条件。

但它不是必要条件。例如取$D=O$， $A=\mathrm{diag}(1,-1),B=\mathrm{diag}(2,-1).$ 则$|A|=-1,|B|=-2$，且$C$本身就是对角矩阵，但 $tr(A)=0\ne 1=tr(B).$ 故为充分非必要条件，选A。

2. 以下两个矩阵，可用同一可逆矩阵$P$相似对角化的是( ).
   A. $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$
   B. $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$
   C. $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$
   D. $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

查看答案与解析

答案：C

解析：题中各矩阵均为实对称矩阵，因而都可对角化。两个可对角化矩阵能够被同一个可逆矩阵同时相似对角化的充要条件是二者可交换。

直接计算各组的交换子$XY-YX$，只有C中的两个矩阵满足 $XY=YX.$ 例如C中 $X=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 0\end{array}\right],$ 有 $XY=YX=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right].$ 所以选C。

3. (1) 下列矩阵中与矩阵 $M=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ 相似的是( ).
   A. $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 2& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$
   B. $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 2& 3\end{array}\right]$
   C. $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 3& 0& 0\end{array}\right]$
   D. $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

(2) 下列矩阵中，与 $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$ 不相似的是( ).
A. $\left[\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$
B. $\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ -1& 2& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
C. $\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$
D. $\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

查看答案与解析

答案：(1) C；(2) D。

解析：

(1) 原矩阵$M$满足 $M^2=M,$ 故它是幂等矩阵，最小多项式整除$x(x-1)$，所以可相似对角化；又 $r(M)=1,tr(M)=1,$ 故其特征值为$1,0,0$，从而 $M\sim \mathrm{diag}(1,0,0).$

C中的矩阵同样秩为1、迹为1，并满足$C^2=C$，因此也相似于$\mathrm{diag}(1,0,0)$，故与$M$相似。

A、B的非零特征值分别为2、3；D的秩为2，均不能与$M$相似。

(2) 原矩阵的特征多项式为 $(\lambda -1)(\lambda -2{)}^2,$ 且对$\lambda =2$只有一个线性无关特征向量，因此它的Jordan结构为 $\mathrm{diag}\left(1,J_2(2)\right).$ A、B、C均具有同样的特征多项式，并且$\lambda =2$的特征子空间维数均为1，所以与原矩阵相似。

D中左上$2\times 2$块 $\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right]$ 的特征值为$2\pm i$，故其特征多项式不是$(\lambda -1)(\lambda -2{)}^2$，因此与原矩阵不相似。

4. 设3阶矩阵$P=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2$分别是3阶矩阵$A$对应于特征值-1与1的特征向量，且 $(A-E){\alpha }_3-{\alpha }_2=0.$ (1)证明$P$可逆；
   (2)计算$P^{-1}{A}^{\ast }P$。

查看答案与解析

答案： $P^{-1}{A}^{\ast }P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right].$

解析：

(1) 已知 $A{\alpha }_1=-{\alpha }_1,A{\alpha }_2={\alpha }_2,A{\alpha }_3={\alpha }_2+{\alpha }_3.$ 若 $c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+c_3{\alpha }_3=0,$ 两边作用$A-E$得 $-2c_1{\alpha }_1+c_3{\alpha }_2=0.$ 由于属于不同特征值的特征向量${\alpha }_1,{\alpha }_2$线性无关，故 $c_1=c_3=0.$ 代回原式得$c_2=0$。因此${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关，$P$可逆。

(2) 在基$P$下， $J=P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$ 因此 $|A|=|J|=-1.$ 又$A^{\ast }=|A|A^{-1}=-A^{-1}$，所以 $P^{-1}{A}^{\ast }P=-J^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right].$

5. 设$A,P$均为3阶矩阵，$P=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$，其中${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为3维列向量组且线性无关，若 $A[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]=[3{\alpha }_3,2{\alpha }_2,{\alpha }_1].$ (1)证明$A$可相似于对角矩阵$\Lambda$；
   (2) 设 $P=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 3& 1\end{array}\right],$ 求可逆矩阵$C$使得$C^{-1}AC=\Lambda$并写出$\Lambda$。

