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基础部分
设随机变量X ∼ B ( 2 , 1 2 ) X \sim B(2,\frac{1}{2}) X ∼ B ( 2 , 2 1 ) E ( e 2 X ) = E(e^{2X})= E ( e 2 X ) =
设随机变量X ∼ E ( 1 ) X \sim E(1) X ∼ E ( 1 ) Y = max { X , 1 } Y=\max\{X,1\} Y = max { X , 1 } E ( Y ) = E(Y)= E ( Y ) = 1 − e − 1 1-e^{-1} 1 − e − 1 1 + e − 1 1+e^{-1} 1 + e − 1 1 + 2 e − 1 1+2e^{-1} 1 + 2 e − 1
设随机变量X 1 , X 2 , X 3 X_1,X_2,X_3 X 1 , X 2 , X 3 D ( X 1 ) < D ( X 2 ) < D ( X 3 ) D(X_1)<D(X_2)<D(X_3) D ( X 1 ) < D ( X 2 ) < D ( X 3 ) D ( X 1 ) < D ( X 3 ) < D ( X 2 ) D(X_1)<D(X_3)<D(X_2) D ( X 1 ) < D ( X 3 ) < D ( X 2 ) D ( X 2 ) < D ( X 1 ) < D ( X 3 ) D(X_2)<D(X_1)<D(X_3) D ( X 2 ) < D ( X 1 ) < D ( X 3 ) D ( X 2 ) < D ( X 3 ) < D ( X 1 ) D(X_2)<D(X_3)<D(X_1) D ( X 2 ) < D ( X 3 ) < D ( X 1 )
设随机变量X X X p ( 0 < p < 1 ) p(0<p<1) p ( 0 < p < 1 ) E ( 1 X ) = E(\frac{1}{X})= E ( X 1 ) = p ( 1 − p ) p(1-p) p ( 1 − p ) − p ln p -p\ln p − p ln p − ( 1 − p ) ln p -(1-p)\ln p − ( 1 − p ) ln p − p ln p 1 − p -\frac{p\ln p}{1-p} − 1 − p p l n p
设10个球中有3个红球，7个白球，现从这10个球中无放回地抽取3个球，记取到白球的个数为X X X E ( X ) = E(X)= E ( X ) = 7 10 \frac{7}{10} 10 7 21 10 \frac{21}{10} 10 21 7 5 \frac{7}{5} 5 7 21 5 \frac{21}{5} 5 21
设随机变量X X X f ( x ) = { 2 x , 0 < x < 1 0 , 其他 f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases} f ( x ) = { 2 x , 0 , 0 < x < 1 其他 F ( x ) F(x) F ( x ) X X X E ( X ) E(X) E ( X ) X X X P { F ( X ) > E ( X ) } = P\{F(X)>E(X)\}= P { F ( X ) > E ( X )} =
设随机变量X X X λ ( λ > 0 ) \lambda(\lambda>0) λ ( λ > 0 ) X X X E ( X ) E(X) E ( X ) D ( X ) D(X) D ( X )
在( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) X X X X X X F ( x ) F(x) F ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) X X X E ( X ) E(X) E ( X )
已知随机变量X X X f ( x ) = A e B x − x 2 f(x)=Ae^{Bx-x^2} f ( x ) = A e B x − x 2 − ∞ < x < + ∞ -\infty<x<+\infty − ∞ < x < + ∞ E ( X ) = 2 D ( X ) E(X)=2D(X) E ( X ) = 2 D ( X ) A , B A,B A , B E ( X 2 + e X ) E(X^2+e^X) E ( X 2 + e X ) Y = ∣ 2 ( X − 1 ) ∣ Y=|\sqrt{2}(X-1)| Y = ∣ 2 ( X − 1 ) ∣ F ( y ) F(y) F ( y )
设X , Y X,Y X , Y N ( 0 , ( 1 2 ) 2 ) N(0,(\frac{1}{\sqrt{2}})^2) N ( 0 , ( 2 1 ) 2 ) ∣ X − Y ∣ |X-Y| ∣ X − Y ∣ E ( ∣ X − Y ∣ ) = E(|X-Y|)= E ( ∣ X − Y ∣ ) = 1 3 π \frac{1}{\sqrt{3\pi}} 3 π 1 1 2 π \frac{1}{\sqrt{2\pi}} 2 π 1 2 π \frac{2}{\sqrt{\pi}} π 2 2 π \sqrt{\frac{2}{\pi}} π 2
设随机变量X X X Y Y Y Z = { 2 X , X ≥ Y Y − 1 , X < Y Z=\begin{cases}2X,&X \geq Y\\Y-1,&X Z = { 2 X , Y − 1 , X ≥ Y X < Y E ( Z ) = E(Z)= E ( Z ) = 2 7 \frac{2}{7} 7 2 7 2 \frac{7}{2} 2 7 7 4 \frac{7}{4} 4 7 4 7 \frac{4}{7} 7 4
随机试验E E E A 1 , A 2 , A 3 A_1,A_2,A_3 A 1 , A 2 , A 3 1 3 \frac{1}{3} 3 1 E E E X X X A 1 A_1 A 1 Y Y Y A 2 A_2 A 2 X X X Y Y Y − 1 2 -\frac{1}{2} − 2 1 − 1 3 -\frac{1}{3} − 3 1 1 3 \frac{1}{3} 3 1 1 2 \frac{1}{2} 2 1
