第3章 向量组

基础部分

1. $n$维向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r(3\le r\le n)$线性相关的充分必要条件是( ).
   A. 对于任意一组不全为零的数$k_1,k_2,\cdots ,k_r$都有$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_r{\alpha }_r=0$
   B. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$中任意两个向量都线性相关
   C. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$中任何一个向量都能由其余向量线性表示
   D. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$中至少有一个向量能由其余向量线性表示

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答案：D

解析：向量组线性相关的定义是：存在一组不全为零的数$c_1,c_2,\cdots ,c_r$，使 $c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_r{\alpha }_r=0$。

取其中一个非零系数$c_i\ne 0$，则 ${\alpha }_i=-\sum _{j\ne i}\frac{c_j}{c_i}{\alpha }_j$， 即至少有一个向量可由其余向量线性表示。反之，若某个向量能由其余向量线性表示，移项后便得到一组不全为零的系数使线性组合为零。因此D为充分必要条件。

2. 设$n$阶方阵$A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n]$，$B=[{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n]$，$AB=[{\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n]$，记向量组$I:{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$，向量组$II:{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$，向量组$III:{\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n$，如果向量组$III$线性相关，则( )
   A. 向量组$I$线性相关 B. 向量组$II$线性相关 C. 向量组$I$与$II$都线性相关 D. 向量组$I$与$II$至少有一个线性相关

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答案：D

解析：向量组$III$线性相关等价于 $|AB|=0$。 由行列式乘法公式 $|AB|=|A||B|$， 故$|A|=0$或$|B|=0$。因此向量组$I$与$II$至少有一个线性相关，选D。

3. 设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$是$n$个$n$维的线性无关向量，${\alpha }_{n+1}=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_n{\alpha }_n$，其中$k_1,k_2,\cdots ,k_n$全不为0，则下列结论：①${\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_{n+1}$线性相关；②${\alpha }_1,{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_{n+1}$线性相关；③${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4,\cdots ,{\alpha }_{n+1}$线性相关.正确的个数为( ).
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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答案：A

解析：因为每个$k_i\ne 0$，用${\alpha }_{n+1}$替换原线性无关组中的任意一个${\alpha }_i$后，所得$n$个向量仍线性无关。

例如对${\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n,{\alpha }_{n+1}$，若 $c_2{\alpha }_2+\cdots +c_n{\alpha }_n+c_{n+1}{\alpha }_{n+1}=0$， 代入${\alpha }_{n+1}$后，${\alpha }_1$的系数为$c_{n+1}{k}_1$。由于原向量组线性无关且$k_1\ne 0$，有$c_{n+1}=0$，进而$c_2=\cdots =c_n=0$。

其余两组同理均线性无关，所以①②③均错误，正确个数为0。

4. 设$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right]$，$A$分别以列和行分块，记为$A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4]=\left[\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ {\beta }_3\end{array}\right]$，其中$\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{14}\\ a_{32}& a_{34}\end{array}\right|\ne 0$，$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=0$，则以下结论中：①$r(A)=2$；②${\alpha }_2,{\alpha }_4$线性无关；③${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$线性相关；④${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性相关.所有正确结论的序号是( ).
   A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

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答案：D

解析：已知二阶子式 $\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{14}\\ a_{32}& a_{34}\end{array}\right|\ne 0$， 说明第2、4列${\alpha }_2,{\alpha }_4$线性无关，所以②正确，同时只能推出$r(A)\ge 2$，不能断定$r(A)=2$，故①错误。

又第1、2、3列组成的三阶行列式为0，因此${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性相关，④正确。

至于三行${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$，若第4列加入后出现非零三阶子式，则$r(A)=3$，三行可线性无关，所以③不能由题设推出。故选D。

5. 设向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关，若向量${\beta }_1$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示，向量${\beta }_2$不能由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示，则必有( ).
   A. 向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1$线性相关 B. 向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1$线性无关 C. 向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_2$线性相关 D. 向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_2$线性无关

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答案：D

解析：${\alpha }_1,{\alpha }_2$本身线性无关。若${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_2$线性相关，则存在不全为零的$c_1,c_2,c_3$使 $c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+c_3{\beta }_2=0$。

若$c_3=0$，由${\alpha }_1,{\alpha }_2$线性无关得$c_1=c_2=0$，矛盾；故$c_3\ne 0$，从而${\beta }_2$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2$线性表示，更可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示，与题设矛盾。因此三者必线性无关，选D。