查看答案与解析

答案：可取 $C=\left[\begin{array}{ccc}1-\sqrt{3}& -1& 1+\sqrt{3}\\ 0& 1& 0\\ \sqrt{3}& 3& -\sqrt{3}\end{array}\right],$ 此时 $\Lambda =\mathrm{diag}(\sqrt{3},2,-\sqrt{3}).$

解析：由题意 $AP=PM,$ 其中 $M=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 3& 0& 0\end{array}\right].$ 所以 $P^{-1}AP=M.$ $M$的特征多项式为 $(\lambda -2)({\lambda }^2-3),$ 故其特征值为 $2,\sqrt{3},-\sqrt{3},$ 三者互异，因此$M$可相似对角化，进而$A$也可相似对角化。

对应于$\sqrt{3},2,-\sqrt{3}$，$M$的特征向量可分别取 ${\eta }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ \sqrt{3}\end{array}\right],{\eta }_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\eta }_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -\sqrt{3}\end{array}\right].$ 令 $S=[{\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3],$ 则 $S^{-1}MS=\mathrm{diag}(\sqrt{3},2,-\sqrt{3}).$ 因此取 $C=PS,$ 即可得到所求。代入题给$P$计算便得到答案中的$C$。

6. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ -2& 1& 1\\ 1& 1& -2\end{array}\right],$ $B$满足$AB=A-B$，求可逆矩阵$P$，使$P^{-1}(AB)P$为对角矩阵，并写出该对角矩阵。

查看答案与解析

答案：可取 $P=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& -1\\ -1& 1& 1\\ 2& 1& 0\end{array}\right],$ 则 $P^{-1}(AB)P=\mathrm{diag}\left(-\frac{9}{2},0,\frac{9}{4}\right).$

解析：原式 $AB=A-B$ 化为 $(A+E)B=A.$ 先求$A$的特征值。由于$A$为实对称矩阵，计算得特征值为 $-3,0,3,$ 对应特征向量可分别取 ${\xi }_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right],{\xi }_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\xi }_3=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right].$

$-1$不是$A$的特征值，所以$A+E$可逆， $B=(A+E{)}^{-1}A.$ 因此 $AB=A(A+E{)}^{-1}A,$ 是$A$的有理函数，与$A$具有相同的特征向量。若$A\xi =\lambda \xi$，则 $AB\xi =\frac{{\lambda }^2}{\lambda +1}\xi .$ 对$\lambda =-3,0,3$分别得到 $-\frac{9}{2},0,\frac{9}{4}.$ 取$P=[{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3]$即可。

7. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ a& 1& b\end{array}\right]$ 恰有2个不同的特征值且可相似对角化，$a>0$，$(A+E)(E-B)=E$。
   (1)求$a,b$的值；
   (2)求可以使$A,B$同时相似对角化的可逆矩阵$P$。

查看答案与解析

答案： $a=1,b=1.$ 可取 $P=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right].$ 此时 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,1,3),$ 并且 $P^{-1}BP=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right).$

解析：$A$为分块下三角矩阵，其特征值为$1,3,b$。题设恰有两个不同特征值，所以 $b=1\text{或}b=3.$

若$b=1$，则$\lambda =1$为二重特征值。要求可相似对角化，必须有 $\dim N(A-E)=2,$ 即$r(A-E)=1$。此时 $A-E=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ a& 1& 0\end{array}\right],$ 故需$a=1$。

若$b=3$，类似地要求$\lambda =3$的特征子空间维数为2，可得$a=-1$，与$a>0$矛盾。

所以 $a=b=1.$ 此时$\lambda =1$对应两个线性无关特征向量，可取 ${\xi }_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\xi }_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right],$ 而$\lambda =3$可取 ${\xi }_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right].$ 令$P=[{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3]$，即得题中$P$。

又 $(A+E)(E-B)=E$ 给出 $B=E-(A+E{)}^{-1},$ 所以$B$是$A$的有理函数，必与$A$被同一个$P$对角化。若$A$的特征值为$\lambda$，则$B$对应特征值为 $1-\frac{1}{\lambda +1}=\frac{\lambda }{\lambda +1},$ 从而分别为$\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{4}$。

8. 若矩阵$A$的伴随矩阵 $A^{\ast }=\left[\begin{array}{ccc}3& 2& -2\\ 0& -1& 0\\ a& 2& -3\end{array}\right]$ 相似于矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right],$ 其中$|A|>0$。
   (1)求$a$的值；
   (2)求$A^{99}$。