设随机变量X X X Y Y Y D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) D(X+Y)=D(X)+D(Y) D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) X X X Y Y Y
已知随机变量X ∼ U ( 0 , 4 ) X \sim U(0,4) X ∼ U ( 0 , 4 ) c ∈ [ 0 , 4 ] c \in [0,4] c ∈ [ 0 , 4 ] X X X ∣ X − c ∣ |X-c| ∣ X − c ∣ c = c= c =
设随机变量X , Y X,Y X , Y ( − 1 1 1 2 1 2 ) \begin{pmatrix}-1&1\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix} ( − 1 2 1 1 2 1 ) Z 1 = X Y Z_1=XY Z 1 = X Y Z 2 = X Y Z_2=\frac{X}{Y} Z 2 = Y X X , Y , Z 1 X,Y,Z_1 X , Y , Z 1 Y , Z 1 , Z 2 Y,Z_1,Z_2 Y , Z 1 , Z 2 X , Z 1 , Z 2 X,Z_1,Z_2 X , Z 1 , Z 2 X , Y , Z 2 X,Y,Z_2 X , Y , Z 2
对于任意随机变量X X X Y Y Y D ( X + Y ) = D ( X − Y ) D(X+Y)=D(X-Y) D ( X + Y ) = D ( X − Y ) X X X Y Y Y D ( X Y ) = D ( X ) D ( Y ) D(XY)=D(X)D(Y) D ( X Y ) = D ( X ) D ( Y ) X X X Y Y Y E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) E(XY)=E(X)E(Y) E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y )
设随机变量( X 1 , X 2 ) ∼ N ( 0 , 0 ; σ 1 2 , σ 2 2 ; ρ ) (X_1,X_2) \sim N(0,0;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho) ( X 1 , X 2 ) ∼ N ( 0 , 0 ; σ 1 2 , σ 2 2 ; ρ ) σ 1 , σ 2 > 0 \sigma_1,\sigma_2>0 σ 1 , σ 2 > 0 σ 1 ≠ σ 2 \sigma_1 \neq \sigma_2 σ 1 = σ 2 Y 1 = X 1 cos α + X 2 sin α Y_1=X_1\cos\alpha+X_2\sin\alpha Y 1 = X 1 cos α + X 2 sin α Y 2 = X 2 cos α − X 1 sin α Y_2=X_2\cos\alpha-X_1\sin\alpha Y 2 = X 2 cos α − X 1 sin α cos 2 α ≠ 0 \cos2\alpha \neq 0 cos 2 α = 0 tan 2 α = \tan2\alpha= tan 2 α = ρ σ 1 2 σ 2 2 σ 1 2 − σ 2 2 \rho\frac{\sigma_1^2\sigma_2^2}{\sigma_1^2-\sigma_2^2} ρ σ 1 2 − σ 2 2 σ 1 2 σ 2 2 ρ σ 1 2 σ 2 2 σ 2 2 − σ 1 2 \rho\frac{\sigma_1^2\sigma_2^2}{\sigma_2^2-\sigma_1^2} ρ σ 2 2 − σ 1 2 σ 1 2 σ 2 2 2 ρ σ 1 σ 2 σ 1 2 − σ 2 2 2\rho\frac{\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1^2-\sigma_2^2} 2 ρ σ 1 2 − σ 2 2 σ 1 σ 2 2 ρ σ 1 σ 2 σ 2 2 − σ 1 2 2\rho\frac{\sigma_1\sigma_2}{\sigma_2^2-\sigma_1^2} 2 ρ σ 2 2 − σ 1 2 σ 1 σ 2
设存在非零常数a a a P { a X + Y = 0 } = 1 P\{aX+Y=0\}=1 P { a X + Y = 0 } = 1 X X X Y Y Y ρ \rho ρ ρ = a ∣ a ∣ \rho=\frac{a}{|a|} ρ = ∣ a ∣ a ρ = − a ∣ a ∣ \rho=-\frac{a}{|a|} ρ = − ∣ a ∣ a − 1 < ρ < 1 -1<\rho<1 − 1 < ρ < 1 ∣ ρ ∣ = ∣ a ∣ |\rho|=|a| ∣ ρ ∣ = ∣ a ∣
设随机变量X , Y X,Y X , Y λ \lambda λ ρ X Y = − 1 2 \rho_{XY}=-\frac{1}{2} ρ X Y = − 2 1 U = 2 X + Y U=2X+Y U = 2 X + Y U U U X X X
设随机变量X X X Y Y Y X ∼ ( 0 1 p q ) X \sim \begin{pmatrix}0&1\\p&q\end{pmatrix} X ∼ ( 0 p 1 q ) p + q = 1 , 0 < p < 1 p+q=1,0<p<1 p + q = 1 , 0 < p < 1 Z = { 1 , X + Y 为奇数 0 , X + Y 为偶数 Z=\begin{cases}1,&X+Y\text{为奇数}\\0,&X+Y\text{为偶数}\end{cases} Z = { 1 , 0 , X + Y 为奇数 X + Y 为偶数 X Z XZ X Z p p p X X X Z Z Z
