第1章 随机事件与概率

基础部分

1. 对于任意事件$A,B,C$，若$\overline{A+B}\supset C$，则( ) A. $\overline{A+B}\supset \overline{C}$ B. $\overline{AB}\supset \overline{C}$ C. $A+B\subset \overline{C}$ D. $AB\subset C$

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答案：C

解析：由$\overline{A+B}\supset C$，即$C\subset \overline{A+B}$。两边取对立事件后包含关系反向，得 $A+B\subset \overline{C}$。 因此选C。

2. 甲、乙两个篮球队进行比赛，假设有三种可能的结局：甲胜，乙胜与平局。考虑事件$A=\{$甲胜而乙负$\}$，则$\bar{A}=$( ) A. $B_1=\{$甲负而乙胜$\}$ B. $B_2=\{$平局$\}$ C. $B_3=\{$甲胜或平局$\}$ D. $B_4=\{$乙胜或平局$\}$

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答案：D

解析：比赛只有“甲胜、乙胜、平局”三种互斥结果。事件$A$就是“甲胜”，故其对立事件为“甲不胜”，即“乙胜或平局”。因此选D。

3. 对于任意事件$A$，“$P(A)=P(\bar{A})$”是“$P(A)=\frac{1}{4}+[P(A){]}^2$”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件

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答案：C

解析：令$p=P(A)$。由$P(A)=P(\bar{A})$得 $p=1-p$，从而$p=\frac{1}{2}$。 另一方面， $p=\frac{1}{4}+p^2⟺p^2-p+\frac{1}{4}=0⟺{\left(p-\frac{1}{2}\right)}^2=0$， 也得到$p=\frac{1}{2}$。两条件等价，故为充分必要条件。

4. 一平面质点从原点出发，每次走一个单位，只有向上、向右两种走法，且向上走的概率为$p(0<p<1)$，现质点走到了点$(3,2)$，则这5步按照：右，上，右，上，右的方式走的概率为( ) A. $\frac{3}{20}$ B. $\frac{1}{13}$ C. $\frac{1}{20}$ D. $\frac{1}{10}$

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答案：D

解析：到达$(3,2)$意味着5步中恰有3步向右、2步向上。任一满足该条件的具体路径概率均为 $(1-p{)}^3{p}^2$，因此在“已经到达$(3,2)$”这一条件下，所有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$条路径等可能。 故指定路径的条件概率为 $\frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}=\frac{1}{10}$。

5. 设$A,B$为随机事件，$0<P(A)<1$，$0<P(B)<1$，且$P(A-B)=0$，则( ) A. $\overline{A}\supset \overline{B}$ B. $P(\overline{A})<P(\overline{B})$ C. $P(\overline{B}|\overline{A})=0$ D. $P(\overline{A}|\overline{B})=1$

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答案：D

解析：$P(A-B)=P(A\bar{B})=0$，说明除去零概率情形外，事件$A$发生时$B$也发生，即$\bar{B}\subset \bar{A}$几乎处处成立。因此 $P(\bar{A}\mid \bar{B})=\frac{P(\bar{A}\bar{B})}{P(\bar{B})}=\frac{P(\bar{B})}{P(\bar{B})}=1$。 故选D。

6. 已知$0<P(A)<1$且$P(B+C|A)=P(B|A)+P(C|A)$，则以下结论： (1)$P(B+C)=P(B)+P(C)$； (2)$P(B+C)=P(B|A)+P(C|A)$； (3)$P(B+C|\overline{A})=P(B|\overline{A})+P(C|\overline{A})$； (4)$P(BA+CA)=P(BA)+P(CA)$ 正确结论的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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答案：A

解析：由条件概率加法公式， $P(B+C\mid A)=P(B\mid A)+P(C\mid A)-P(BC\mid A)$。 题设等式成立，所以$P(BC\mid A)=0$，即$P(ABC)=0$。 因此 $P(BA+CA)=P(BA)+P(CA)-P(ABC)=P(BA)+P(CA)$，故(4)正确。 但题设不能推出$B,C$在整个样本空间中互不相容，也不能推出它们在$\bar{A}$条件下互不相容，所以(1)、(2)、(3)均不一定成立。正确结论只有1个。

7. 设事件$A,B$满足$P(A|B)=P(B|A)=\frac{1}{3}$，$P(A-B)=\frac{1}{6}$，则$P(\overline{AB})=$_____。

