第1章 行列式

基础部分

1. 设$a,b,c$是方程$x^3-2x+4=0$的三个不同的根，则行列式$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& c& a\\ c& a& b\end{array}\right|$的值等于( ).
   A. 1 B. 0 C. -1 D. -2

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答案：B

解析：由韦达定理， $a+b+c=0$。

又 $\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& c& a\\ c& a& b\end{array}\right|=-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$。

因此该行列式等于$0$，故选B。

2. 行列式$\left|\begin{array}{cccc}x& 1& 0& 1\\ 0& 1& x& 1\\ 1& x& 1& 0\\ 1& 0& 1& x\end{array}\right|$展开式中的常数项为( ).
   A. 4 B. 2 C. 1 D. 0

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答案：D

解析：行列式关于$x$的展开式中的常数项，就是令$x=0$后所得行列式的值： $\left|\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right|=0$， 因为第1、2行相同（同时第3、4行也相同）。

故常数项为$0$，选D。

3. $D=\left|\begin{array}{cccc}5x& 1& 2& 3\\ x& x& 1& 2\\ 1& 2& x& 3\\ x& 1& 2& 2x\end{array}\right|$，则$D$的展开式中$x^3$的系数与$x^4$的系数分别为( ).
   A. -5,10 B. -5,-10 C. 5,-10 D. 5,10

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答案：A

解析：直接按行列式性质展开并整理得 $D=10x^4-5x^3-45x^2+46x-3$。

因此$x^3$的系数为$-5$，$x^4$的系数为$10$，故选A。

4. 不恒为零的函数$f(x)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1+x& b_1+x& c_1+x\\ a_2+x& b_2+x& c_2+x\\ a_3+x& b_3+x& c_3+x\end{array}\right|$( ).
   A. 没有零点 B. 至多有1个零点 C. 恰有2个零点 D. 恰有3个零点

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答案：B

解析：作列变换$C_2-C_1$、$C_3-C_1$，得 $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1+x& b_1-a_1& c_1-a_1\\ a_2+x& b_2-a_2& c_2-a_2\\ a_3+x& b_3-a_3& c_3-a_3\end{array}\right|$。

此时仅第1列含$x$，且各元素关于$x$均为一次式，因此$f(x)$至多是一次多项式。题设又说明$f(x)$不恒为零，所以$f(x)$至多有1个零点，故选B。

5. $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}3x+1& x+11& x-2\\ x+1& x+4& -1\\ x& 7& x-1\end{array}\right|$，则曲线$f(x)$的拐点为( ).
   A. $(1,7)$ B. $(-1,-1)$ C. $(0,0)$ D. $(-2,-2)$

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答案：B

解析：计算行列式得 $f(x)=x^3+3x^2+3x$。

于是 $f^{\prime \prime }(x)=6x+6=6(x+1)$。

在$x=-1$两侧，$f^{\prime \prime }(x)$变号，因此$x=-1$为拐点横坐标。又 $f(-1)=-1$， 故拐点为$(-1,-1)$，选B。

6. $17$阶行列式$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}2& 1& 0& \cdots & 0\\ 1& 2& 1& \cdots & 0\\ 0& 1& 2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 2\end{array}\right|$( ).
   A. $D_1,D_2,\cdots ,D_n$为等比数列 B. $D_1,D_2,\cdots ,D_n$为等差数列 C. $D_n$为范德蒙德行列式 D. $D_n=n$

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答案：B

解析：按第一行展开可得递推关系 $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}$。

初值为 $D_1=2,D_2=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=3$。

于是 $D_n-D_{n-1}=D_{n-1}-D_{n-2}$， 说明$D_1,D_2,\dots$为等差数列，公差为$1$，从而 $D_n=n+1$。

故选B。

7. $\left|\begin{array}{ccc}-a& -5& b\\ 2& 0& -a\\ b& b& -2\end{array}\right|=$

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答案：$-a^{2}b+5ab+2b^2-20$

解析：按第一行展开： $\begin{array}{rl}D& =(-a)\left|\begin{array}{cc}0& -a\\ b& -2\end{array}\right|-(-5)\left|\begin{array}{cc}2& -a\\ b& -2\end{array}\right|+b\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ b& b\end{array}\right|\\ & =-a(ab)+5(-4+ab)+2b^2\\ & =-a^{2}b+5ab+2b^2-20.\end{array}$

8. $\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 0& -1\\ -1& 2& -5& 3\\ 3& 0& a& b\\ 1& -3& 5& 0\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 0& -1\\ -1& 2& -5& 3\\ 3& 0& a& b\\ 1& -1& 1& 0\end{array}\right|=$

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答案：$10(a-3)$

解析：两个行列式仅第4行不同，利用行列式对一行的线性性，原式等于 $\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 0& -1\\ -1& 2& -5& 3\\ 3& 0& a& b\\ 0& -2& 4& 0\end{array}\right|$。