6. 设$x_1=[1,2,2,-4{]}^T$，$x_2=[1,k,-1,-4{]}^T$，$x_3=[-1,-3,1,k+6{]}^T$，则( ).
   A. 对任意常数$k$，$x_1,x_2,x_3$线性无关 B. 当$k=3$时，$x_1,x_2,x_3$线性相关 C. 当$k=-2$时，$x_1,x_2,x_3$线性相关 D. $k\ne 3$且$k\ne -2$是$x_1,x_2,x_3$线性无关的充要条件

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答案：A

解析：以$x_1,x_2,x_3$为列组成$4\times 3$矩阵。取第1、2、3行构成的三阶子式，得 $D_1=3(k-3)$； 取第1、3、4行构成的三阶子式，得 $D_2=-3(k+2)$。

若三个向量线性相关，则所有三阶子式都应为0，于是必须同时有$k=3$与$k=-2$，不可能。因此对任意实数$k$，三个向量均线性无关，选A。

7. 设${\alpha }_1=[1,1,0,-2{]}^T$，${\alpha }_2=[1,k,-2,0{]}^T$，${\alpha }_3=[-1,-3,2,k+4{]}^T$，则( ).
   A. 对任意常数$k$，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关 B. 当$k=3$时，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性相关 C. 当$k=-4$时，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性相关 D. $k\ne 3$且$k\ne -4$是${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关的充要条件

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答案：A

解析：将三个向量作为列组成矩阵。取第1、2、4行构成的三阶子式，可得 $D=k^2+k+2$。 其判别式 $\Delta =1-8=-7<0$，且二次项系数为正，因此对任意实数$k$都有$D>0$。

故矩阵始终存在非零三阶子式，三个向量对任意$k$都线性无关，选A。

8. 已知向量组$\alpha ,\beta ,\gamma$线性无关，则$k\ne 1$是向量组$\alpha +k\beta$，$\beta +k\gamma$，$\alpha -\gamma$线性无关的( ).
   A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件

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答案：C

解析：相对于基$\alpha ,\beta ,\gamma$，三个新向量的坐标矩阵为 $P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ k& 1& 0\\ 0& k& -1\end{array}\right]$。

计算得 $|P|=(k-1)(k+1)$。 故新向量组线性无关的充分必要条件为 $k\ne 1\text{且}k\ne -1$。

因此线性无关一定要求$k\ne 1$，所以“$k\ne 1$”是必要条件；但当$k=-1$时虽有$k\ne 1$，向量组仍线性相关，所以它不是充分条件。选C。

9. 若向量组${\alpha }_1=[1,0,2,a{]}^T$，${\alpha }_2=[2,1,a,4{]}^T$，${\alpha }_3=[0,a,5,-6{]}^T$线性相关，则$a=$( )
   A. -1 B. 3 C. -3 D. 5

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答案：A

解析：以三个向量为列组成矩阵。其若线性相关，则所有三阶子式均为0。取第1、3、4行的三阶子式，有 $D=4(a+1)$。 故必须有$a=-1$。

代入$a=-1$后可验证其余三阶子式也均为0，因此三个向量确实线性相关。故选A。

10. $n$维向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性无关，$\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s$，其中$k_1,k_2,\cdots ,k_s$全不为零，则( ).
    A. 向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{s-1},\beta$线性相关 B. 向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s,\beta$线性无关 C. 向量组${\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_s,\beta$线性相关 D. 向量组${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_{i-1},\beta ,{\alpha }_{i+1},\cdots ,{\alpha }_s$线性无关

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答案：D

解析：因为$k_i\ne 0$，可由 $\beta =\sum _{j=1}^s{k}_j{\alpha }_j$ 解出 ${\alpha }_i=\frac{1}{k_i}\left(\beta -\sum _{j\ne i}{k}_j{\alpha }_j\right)$。

所以将原线性无关组中的任意${\alpha }_i$替换为$\beta$后，所得$s$个向量与原向量组等价，秩仍为$s$，因此仍线性无关。故D正确。

11. 设向量${\alpha }_1=[1,1,2{]}^T$，${\alpha }_2=[2,a,4{]}^T$，${\alpha }_3=[a,3,6{]}^T$，${\alpha }_4=[0,2,2a{]}^T$，若向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$与${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$不等价，则$a=$( )
    A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

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答案：B

解析：记 $A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$。 计算 $|A|=-2(a-2)(a-3)$。