查看答案与解析

答案： $a=4,$ 且 $A^{99}=A=\left[\begin{array}{ccc}3& 2& -2\\ 0& -1& 0\\ 4& 2& -3\end{array}\right].$

解析：相似矩阵行列式相等。$B$为三角矩阵， $|B|=(-1)\cdot 1\cdot (-1)=1.$ 而 $|A^{\ast }|=|A{|}^{3-1}=|A{|}^2.$ 由于$|A|>0$，可得 $|A|=1.$ 另一方面 $|A^{\ast }|=9-2a.$ 故 $9-2a=1,$ 从而$a=4$。

此时 $A^{\ast }=\left[\begin{array}{ccc}3& 2& -2\\ 0& -1& 0\\ 4& 2& -3\end{array}\right],$ 并直接计算得 $(A^{\ast }{)}^2=E.$ 又因$|A|=1$，有 $A^{\ast }=A^{-1}.$ 由$(A^{\ast }{)}^{-1}=A^{\ast }$可得 $A=A^{\ast }.$ 因此 $A^2=E,$ 故 $A^{99}=A.$

9. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 1& 2& 0\\ a& 0& 3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}1& b& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$ 相似，且$Ax=x+[b,-b,2b{]}^T$的一个解为$[0,-1,1{]}^T$。
   (1)求$a,b$的值；
   (2)求$A^{100}$。

查看答案与解析

答案： $a=-4,b=1.$ 并且 $A^{100}=\left[\begin{array}{ccc}-199& 0& 100\\ 201-2^{100}& 2^{100}& 2^{100}-101\\ -400& 0& 201\end{array}\right].$

解析：先利用给出的一个解。令 $x_0=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right].$ 则 $A{x}_0=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right],$ 而 $x_0+\left[\begin{array}{c}b\\ -b\\ 2b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}b\\ -1-b\\ 1+2b\end{array}\right].$ 比较分量得 $b=1.$

由于$A\sim B$，二者特征多项式相同。$B$的特征多项式为 $(\lambda -1{)}^2(\lambda -2).$ 而 $|\lambda E-A|=(\lambda -2)({\lambda }^2-2\lambda -3-a).$ 比较得 ${\lambda }^2-2\lambda -3-a=(\lambda -1{)}^2,$ 故 $a=-4.$

此时$A$与$B$具有同样的Jordan结构，最小多项式为 $m_A(\lambda )=(\lambda -1{)}^2(\lambda -2).$ 设 $A^n=c_{0}E+c_{1}A+c_2{A}^2.$ 为了与$x^n$在$\lambda =1$处函数值及一阶导数相同，并在$\lambda =2$处函数值相同，令 $\{\begin{array}{l}{c}_0+c_1+c_2=1,\\ c_1+2c_2=n,\\ c_0+2c_1+4c_2=2^n.\end{array}$ 解得 $c_0=2^n-2n,c_1=-2^{n+1}+3n+2,c_2=2^n-n-1.$ 令$n=100$并代入$A$化简，即得答案矩阵。

10. 设$A,B$是可逆矩阵，且$A$与$B$相似，则下列结论错误的是( ).
    A. $A^T$与$B^T$相似
    B. $A^2+A^{-1}$与$B^2+B^{-1}$相似
    C. $A+A^T$与$B+B^T$相似
    D. $A^{\ast }-A^{-1}$与$B^{\ast }-B^{-1}$相似

查看答案与解析

答案：C

解析：设 $B=P^{-1}AP.$ 则转置可得$A^T\sim B^T$，所以A正确。

又相似关系在多项式及可逆矩阵的逆运算下保持，因此 $B^2+B^{-1}=P^{-1}(A^2+A^{-1})P,$ 所以B正确。

对伴随矩阵，因$|A|=|B|$且$A^{-1}\sim B^{-1}$，有 $A^{\ast }=|A|A^{-1}\sim |B|B^{-1}=B^{\ast },$ 并进一步得到 $A^{\ast }-A^{-1}\sim B^{\ast }-B^{-1},$ 所以D正确。

但由$B=P^{-1}AP$并不能推出 $B+B^T=P^{-1}(A+A^T)P,$ 因为转置后的相似变换矩阵一般不同。因此C不一定成立，故选C。

11. 设3阶矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 1& t\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 1& 2\\ 3& 3& 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 0& 2& 0\\ -1& 3& 2\end{array}\right].$ (1)$t$为何值时，矩阵$A,B$等价？说明理由。
    (2)$t$为何值时，矩阵$A,C$相似？说明理由。