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答案：$\frac{11}{12}$

解析：由 $P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{1}{3}$， $P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1}{3}$， 可得$P(A)=P(B)$，且$P(AB)=\frac{1}{3}P(A)$。 又 $P(A-B)=P(A)-P(AB)=\frac{2}{3}P(A)=\frac{1}{6}$， 所以$P(A)=\frac{1}{4}$，从而$P(AB)=\frac{1}{12}$。 因此 $P(\overline{AB})=1-P(AB)=\frac{11}{12}$。

8. 已知$A$发生且$B$不发生的概率为$\frac{1}{2}$，在$A$发生或$B$不发生的条件下$B$发生的概率为$\frac{1}{4}$，若$A$发生的概率为$\frac{7}{10}$，则$B$发生的概率为_____。

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答案：$\frac{2}{5}$

解析：已知 $P(A\bar{B})=\frac{1}{2}$，$P(A)=\frac{7}{10}$， 故 $P(AB)=P(A)-P(A\bar{B})=\frac{7}{10}-\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$。 又 $P(B\mid A\cup \bar{B})=\frac{1}{4}$。 由于$B\cap (A\cup \bar{B})=AB$，所以 $\frac{P(AB)}{P(A\cup \bar{B})}=\frac{1}{4}$， 从而$P(A\cup \bar{B})=\frac{4}{5}$。 另一方面， $P(A\cup \bar{B})=P(A)+P(\bar{B})-P(A\bar{B})=\frac{7}{10}+[1-P(B)]-\frac{1}{2}=\frac{6}{5}-P(B)$。 因此 $\frac{6}{5}-P(B)=\frac{4}{5}$，解得$P(B)=\frac{2}{5}$。

9. 对任意事件$A,B$，下列结论正确的是( ) A. $P(A)P(B)\ge P(A\cup B)P(AB)$ B. $P(A)+P(B)\le 2P(AB)$ C. $P(A)+P(AB)\ge P(A\cup B)$ D. $P(A)+P(B)\le P(A\cup B)P(AB)$

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答案：A

解析：记 $x=P(A\bar{B}),y=P(\bar{A}B),z=P(AB)$， 则 $P(A)=x+z,P(B)=y+z,P(A\cup B)=x+y+z$。 于是 $P(A)P(B)-P(A\cup B)P(AB)=(x+z)(y+z)-(x+y+z)z=xy\ge 0$。 故A恒成立，其余选项均不能对任意事件恒成立。

10. 从数1,2,3,4中有放回地取两次，每次取一个数，得到的两个数为$X_1,X_2$，记$X=\min \{X_1,X_2\}$，则$P\{X=2\}=$_____。

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答案：$\frac{5}{16}$

解析：$X=2$等价于“两次取数都不小于2，但并非两次都不小于3”。因此 $P\{X=2\}=P\{X_1\ge 2,X_2\ge 2\}-P\{X_1\ge 3,X_2\ge 3\}$。 由于两次有放回抽取相互独立， $P\{X=2\}={\left(\frac{3}{4}\right)}^2-{\left(\frac{2}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}-\frac{4}{16}=\frac{5}{16}$。

11. 设$P[A|(A\cup BC)]=\frac{1}{2}$，$P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$，其中$A,B$互不相容，$B,C$相互独立，则$P(A)=$( ) A. $\frac{1}{4}$ B. $\frac{3}{4}$ C. $\frac{1}{2}$ D. 1

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答案：A

解析：由$B,C$相互独立， $P(BC)=P(B)P(C)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。 又因$A,B$互不相容，而$BC\subset B$，故$A$与$BC$也互不相容。因此 $P(A\cup BC)=P(A)+P(BC)=P(A)+\frac{1}{4}$。 题设给出 $\frac{P(A)}{P(A)+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$， 解得$P(A)=\frac{1}{4}$。

12. 设$A,B,C$是3个随机事件，其中$A$与$B$相互独立，$A$与$C$互不相容，$P(A)=\frac{1}{2}$，$P(B)=\frac{1}{3}$，$P(C)=\frac{1}{4}$，$P(B|C)=\frac{1}{8}$，则$P(C|A\cup B)=$_____。

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答案：$\frac{3}{64}$

解析：由$A,B$相互独立， $P(AB)=P(A)P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$， 故 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$。 又因$A,C$互不相容，$AC=\varnothing$；同时 $P(BC)=P(B\mid C)P(C)=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{32}$。 因此 $P[C\cap (A\cup B)]=P(AC\cup BC)=P(BC)=\frac{1}{32}$， 从而 $P(C\mid A\cup B)=\frac{\frac{1}{32}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{64}$。