当$a\ne 2,3$时，$r(A)=3$，前三个向量已张成$R^3$，加入${\alpha }_4$后张成空间不变，两向量组等价。

当$a=2$时，可计算 $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)=2$， 仍然等价。

当$a=3$时， $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=2$，而 $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)=3$， 加入${\alpha }_4$后张成空间扩大，因此两向量组不等价。故$a=3$，选B。

12. 已知向量组${\alpha }_1=[1,2,-3{]}^T$，${\alpha }_2=[3,0,-3{]}^T$，${\alpha }_3=[9,6,-15{]}^T$与向量组${\beta }_1=[0,1,-1{]}^T$，${\beta }_2=[3,a,1{]}^T$，${\beta }_3=[1,1,b{]}^T$等价，则$a,b$的值分别为( ).
    A. $-4,2$ B. $4,-2$ C. $-4,-2$ D. $4,2$

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答案：C

解析：原题选项中第三项存在明显重复，按题意应为$(-4,-2)$，这里已修正。

对$\alpha$向量组，有 ${\alpha }_3=3{\alpha }_1+2{\alpha }_2$， 且${\alpha }_1,{\alpha }_2$线性无关，所以其秩为2。又每个${\alpha }_i$都满足 $x+y+z=0$， 故其张成空间就是平面 $x+y+z=0$。

两向量组等价，则每个${\beta }_i$也应位于该平面内。${\beta }_1$本身满足条件；对${\beta }_2$有 $3+a+1=0$，得$a=-4$； 对${\beta }_3$有 $1+1+b=0$，得$b=-2$。

此时${\beta }_1,{\beta }_2$线性无关，故$\beta$向量组的秩也是2，与$\alpha$向量组等价。故$a=-4,b=-2$。

13. 设${\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$，${\alpha }_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$，${\alpha }_3=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$，记${\beta }_1={\alpha }_1$，${\beta }_2={\alpha }_2-k_1{\beta }_1$，${\beta }_3={\alpha }_3-k_2{\beta }_1-k_3{\beta }_2$，若${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$为正交向量组，则$k_1,k_2,k_3$依次为( ).
    A. $-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{3}$ B. $-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3}$ C. $\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3}$ D. $\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}$

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答案：D

解析：由Gram-Schmidt正交化公式， $k_1=\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}=\frac{1}{2}$。 于是 ${\beta }_2=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1\end{array}\right]$。

再由 $k_2=\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}=-\frac{1}{2}$， 以及 $k_3=\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1}=-\frac{1}{3}$。

故 $(k_1,k_2,k_3)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\right)$，选D。

14. 设向量组${\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]$，${\alpha }_2=\left[\begin{array}{c}a\\ 1\\ 1\end{array}\right]$，${\alpha }_3=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right]$不可由向量组${\beta }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]$，${\beta }_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 7\end{array}\right]$，${\beta }_3=\left[\begin{array}{c}a\\ 0\\ -a\end{array}\right]$线性表示，则$a$的取值范围为

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答案：$a\ne 2$

解析：先考察$\beta$向量组。其行列式恒为 $|{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3|=0$， 且可验证其秩恒为2，因此${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$只能张成$R^3$中的一个二维子空间。

而 $|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|=2-a$。 当$a\ne 2$时，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关，张成整个$R^3$，显然不可能全部由秩仅为2的$\beta$向量组线性表示。

当$a=2$时，${\alpha }_2={\alpha }_3$，并且 ${\alpha }_1=\frac{1}{2}{\beta }_3,{\alpha }_2=4{\beta }_1-{\beta }_2$， 故$\alpha$向量组可以由$\beta$向量组线性表示。

所以“不可由”成立的范围为 $a\ne 2$。

15. 设$R^3$中的两个基：${\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$，${\alpha }_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]$，${\alpha }_3=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right]$；${\beta }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right]$，${\beta }_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right]$，${\beta }_3=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ -1\end{array}\right]$.由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$到${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$的过渡矩阵为

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答案：$\left[\begin{array}{ccc}-\frac{10}{3}& -3& 0\\ 3& 3& 0\\ \frac{2}{3}& 1& 1\end{array}\right]$

解析：记 $A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3],B=[{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3]$。 由“从$\alpha$基到$\beta$基”的过渡矩阵$P$定义 $B=AP$， 故 $P=A^{-1}B$。

计算得 $P=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{10}{3}& -3& 0\\ 3& 3& 0\\ \frac{2}{3}& 1& 1\end{array}\right]$。 其中第三列为$(0,0,1{)}^T$，也与${\beta }_3={\alpha }_3$相符。