查看答案与解析

答案：

(1) $t=0.$

(2) $t=2.$

解析：

(1) 两个同型矩阵等价的充要条件是秩相等。计算得 $r(B)=2.$ 而 $|A|=3t.$ 当$t\ne 0$时$r(A)=3$；当$t=0$时，$A$仍存在非零二阶子式，所以$r(A)=2$。因此 $A{\sim }_{ext等价}B$ 当且仅当$t=0$。

(2) $A$的特征多项式为 $|\lambda E-A|=(\lambda -t)(\lambda -1)(\lambda -3).$ $C$的特征多项式为 $|\lambda E-C|=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3).$ 相似矩阵必须有相同特征多项式，因此必要条件是$t=2$。

当$t=2$时，$A$的三个特征值$1,2,3$互不相同，$C$也有三个互不相同的特征值$1,2,3$，二者都相似于 $\mathrm{diag}(1,2,3),$ 所以二者相似。因此$t=2$也是充分条件。

12. 设4阶实对称矩阵$A$满足$A^4=O$，则$r(A)=$( ).
    A. 0 B. 0或1 C. 1或2 D. 2或3

查看答案与解析

答案：A

解析：实对称矩阵可正交相似对角化，设其特征值为${\lambda }_i$。由 $A^4=O$ 可知每个特征值均满足 ${\lambda }_i^4=0,$ 所以${\lambda }_i=0$。

实对称矩阵可对角化，全部特征值均为0只能得到$A=O$，故 $r(A)=0.$ 选A。

13. 设$A$是3阶实矩阵，则“$A$是实对称矩阵”是“$A$有3个相互正交的特征向量”的( ).
    A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件

查看答案与解析

答案：C

解析：若$A$是实对称矩阵，由实对称矩阵的谱定理，必存在一组由三个两两正交的单位特征向量组成的正交基，所以充分性成立。

反过来，若$A$有三个相互正交的非零实特征向量，将它们单位化后作为正交矩阵$Q$的列，则 $Q^{T}AQ=\Lambda$ 为实对角矩阵。因此 $A=Q\Lambda Q^T.$ 转置得 $A^T=Q\Lambda Q^T=A,$ 所以$A$为实对称矩阵，必要性也成立。

故为充分必要条件，选C。

14. 设2阶实对称矩阵$A$的特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2$，且${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$，${\alpha }_1,{\alpha }_2$分别是$A$的对应于${\lambda }_1,{\lambda }_2$的单位特征向量，则与矩阵$A+{\alpha }_1{\alpha }_1^T$相似的对角矩阵为( ).
    A. $\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]$
    B. $\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1+1& 0\\ 0& {\lambda }_2+1\end{array}\right]$
    C. $\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2+1\end{array}\right]$
    D. $\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1+1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]$

查看答案与解析

答案：D

解析：由于$A$为实对称矩阵且${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$，单位特征向量${\alpha }_1,{\alpha }_2$正交，即 ${\alpha }_1^T{\alpha }_2=0.$ 于是 $(A+{\alpha }_1{\alpha }_1^T){\alpha }_1=A{\alpha }_1+{\alpha }_1({\alpha }_1^T{\alpha }_1)=({\lambda }_1+1){\alpha }_1,$ 而 $(A+{\alpha }_1{\alpha }_1^T){\alpha }_2=A{\alpha }_2+{\alpha }_1({\alpha }_1^T{\alpha }_2)={\lambda }_2{\alpha }_2.$ 故其特征值为${\lambda }_1+1,{\lambda }_2$，选D。

15. 设向量组$\alpha ,A\alpha ,A^2\alpha$线性无关，其中$A$为3阶矩阵，$\alpha$为3维非零列向量，且 $A^3\alpha =3A\alpha -2A^2\alpha ,$ 则$A$的特征值为

查看答案与解析

答案： $0,1,-3.$

解析：因$\alpha ,A\alpha ,A^2\alpha$线性无关，它们构成${\mathbb{R}}^3$的一组基。题设可写成 $(A^3+2A^2-3A)\alpha =0.$ 即 $A(A-E)(A+3E)\alpha =0.$