按第4行展开，或继续作初等变换化简，可得 $D=10a-30=10(a-3)$。

9. 设行列式$\left|\begin{array}{ccc}2& a& -a\\ -a& 2& b\\ b& 0& -2\end{array}\right|=5$，$A,B$均为4阶矩阵，$r(A{A}^T)=3$，且$|AB|=\left|\begin{array}{cccc}2& a& 0& -a\\ -a& 2& -5& b\\ b& 0& b& -2\\ 0& -2& 4& 0\end{array}\right|=4$，则$a=$

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答案：题面条件矛盾，按现有题面无解。

解析：由于 $r(A{A}^T)=r(A)=3<4$， 所以$A$不可逆，必有 $|A|=0$。

于是对任意4阶矩阵$B$， $|AB|=|A||B|=0$。

但题面又给出$|AB|=4$，两者矛盾。因此按当前源文件中的题面条件，不存在满足条件的$A,B$，也就无法由该题面确定$a$。此题原文应存在录入错误，故不对缺失条件作无依据补写。

10. 设$x\ne 0$，则$D_4=\left|\begin{array}{cccc}x& x& 0& 0\\ 1& 1+2x& 2x& 0\\ 0& 2& 2+3x& 3x\\ 0& 0& 3& 3+4x\end{array}\right|=$

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答案：$24x^4$

解析：依次作行变换 $R_2\leftarrow R_2-\frac{1}{x}{R}_1$， 可将第一列消元；再按三对角结构继续消元，或直接逐级展开，可得 $D_4=24x^4$。

也可由直接展开验证：最高次项只能由主对角线上的$x,2x,3x,4x$相乘得到，即$24x^4$，而其余低次项在展开中恰好相消。

11. 设$A$是3阶矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$是3维线性无关列向量，且满足$A{\alpha }_1={\alpha }_1+2{\alpha }_2+{\alpha }_3$，$A{\alpha }_2=2{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$，$A{\alpha }_3={\alpha }_1+{\alpha }_2+2{\alpha }_3$，则$|A|=$

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答案：$-4$

解析：令 $P=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$。

由于${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关，所以$P$可逆。由题设有 $AP=P\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]$。

因此 $P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]$， 从而 $|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|=-4$。

强化部分

1. 计算$n$阶行列式：$D_n=\left|\begin{array}{cccc}{a}_1+x_1& a_2& \cdots & a_n\\ a_1& a_2+x_2& \cdots & a_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_1& a_2& \cdots & a_n+x_n\end{array}\right|$，其中$x_i\ne 0,i=1,2,\cdots ,n$.

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答案：$D_n=x_1{x}_2\cdots x_n\left(1+\sum _{i=1}^n\frac{a_i}{x_i}\right)$

解析：记 $X=\mathrm{diag}(x_1,x_2,\dots ,x_n)$， $e=(1,1,\dots ,1{)}^T$， $a=(a_1,a_2,\dots ,a_n{)}^T$。

原矩阵可写为 $X+e{a}^T$。

因为$x_i\ne 0$，故$X$可逆。利用秩一修正的行列式公式 $|X+u{v}^T|=|X|\left(1+v^T{X}^{-1}u\right)$， 得 $\begin{array}{rl}{D}_n& =|X|\left(1+a^T{X}^{-1}e\right)\\ & =x_1{x}_2\cdots x_n\left(1+\frac{a_1}{x_1}+\frac{a_2}{x_2}+\cdots +\frac{a_n}{x_n}\right).\end{array}$

2. $D_n=\left|\begin{array}{cccccc}b& -1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& b& -1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & b& -1\\ a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \cdots & a_2& b+a_1\end{array}\right|=$

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答案：$b^n+a_1{b}^{n-1}+a_2{b}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}b+a_n$

解析：沿第一列展开，或依次利用前$n-1$行的上双对角结构消元，可得到递推关系。直接观察最后一行与上方$b,-1$链式结构，每向左取一个$a_k$，其余位置唯一确定，且符号均化为正号，因此 $D_n=b^n+a_1{b}^{n-1}+a_2{b}^{n-2}+\cdots +a_{n-1}b+a_n$。

例如$n=3$时 $\left|\begin{array}{ccc}b& -1& 0\\ 0& b& -1\\ a_3& a_2& b+a_1\end{array}\right|=b^3+a_1{b}^2+a_{2}b+a_3$，与一般公式一致。

3. 已知3阶矩阵$A,B$相似，${\lambda }_1=1$，${\lambda }_2=2$为$A$的两个特征值，行列式$|B|=2$，则行列式$\left|\begin{array}{cc}(A+E{)}^{-1}& O\\ O& (2B{)}^{\ast }\end{array}\right|=$

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答案：$\frac{64}{3}$

解析：$A,B$相似，所以 $|A|=|B|=2$。

设$A$的第三个特征值为${\lambda }_3$，则 $1\cdot 2\cdot {\lambda }_3=|A|=2$， 故${\lambda }_3=1$。