强化部分

1. 设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$是$n$维列向量，$A$是$m\times n$矩阵，记向量组$(I)$为${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$，向量组$(II)$为$A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,\cdots ,A{\alpha }_s$，则下列命题正确的是( ).
   A. 若向量组$(I)$线性无关，则向量组$(II)$线性无关 B. 若向量组$(II)$线性无关，则向量组$(I)$线性无关 C. 若向量组$(II)$线性相关，则向量组$(I)$线性相关 D. 向量组$(I)$与向量组$(II)$具有不同的线性相关性

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答案：B

解析：若向量组$(I)$线性相关，则存在不全为零的$c_1,\cdots ,c_s$使 $c_1{\alpha }_1+\cdots +c_s{\alpha }_s=0$。 两边左乘$A$，得 $c_{1}A{\alpha }_1+\cdots +c_{s}A{\alpha }_s=0$， 故向量组$(II)$也线性相关。

其逆否命题即：若$(II)$线性无关，则$(I)$线性无关，因此B正确。反过来一般不成立，因为左乘$A$可能把非零向量压到零空间中。

2. 设$A=\left[\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& a\\ 1& 1& a\end{array}\right]$可经初等列变换化成$B=\left[\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right]$，则$a$的取值范围为( ).
   A. $\{a|a\in R,a\ne -2\}$ B. $\{a|a\in R,a\ne -2,a\ne -1\}$ C. $\{a|a\in R,a\ne 1,a\ne -1\}$ D. $\{a|a\in R,a\ne -1\}$

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答案：B

解析：初等列变换等价于右乘可逆矩阵，因此$A$与$B$必须具有相同的列空间；若二者都可逆，则列空间都为$R^3$，必能通过初等列变换互化。

计算 $|A|=(a-1{)}^2(a+1),|B|=(a-1{)}^2(a+2)$。

当$a\ne 1,-1,-2$时，二者都可逆，可以互化。

当$a=1$时，$A=B$，当然也可以互化。

当$a=-1$时，$A$奇异而$B$可逆；当$a=-2$时，$A$可逆而$B$奇异，均不可能通过可逆列变换互化。

故取值范围为 $a\ne -1,-2$，选B。

3. 设3维向量组${\alpha }_1=[1,1,0{]}^T$，${\alpha }_2=[5,3,2{]}^T$，${\alpha }_3=[1,3,-1{]}^T$，${\alpha }_4=[-2,2,-3{]}^T$，且$A$是3阶矩阵，满足$A{\alpha }_1={\alpha }_2$，$A{\alpha }_2={\alpha }_3$，$A{\alpha }_3={\alpha }_4$，则$A{\alpha }_4=$

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答案：$\left[\begin{array}{c}7\\ 5\\ 2\end{array}\right]$

解析：先把${\alpha }_4$用${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$表示。解得 ${\alpha }_4=2{\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3$。

利用矩阵乘法的线性性， $A{\alpha }_4=2A{\alpha }_1-A{\alpha }_2+A{\alpha }_3=2{\alpha }_2-{\alpha }_3+{\alpha }_4$。

代入向量得 $A{\alpha }_4=2\left[\begin{array}{c}5\\ 3\\ 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 5\\ 2\end{array}\right]$。

4. 已知$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\\ 1& 1\end{array}\right]A$，则$A=$( )
   A. $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$ B. $\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$ C. $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ D. $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

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答案：A

解析：设 $A=\left[\begin{array}{c}{r}_1\\ r_2\end{array}\right]$， 其中$r_1,r_2$为两个$1\times 3$行向量。由矩阵乘法，右侧三行分别为 $r_1+r_2,r_1+2r_2,r_1+r_2$。

与左侧对应行比较： $r_1+r_2=(1,1,1)$， $r_1+2r_2=(1,2,1)$。 相减得$r_2=(0,1,0)$，进而$r_1=(1,0,1)$。

故 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$，选A。

5. 设${\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$，${\alpha }_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$，${\alpha }_3=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right]$；${\beta }_1=\left[\begin{array}{c}a\\ -1\\ 1\end{array}\right]$，${\beta }_2=\left[\begin{array}{c}4\\ 0\\ b\end{array}\right]$，${\beta }_3=\left[\begin{array}{c}0\\ c\\ 1\end{array}\right]$，问$a,b,c$为何值时，向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$与${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$等价，且当向量组等价时，求${\beta }_1$由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$的线性表示式及${\alpha }_1$由${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$的线性表示式.