由于$\alpha$是循环向量，$\alpha ,A\alpha ,A^2\alpha$张成整个空间，故$A$的最小多项式次数为3，并且由上述关系可知 $m_A(\lambda )=\lambda (\lambda -1)(\lambda +3).$ 3阶矩阵的特征多项式也是3次，因此其三个特征值就是 $0,1,-3.$

16. 设$A,B,C$是$n$阶方阵，满足 $(A+E)C=0,B(A^T-2E)=0,r(C)+r(B)=n.$ 证明$A$相似于对角矩阵$\Lambda$，并求$A$。

查看答案与解析

答案：设 $r(C)=r,r(B)=n-r.$ 则 $A\sim \Lambda =\mathrm{diag}(\underset{r\text{ 个}}{\underbrace{-1,\dots ,-1}},\underset{n-r\text{ 个}}{\underbrace{2,\dots ,2}}).$ 若从$R(C)$取一组基${\eta }_1,\dots ,{\eta }_r$，从$R(B^T)$取一组基${\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_{n-r}$，令 $P=[{\eta }_1,\dots ,{\eta }_r,{\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_{n-r}],$ 则$P$可逆，且 $A=P\Lambda P^{-1}.$

解析：由 $(A+E)C=0$ 知对任意$x$， $(A+E)(Cx)=0.$ 因此$R(C)$中的每个非零向量都是$A$属于特征值$-1$的特征向量，故 $\dim V_{-1}\ge r(C).$

第二个条件转置得 $(A-2E)B^T=0.$ 故$R(B^T)$中的每个非零向量都是$A$属于特征值2的特征向量，于是 $\dim V_2\ge r(B^T)=r(B).$

由于$-1\ne 2$，两个特征子空间的交只有零向量，因此 $\dim (V_{-1}+V_2)=\dim V_{-1}+\dim V_2\ge r(C)+r(B)=n.$ 但总维数只有$n$，所以必有等号，且 ${\mathbb{R}}^n=V_{-1}\oplus V_2.$ 因此$A$有$n$个线性无关特征向量，可相似对角化，其相似标准形就是答案中的$\Lambda$。

原题没有给出$B,C$的具体数值，所以标准基下的数值矩阵$A$不能唯一写出；能够确定的是上述分解。给定$B,C$后，取两个像空间的基组成$P$，即可由$A=P\Lambda P^{-1}$唯一恢复$A$。

17. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}-4& 2& 10\\ -4& 3& a\\ -3& 1& 7\end{array}\right],$ 且$A$的所有特征向量中只有一个线性无关的特征向量， $B=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right].$ (1) 求$a$的值；
    (2) 是否存在可逆矩阵$P$，使$P^{-1}AP=B$？若存在，求出矩阵$P$；若不存在，说明理由。

查看答案与解析

答案：

(1) $a=7.$

(2) 存在。可取 $P=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 1& 1& -3\\ 1& 0& 0\end{array}\right],$ 则 $P^{-1}AP=B.$

解析：计算$A$的特征多项式： $|\lambda E-A|=(\lambda -2)({\lambda }^2-4\lambda +11-a).$ 题设说所有特征向量中只有一个线性无关的特征向量，这意味着只有一个特征值，且其几何重数为1。因此特征多项式必须为 $(\lambda -2{)}^3.$ 于是 ${\lambda }^2-4\lambda +11-a=(\lambda -2{)}^2={\lambda }^2-4\lambda +4,$ 故 $a=7.$

此时 $N=A-2E=\left[\begin{array}{ccc}-6& 2& 10\\ -4& 1& 7\\ -3& 1& 5\end{array}\right],$ 且$r(N)=2$，所以$\lambda =2$只有一个线性无关特征向量，Jordan标准形必为单个三阶Jordan块$J_3(2)$，即与题给$B$相似。

构造Jordan链。可取 $p_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right],N{p}_1=0.$ 再取 $p_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],N{p}_2=p_1,$ 以及 $p_3=\left[\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 0\end{array}\right],N{p}_3=p_2.$ 令$P=[p_1,p_2,p_3]$，则$|P|=1\ne 0$，且 $AP=PB,$ 所以$P^{-1}AP=B$。

18. 设$A$为3阶实对称矩阵，已知$A$的各行元素之和及主对角线元素之和均为2，且 $\alpha =\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right],\beta =\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right]$ 是线性方程组 $(A-E)x=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$ 的两个解，求矩阵$A$。