因此$A+E$的特征值为$2,3,2$，于是 $|A+E|=12$， 所以 $|(A+E{)}^{-1}|=\frac{1}{12}$。

对3阶矩阵$2B$，有 $|2B|=2^3|B|=16$。

又3阶矩阵$C$满足$|C^{\ast }|=|C{|}^2$，故 $|(2B{)}^{\ast }|=16^2=256$。

分块对角矩阵的行列式等于各对角块行列式之积，所以 $\left|\begin{array}{cc}(A+E{)}^{-1}& O\\ O& (2B{)}^{\ast }\end{array}\right|=\frac{1}{12}\cdot 256=\frac{64}{3}$。

4. 设$A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$为线性无关的3维列向量，$P$为3阶矩阵，且$PA=[-{\alpha }_1,-2{\alpha }_2,-3{\alpha }_3]$，则$|P-E|=$( )
   A. 6 B. -6 C. 24 D. -24

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答案：D

解析：因为$A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]$可逆，且 $PA=A\mathrm{diag}(-1,-2,-3)$， 所以 $P=A\mathrm{diag}(-1,-2,-3)A^{-1}$。

故$P$与$\mathrm{diag}(-1,-2,-3)$相似，$P$的特征值为$-1,-2,-3$。

于是$P-E$的特征值为$-2,-3,-4$，从而 $|P-E|=(-2)(-3)(-4)=-24$，故选D。

5. 设$A$是$n$阶实对称矩阵，$r(A)=r$，且满足$A^2=A$，$f(x)=x^2-2x-3$，则$|f(A)-6E|=$

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答案：$(-10{)}^r(-9{)}^{n-r}=(-1{)}^{n}10^r{9}^{n-r}$

解析：由$A^2=A$，有 $f(A)-6E=A^2-2A-3E-6E=-A-9E$。

又$A$为实对称矩阵，可以正交对角化。由$A^2=A$知其特征值只能满足 ${\lambda }^2=\lambda$， 即$\lambda =0$或$1$。

由于$r(A)=r$，特征值$1$恰有$r$个，特征值$0$有$n-r$个。因此$-A-9E$的特征值分别为$-10$（$r$个）和$-9$（$n-r$个）。

故 $|f(A)-6E|=(-10{)}^r(-9{)}^{n-r}$。

6. 设$A$为3阶矩阵，若$|E-A|=|E+A|=|2E-A|=0$，则$|3E-A|=$( )
   A. -2 B. -8 C. 8 D. 11

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答案：C

解析：由 $|E-A|=0$，知$1$是$A$的特征值； 由 $|E+A|=0$，知$-1$是$A$的特征值； 由 $|2E-A|=0$，知$2$是$A$的特征值。

$A$为3阶矩阵，且这三个特征值互不相同，所以其全部特征值就是$1,-1,2$。

因此 $|3E-A|=(3-1)(3+1)(3-2)=2\cdot 4\cdot 1=8$，故选C。

7. 设$A$为3阶矩阵，${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$是$A$的3个不同的特征值，其对应的特征向量为${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$，$\alpha ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3$，$P=[\alpha ,A\alpha ,A^2\alpha ]$.

(1)证明$P$可逆；(2)若$(A^3-A)\alpha =0$，求$|A-3E|$

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答案：(1) $P$可逆；(2) $|A-3E|=-24$。

解析：

(1) 因为${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$互不相同，所以对应的特征向量${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$线性无关。

由 $A{\xi }_i={\lambda }_i{\xi }_i$，有 $\alpha ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3$， $A\alpha ={\lambda }_1{\xi }_1+{\lambda }_2{\xi }_2+{\lambda }_3{\xi }_3$， $A^2\alpha ={\lambda }_1^2{\xi }_1+{\lambda }_2^2{\xi }_2+{\lambda }_3^2{\xi }_3$。

因此 $P=[{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3]\left[\begin{array}{ccc}1& {\lambda }_1& {\lambda }_1^2\\ 1& {\lambda }_2& {\lambda }_2^2\\ 1& {\lambda }_3& {\lambda }_3^2\end{array}\right]$。

右侧第二个矩阵为范德蒙德矩阵，其行列式为 $({\lambda }_2-{\lambda }_1)({\lambda }_3-{\lambda }_1)({\lambda }_3-{\lambda }_2)\ne 0$。

又$[{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3]$可逆，所以$P$可逆。

(2) 由 $(A^3-A)\alpha =0$，得 $({\lambda }_1^3-{\lambda }_1){\xi }_1+({\lambda }_2^3-{\lambda }_2){\xi }_2+({\lambda }_3^3-{\lambda }_3){\xi }_3=0$。

由于${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$线性无关，故 ${\lambda }_i^3-{\lambda }_i=0(i=1,2,3)$。

即 ${\lambda }_i({\lambda }_i-1)({\lambda }_i+1)=0$。

三个特征值又互不相同，所以它们恰为$-1,0,1$。因此 $|A-3E|=(-1-3)(0-3)(1-3)=(-4)(-3)(-2)=-24$。