第5章 大数定律与中心极限定理

基础部分

1. 设总体$X$服从参数为2的指数分布，$X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$为来自总体$X$的简单随机样本，则$Y_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$依概率收敛于_____。
2. 设$X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$是来自总体$X$的简单随机样本，$X$服从$[-\pi,\pi]$上的均匀分布，记$Y_k=\cos(kX_k)$，$k=1,2,\cdots,n,\cdots$，则$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}Y_k^2$依概率收敛于_____。
3. 设随机变量$X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$相互独立且均服从$U[1,4]$，$\Phi(x)$是标准正态分布的分布函数，则$\lim\limits_{n \to \infty}P\{\frac{2\sum_{i=1}^{n}X_i-5n}{\sqrt{n}} \leq x\}=$( ) A. $\Phi(x)$ B. $\Phi(\sqrt{3x})$ C. $\Phi(\frac{x}{\sqrt{3}})$ D. $\Phi(\frac{2x}{\sqrt{3}})$
4. 设生产每件产品的时间服从指数分布，且平均时间为10分钟，生产各件产品的时间相互独立，由中心极限定理，在15小时至20小时之间生产100件产品的概率约为( ) A. $\Phi(2)-\Phi(1)$ B. $2\Phi(1)-\Phi(2)$ C. $\Phi(1)+\Phi(2)-1$ D. $2[\Phi(1)-\Phi(-2)]$
5. 设有5个盒子，100个球，每个球等可能地放入任一盒子中，根据中心极限定理，指定的某一个盒子中不超过22个球的概率近似为( ) A. $1-\Phi(1)$ B. $\Phi(1)$ C. $1-\Phi(0.5)$ D. $\Phi(0.5)$
6. 设随机变量$X_1,X_2,\cdots,X_{2n},\cdots$相互独立，且均服从二项分布$B(1,\frac{1}{2})$，若根据中心极限定理，有$\lim\limits_{n \to \infty}P\{a\sum_{i=1}^{n}(X_{2i}-X_{2i-1}) \leq \sqrt{n}x\}=\Phi(x)$，其中$\Phi(x)$为标准正态分布函数，则$a=$_____。
7. 某保险公司接受了10000辆汽车的保险，每辆汽车每年的保费为1.2万元。若汽车丢失，则车主获得赔偿100万元。设汽车的丢失率为0.006，对于此项业务，利用中心极限定理，则保险公司一年所获利润不少于6000万元的概率为_____。
8. 设$X_1,X_2,\cdots,X_n(n>2)$是来自总体$X \sim N(0,1)$的简单随机样本，由切比雪夫不等式得$P\{0<\sum_{i=1}^{n}X_i^2<2n\}$不小于_____。

强化部分

1. 设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X \sim \begin{pmatrix}0&1&2&3\\\frac{1}{16}&\frac{3}{8}&\frac{1}{16}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$的简单随机样本，若取值为2的样本个数$K$满足$\lim\limits_{n \to \infty}P\{\frac{K-a}{b} \leq x\}=\Phi(x)$，其中$\Phi(x)$为标准正态分布函数，则$a,b$分别是( ) A. $\frac{1}{16},\frac{\sqrt{15}}{16}$ B. $\frac{n}{16},\frac{\sqrt{15n}}{16}$ C. $\frac{1}{16},\frac{\sqrt{15n}}{16}$ D. $\frac{n}{16},\frac{\sqrt{15}}{16}$
2. 设$X \sim N(0,1)$，在$X=x$的条件下，总体$Y \sim N(x,1)$，记$Y_1,Y_2,\cdots,Y_n,\cdots$为取自总体$Y$的简单随机样本，则$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i^2$依概率收敛于_____。
3. 设总体$X$服从参数为1的泊松分布，$X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$为来自总体$X$的简单随机样本。记$v_n(1)$为$n$个观测值中不大于1的个数，则$\frac{v_n(1)}{n}$依概率收敛于( ) A. $\frac{1}{e}$ B. $\frac{2}{e}$ C. $1-\frac{1}{e}$ D. $1-\frac{2}{e}$
4. 设$t(\geq 0)$时刻已进入某商场的顾客人数是$N_t$，$N$服从参数为$\frac{t}{2}$的泊松分布，令$T$表示第1个顾客到来的时刻。 (1) 求$T$的概率密度； (2) 当$T_1,T_2,\cdots,T_n,\cdots$独立同分布于总体$T$时，$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}T_i^2$在$n \to \infty$的条件下依概率收敛于$a$，求$a$的值。