查看答案与解析

答案： $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right].$

解析：因$A$各行元素之和为2，故 $e=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$ 是$A$属于特征值2的特征向量。

又$\alpha ,\beta$均为$(A-E)x=e$的解，所以二者之差满足齐次方程 $(A-E)(\alpha -\beta )=0.$ 而 $\alpha -\beta =\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right].$ 因此 $u_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]$ 是$A$属于特征值1的特征向量。

又主对角线元素之和为2，即 $tr(A)=2.$ 所以第三个特征值为 ${\lambda }_3=2-2-1=-1.$

由于$A$为实对称矩阵，三个不同特征值对应特征向量两两正交。与$e$及$u_2$都正交的向量可取 $u_3=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right].$ 因此利用谱分解 $A=2\frac{e{e}^T}{e^{T}e}+1\frac{u_2{u}_2^T}{u_2^T{u}_2}-\frac{u_3{u}_3^T}{u_3^T{u}_3},$ 计算即得 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right].$ 代回可验证$\alpha ,\beta$均满足原方程。

19. 在某一核反应堆中有$\alpha$与$\beta$两种粒子，若每秒钟1个$\alpha$粒子分裂成3个$\beta$粒子，且1个$\beta$粒子分裂成2个$\beta$粒子与1个$\alpha$粒子。设在$t=0$时刻，该反应堆中只有1个$\alpha$粒子，记$a_n,b_n$分别表示$t=n$秒时$\alpha$粒子、$\beta$粒子的个数。
    (1) 证明 $\left[\begin{array}{c}{a}_n\\ a_{n-1}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1}\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right];$ (2)求$t=n$秒时反应堆中的粒子总数$a_n+b_n$。

查看答案与解析

答案：

(1) 结论成立。

(2) $a_n+b_n=3^n.$

解析：每经过1秒，新的$\alpha$粒子全部来自上一秒的$\beta$粒子，而新的$\beta$粒子由上一秒的$\alpha$、$\beta$粒子共同产生，因此 $a_n=b_{n-1},b_n=3a_{n-1}+2b_{n-1}.$ 将$b_{n-1}=a_n$代入第二式，得到 $a_{n+1}=2a_n+3a_{n-1}.$ 即 $\left[\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ a_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_n\\ a_{n-1}\end{array}\right].$ 初始时$a_0=1,b_0=0$，所以 $a_1=b_0=0.$ 反复迭代便得 $\left[\begin{array}{c}{a}_n\\ a_{n-1}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1}\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_0\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-1}\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right].$

由递推式 $a_{n+1}-2a_n-3a_{n-1}=0$ 的特征方程 $r^2-2r-3=0$ 得$r=3,-1$。结合$a_0=1,a_1=0$，可得 $a_n=\frac{3^n+3(-1{)}^n}{4}.$ 又$b_n=a_{n+1}$，所以 $a_n+b_n=a_n+a_{n+1}=3^n.$

20. 已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& 1& 0& -1\\ -1& 0& 1& 2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],$ $A=BC$。
    (1) 求矩阵$C$；
    (2)计算$A^{10}$。

查看答案与解析

答案：

(1) $C=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 1& 2\\ 2& 1& 0& -1\end{array}\right].$

(2) $A^{10}=\left[\begin{array}{cccc}19683& 19683& 19683& 19683\\ 19683& 19683& 19683& 19683\\ 19684& 19683& 19682& 19681\\ -1& 0& 1& 2\end{array}\right].$

解析：

(1) 设$C=[c_1,c_2,c_3,c_4]$，其中$c_j$为二维列向量。由 $B{c}_j=A_j$ 逐列求解，可得 $c_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right],c_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],c_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],c_4=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right].$ 故得到题中$C$。

(2) 利用$A=BC$，有 $A^{10}=(BC{)}^{10}=B(CB{)}^{9}C.$ 先计算 $CB=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right].$ 该矩阵为下三角矩阵，且可直接归纳得到 $(CB{)}^n=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 3^n-1& 3^n\end{array}\right].$ 因此 $(CB{)}^9=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 19682& 19683\end{array}\right].$ 最后计算 $A^{10}=B(CB{)}^{9}C,$ 即可得到答案中的矩阵。