13. 设事件$A$和$B$互不相容，$\bar{A}$和$\bar{B}$也互不相容，则$A$和$B$为_____。

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答案：互为对立事件

解析：$A,B$互不相容说明$AB=\varnothing$；而$\bar{A},\bar{B}$互不相容说明 $\bar{A}\bar{B}=\varnothing$。 由德摩根律，$\bar{A}\bar{B}=\overline{A\cup B}$，故$A\cup B=\Omega$。 于是$A,B$既互不相容又并为全集，所以$B=\bar{A}$，即二者互为对立事件。

14. 设$A$和$B$是概率不等于0和1的任意两个事件，且满足$P(B|A)+P(\bar{B}|\bar{A})=1$，则事件$A$和$B$一定_____。

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答案：相互独立

解析：由 $P(B\mid A)+P(\bar{B}\mid \bar{A})=1$， 得到 $P(B\mid A)=1-P(\bar{B}\mid \bar{A})=P(B\mid \bar{A})$。 再由全概率公式， $P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid \bar{A})P(\bar{A})$。 由于两个条件概率相等，故 $P(B)=P(B\mid A)[P(A)+P(\bar{A})]=P(B\mid A)$。 因此$P(B\mid A)=P(B)$，而$0<P(A)<1$，所以$A$与$B$相互独立。

强化部分

1. 设口袋中有10个球，其中6个红球，4个白球，每次不放回地从中任取一个，取两次，若取出的两个球中有1个是白球，则两个都是白球的概率为( ) A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{1}{5}$ C. $\frac{1}{4}$ D. $\frac{1}{6}$

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答案：B

解析：这里“有1个是白球”按“至少有1个白球”理解。设事件$A=$“至少取到1个白球”，$B=$“两个都是白球”。则$B\subset A$， $P(B\mid A)=\frac{P(B)}{P(A)}$。 用组合数计算： $P(B)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)}=\frac{6}{45}$， $P(A)=1-\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)}=1-\frac{15}{45}=\frac{30}{45}$。 所以 $P(B\mid A)=\frac{6/45}{30/45}=\frac{1}{5}$。

2. 设$A,B$为随机事件，且$0<P(B)<1$，下列命题中为假命题的是( ) A. 若$P(A|B)>P(A)$，则$P(\bar{A}|\bar{B})>P(\bar{A})$ B. 若$P(A|B)=P(A)$，则$P(A|\bar{B})=P(A)$ C. 若$P(A|B)>P(A|\bar{B})$，则$P(A|B)>P(A)$ D. 若$P(A|A\cup B)>P(B|A\cup B)$，则$P(A)>P(B)$

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答案：原题有误，按现有题干与选项，A、B、C、D均为真命题。

解析：逐项判断。

A项：由全概率公式， $P(A)=P(A\mid B)P(B)+P(A\mid \bar{B})P(\bar{B})$。 若$P(A\mid B)>P(A)$，则必有$P(A\mid \bar{B})<P(A)$，于是 $P(\bar{A}\mid \bar{B})=1-P(A\mid \bar{B})>1-P(A)=P(\bar{A})$，A正确。

B项：$P(A\mid B)=P(A)$即$A,B$相互独立，因此$A$与$\bar{B}$也相互独立，故$P(A\mid \bar{B})=P(A)$，B正确。

C项：$P(A)$是$P(A\mid B)$与$P(A\mid \bar{B})$按权重$P(B),P(\bar{B})$的加权平均。若前者大于后者，则 $P(A\mid B)>P(A)>P(A\mid \bar{B})$，C正确。

D项：因为$A\subset A\cup B$、$B\subset A\cup B$， $P(A\mid A\cup B)=\frac{P(A)}{P(A\cup B)},P(B\mid A\cup B)=\frac{P(B)}{P(A\cup B)}$。 两式分母相同，因此前者大于后者当且仅当$P(A)>P(B)$，D正确。

所以原题不存在“假命题”选项，应为题干或某个选项存在漏字、方向符号等排版错误。

3. 设随机事件$A,B$满足$0<P(A)<1$，$0<P(B)<1$，则$P(AB)>P(A)P(B)$的充要条件是( ) A. $P(A\overline{B})>P(A)P(\overline{B})$ B. $P(\overline{AB})>P(\overline{A})P(\overline{B})$ C. $P(B|\overline{A})>P(B|A)$ D. $P(A|\overline{B})>P(A|B)$