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答案：$a=1,b=2,c=-2$；此时${\beta }_1={\alpha }_1$，${\alpha }_1={\beta }_1$。

解析：注意 ${\alpha }_3={\alpha }_1+{\alpha }_2$， 故$\alpha$向量组的秩为2，其张成空间由${\alpha }_1,{\alpha }_2$确定。

求该平面的法向量。由 ${\alpha }_1\times {\alpha }_2=(-1,1,2{)}^T$， 可知其张成平面的方程为 $-x+y+2z=0$。

若两向量组等价，则每个${\beta }_i$必须在此平面内，于是 $-a-1+2=0\Rightarrow a=1$， $-4+2b=0\Rightarrow b=2$， $c+2=0\Rightarrow c=-2$。

此时 ${\beta }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right]={\alpha }_1$， 且${\beta }_1,{\beta }_2$线性无关，所以$\beta$向量组的秩也是2，二者确实等价。

因此 ${\beta }_1=1\cdot {\alpha }_1+0\cdot {\alpha }_2+0\cdot {\alpha }_3$， 并且 ${\alpha }_1=1\cdot {\beta }_1+0\cdot {\beta }_2+0\cdot {\beta }_3$。

6. 设${\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$，${\alpha }_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]$，${\alpha }_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ a\end{array}\right]$，${\beta }_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right]$，${\beta }_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ b\end{array}\right]$，$A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$，$B=[{\beta }_1,{\beta }_2]$.
   (1)$a,b$为何值时，${\beta }_1,{\beta }_2$能同时由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示？若能表示，写出其表示式；
   (2)$a,b$为何值时，矩阵方程$AX=B$有解？若有解，求出其全部解.

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答案： (1) 当$a\ne 3$时，$b$任意；或当$a=3$时，必须$b=1$。
当$a\ne 3$时， ${\beta }_1=-3{\alpha }_1+2{\alpha }_2$， ${\beta }_2=\frac{a+b-4}{a-3}{\alpha }_1+\frac{2(1-b)}{a-3}{\alpha }_2+\frac{b-1}{a-3}{\alpha }_3$。
当$a=3,b=1$时， ${\beta }_1=-3{\alpha }_1+2{\alpha }_2$， 而${\beta }_2$有无穷多种表示，例如${\beta }_2={\alpha }_1$。
(2) 有解条件与(1)相同。若$a\ne 3$，解唯一；若$a=3,b=1$，有无穷多解，见解析。

解析：先计算 $|A|=a-3$。

当$a\ne 3$时，$A$可逆，因此任意${\beta }_1,{\beta }_2$都可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$唯一线性表示。直接解$AX=B$得到 $X=A^{-1}B=\left[\begin{array}{cc}-3& \frac{a+b-4}{a-3}\\ 2& \frac{2(1-b)}{a-3}\\ 0& \frac{b-1}{a-3}\end{array}\right]$。

这同时给出 ${\beta }_1=-3{\alpha }_1+2{\alpha }_2$， 以及题中${\beta }_2$的表示式。

当$a=3$时， $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right]$， 其秩为2。${\beta }_1$仍满足 ${\beta }_1=-3{\alpha }_1+2{\alpha }_2$。

对${\beta }_2$，设 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3={\beta }_2$， 则方程组为 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=1,\\ x_2+2x_3=0,\\ x_1+2x_2+3x_3=b.\end{array}$ 由前两式代入第三式得到$b=1$。因此$a=3$时恰在$b=1$时可表示。

此时$A$的齐次方程基础解系可取 $\eta =\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right]$。 取矩阵方程的一个特解 $X_0=\left[\begin{array}{cc}-3& 1\\ 2& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$， 则全部解为 $X=X_0+\eta \left[\begin{array}{cc}s& t\end{array}\right]$，即 $X=\left[\begin{array}{cc}-3+s& 1+t\\ 2-2s& -2t\\ s& t\end{array}\right],s,t\in R$。

7. 设3维列向量${\alpha }_1,{\alpha }_2$线性无关，${\beta }_1,{\beta }_2$线性无关.
   (1) 证明：存在3维非零列向量$\xi$，$\xi$既可由${\alpha }_1,{\alpha }_2$线性表示，也可由${\beta }_1,{\beta }_2$线性表示；
   (2)若${\alpha }_1=[1,-2,3{]}^T$，${\alpha }_2=[2,1,1{]}^T$，${\beta }_1=[-2,1,4{]}^T$，${\beta }_2=[-5,-3,5{]}^T$，求既可由${\alpha }_1,{\alpha }_2$线性表示，也可由${\beta }_1,{\beta }_2$线性表示的所有非零列向量$\xi$.