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答案：原题B项记号有误；若B项应为$P(\bar{A}\bar{B})>P(\bar{A})P(\bar{B})$，则答案为B。

解析：题设 $P(AB)>P(A)P(B)$ 表示$A,B$正相关。它等价于 $P(B\mid A)>P(B)$，也等价于 $P(B\mid A)>P(B\mid \bar{A})$， 所以C所写方向相反；同理D方向也相反。

另外， $P(A\bar{B})=P(A)-P(AB)<P(A)-P(A)P(B)=P(A)P(\bar{B})$， 故A也应为“$<$”而不是“$>$”。

对于补事件， $P(\bar{A}\bar{B})-P(\bar{A})P(\bar{B})=P(AB)-P(A)P(B)$， 因此二者同号，故正确的充要条件应为 $P(\bar{A}\bar{B})>P(\bar{A})P(\bar{B})$。 原题B项写成了$P(\overline{AB})$（即$AB$的对立事件），这与标准结论不同，属于记号错误。

4. 对于下列命题： ①若事件$A,B$相互独立，且$B,C$相互独立，则$A,C$相互独立； ②若事件$A,B$相互独立，且$C\subset A$，$D\subset B$，则$C,D$相互独立。 说法正确的是( ) A. ①正确，②不正确 B. ②正确，①不正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确

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答案：D

解析：①错误。事件的独立性不具有传递性，即$A$与$B$独立、$B$与$C$独立，不能推出$A$与$C$独立。例如可取$A=C$为一个概率严格介于0和1之间的事件，再取$B$与$A$独立，则$A,B$独立且$B,C$独立，但$A,C$显然不独立。

②也错误。$A,B$独立只保证这两个事件本身满足$P(AB)=P(A)P(B)$，不能推出它们的任意子事件$C\subset A,D\subset B$都独立。只有由两个相互独立的$\sigma$-代数分别生成的事件才可保证这种性质。

因此①②均不正确，选D。

5. 设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有25%不合格，从这两批产品中任取1只，经检验是合格品，放回原处，并从原所在批次中再取1只，则这只产品是不合格品的概率为_____。

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答案：$\frac{3}{28}$

解析：设$A_1=$“来自全部合格的批次”，$A_2=$“来自有25%不合格品的批次”，$B=$“第一次抽到合格品”。两批数量相同，故 $P(A_1)=P(A_2)=\frac{1}{2}$。 又 $P(B\mid A_1)=1,P(B\mid A_2)=\frac{3}{4}$。 由贝叶斯公式，第一次检验合格后，所选批次为$A_2$的后验概率为 $P(A_2\mid B)=\frac{P(A_2)P(B\mid A_2)}{P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}}=\frac{3}{7}$。 第一次抽出的零件已放回，因此若来自$A_2$批次，第二次抽到不合格品的概率仍为$\frac{1}{4}$。 故所求概率为 $\frac{3}{7}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{28}$。

6. 设$X,Y$为随机变量，且$P\{X\ge 0,Y\ge 0\}=\frac{3}{7}$，$P\{X\ge 0\}=P\{Y\ge 0\}=\frac{4}{7}$，求下列事件的概率： (1)$A=\{\max \{X,Y\}\ge 0\}$； (2)$B=\{\max \{X,Y\}\ge 0,\min \{X,Y\}<0\}$。

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答案： (1)$P(A)=\frac{5}{7}$； (2)$P(B)=\frac{2}{7}$。

解析：记 $C=\{X\ge 0\},D=\{Y\ge 0\}$。 已知 $P(C)=P(D)=\frac{4}{7},P(CD)=\frac{3}{7}$。

(1) $\max \{X,Y\}\ge 0$表示至少有一个随机变量不小于0，即$A=C\cup D$。故 $P(A)=P(C)+P(D)-P(CD)=\frac{4}{7}+\frac{4}{7}-\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$。

(2) 事件$B$要求至少一个不小于0，同时至少一个小于0，即$X,Y$一非负一负。它等于事件$C\cup D$去掉“二者都非负”的部分$CD$，因此 $P(B)=P(C\cup D)-P(CD)=\frac{5}{7}-\frac{3}{7}=\frac{2}{7}$。