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答案： (1) 必存在。
(2) $\xi =t\left[\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 1\end{array}\right],t\ne 0$。

解析：(1) 令 $V_1=\mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\},V_2=\mathrm{span}\{{\beta }_1,{\beta }_2\}$。 由于两组分别线性无关， $\dim V_1=\dim V_2=2$。 又$V_1,V_2\subset R^3$，由维数公式 $\dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim (V_1\cap V_2)$， 且$\dim (V_1+V_2)\le 3$，故 $\dim (V_1\cap V_2)\ge 2+2-3=1$。 所以交空间中必有非零向量$\xi$，它同时可由两组向量线性表示。

(2) 设 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2=y_1{\beta }_1+y_2{\beta }_2$。 移项后解齐次方程 $[{\alpha }_1,{\alpha }_2,-{\beta }_1,-{\beta }_2]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ y_1\\ y_2\end{array}\right]=0$， 可得 $(x_1,x_2,y_1,y_2)=t(1,-2,-1,1)$。

于是 $\xi =t({\alpha }_1-2{\alpha }_2)=t\left[\begin{array}{c}-3\\ -4\\ 1\end{array}\right]$。 当$t\ne 0$时即为全部非零公共向量。

8. 设向量空间$V$满足$x_1+x_2+x_3=0$，$-\infty <x_i<+\infty ,i=1,2,3$，则$V$的一个基为( ).
   A. $\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$
   B. $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\end{array}\right]$
   C. $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$
   D. $\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

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答案：D

解析：由约束 $x_1+x_2+x_3=0$， 可令$x_2=s,x_3=t$，则$x_1=-s-t$，所以 $\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=s\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$。

两个生成向量线性无关，因此$\dim V=2$，且D中的两个向量恰构成一组基。选D。

9. 向量空间$V=\{(x,y,z)|(x,y,z)\in R^3,x-2z=0\}$的一个基为

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答案：$\left\{\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

解析：由$x-2z=0$得$x=2z$。令$y=s,z=t$，则 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2t\\ s\\ t\end{array}\right]=s\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right]$。

两个向量线性无关，因此可作为$V$的一组基。

10. 设${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$是3维向量空间$R^3$的一个基，则基${\beta }_1,2{\beta }_2,3{\beta }_3$到基${\beta }_1-{\beta }_2,{\beta }_2+{\beta }_3,{\beta }_3-{\beta }_1$的过渡矩阵为( ).
    A. $\left[\begin{array}{ccc}0& -2& 1\\ 3& 0& -6\\ -8& 4& 0\end{array}\right]$
    B. $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right]$
    C. $\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{3}& \frac{1}{4}\\ 0& \frac{1}{2}& -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}& 0& \frac{1}{4}\end{array}\right]$
    D. $\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{4}& -\frac{1}{3}& \frac{1}{4}\end{array}\right]$

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答案：B

解析：记旧基 $e_1={\beta }_1,e_2=2{\beta }_2,e_3=3{\beta }_3$， 新基 $f_1={\beta }_1-{\beta }_2,f_2={\beta }_2+{\beta }_3,f_3={\beta }_3-{\beta }_1$。

分别用旧基表示： $f_1=e_1-\frac{1}{2}{e}_2$， $f_2=\frac{1}{2}{e}_2+\frac{1}{3}{e}_3$， $f_3=-e_1+\frac{1}{3}{e}_3$。

按列排成过渡矩阵，得 $P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right]$，选B。

11. 由向量${\alpha }_1=[1,0,1{]}^T$，${\alpha }_2=[1,2,3{]}^T$，${\alpha }_3=[2,2,4{]}^T$生成的向量空间$V=span\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\}=\{k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3|k_1,k_2,k_3\in R\}$，则$V$的一个规范正交基为

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答案：$\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right]\right\}$

解析：先注意 ${\alpha }_3={\alpha }_1+{\alpha }_2$， 所以 $V=\mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}$。

对${\alpha }_1,{\alpha }_2$作Gram-Schmidt正交化。取 $u_1={\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$， 则 $\Vert u_1\Vert =\sqrt{2}$。

再取 $u_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,u_1)}{(u_1,u_1)}{u}_1$。 由于 $({\alpha }_2,u_1)=4,(u_1,u_1)=2$， 故 $u_2={\alpha }_2-2u_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right]$， 且$\Vert u_2\Vert =\sqrt{6}$。

归一化即得一组规范正交基 $\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right]\right\}$。