设随机变量X X X Y Y Y X X X ( − 1 0 1 p p 1 − 2 p ) \begin{pmatrix}-1&0&1\\p&p&1-2p\end{pmatrix} ( − 1 p 0 p 1 1 − 2 p ) Y Y Y Z = X Y Z=XY Z = X Y Y Y Y Z Z Z Z ( Z ≠ 0 ) Z(Z \neq 0) Z ( Z = 0 ) p p p
强化部分-数字特征
将2个红球和1个白球随机放入3个盒子中，每个盒子可放任意多个球，记X X X E ( X ) = E(X)= E ( X ) = 17 9 \frac{17}{9} 9 17 4 9 \frac{4}{9} 9 4 3 4 \frac{3}{4} 4 3 4 3 \frac{4}{3} 3 4
设X X X E ( 1 X + 1 ) = E(\frac{1}{X+1})= E ( X + 1 1 ) = 1 e \frac{1}{e} e 1 1 − 1 e 1-\frac{1}{e} 1 − e 1 2 e \frac{2}{e} e 2 1 + 1 e 1+\frac{1}{e} 1 + e 1
设随机变量X X X μ , σ 2 \mu,\sigma^2 μ , σ 2 f ( x ) f(x) f ( x ) ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) ln f ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\ln f(x)dx ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) ln f ( x ) d x μ \mu μ σ \sigma σ μ \mu μ σ \sigma σ μ \mu μ σ \sigma σ μ \mu μ σ \sigma σ
假设某种试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是p ( 0 < p < 1 ) p(0<p<1) p ( 0 < p < 1 ) X X X E ( X ) = 3 E(X)=3 E ( X ) = 3 p = p= p =
设总体X X X P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k} P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k k = 0 , 1 , 0 < p < 1 k=0,1,0<p<1 k = 0 , 1 , 0 < p < 1 X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X 1 , X 2 , ⋯ , X n X X X Y 1 = max 1 ≤ i ≤ n { X i } Y_1=\max\limits_{1 \leq i \leq n}\{X_i\} Y 1 = 1 ≤ i ≤ n max { X i } Y 2 = min 1 ≤ j ≤ n { X j } Y_2=\min\limits_{1 \leq j \leq n}\{X_j\} Y 2 = 1 ≤ j ≤ n min { X j } Y 3 = Y 1 − Y 2 Y_3=Y_1-Y_2 Y 3 = Y 1 − Y 2 E ( Y 3 ) = E(Y_3)= E ( Y 3 ) =
在区间( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) X X X Y Y Y E ( Y ) = E(Y)= E ( Y ) =
设总体X X X X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X 1 , X 2 , ⋯ , X n X X X v n ( 1 ) v_n(1) v n ( 1 ) n n n v n ( 1 ) n \frac{v_n(1)}{n} n v n ( 1 ) e − 1 n e 2 \frac{e-1}{ne^2} n e 2 e − 1 e − 1 n e \frac{e-1}{ne} n e e − 1 e ( e − 1 ) n \frac{e(e-1)}{n} n e ( e − 1 ) e − 1 n \frac{e-1}{n} n e − 1
设( X , Y ) ∼ f ( x , y ) = 1 2 2 π e − x 2 + 2 y 2 4 (X,Y) \sim f(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{2}\pi}e^{-\frac{x^2+2y^2}{4}} ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) = 2 2 π 1 e − 4 x 2 + 2 y 2 − ∞ < x , y < + ∞ -\infty<x,y<+\infty − ∞ < x , y < + ∞ Z = X 2 − Y 2 Z=X^2-Y^2 Z = X 2 − Y 2 E ( Z ) = E(Z)= E ( Z ) =
已知( X , Y ) (X,Y) ( X , Y ) N ( 0 , 0 ; σ 2 , σ 2 ; 0 ) N(0,0;\sigma^2,\sigma^2;0) N ( 0 , 0 ; σ 2 , σ 2 ; 0 ) σ > 0 \sigma>0 σ > 0 D ( ∣ X − Y ∣ ) = 1 − 2 π D(|X-Y|)=1-\frac{2}{\pi} D ( ∣ X − Y ∣ ) = 1 − π 2 σ = \sigma= σ =
设随机变量X X X F ( x ) = k ( π 2 + arctan x ) F(x)=k(\frac{\pi}{2}+\arctan x) F ( x ) = k ( 2 π + arctan x ) x ∈ R x \in R x ∈ R Y = min { 1 , ∣ X ∣ } Y=\min\{1,|X|\} Y = min { 1 , ∣ X ∣ } E ( Y ) = E(Y)= E ( Y ) =
设随机变量X ∼ B ( 1 , 1 4 ) X \sim B(1,\frac{1}{4}) X ∼ B ( 1 , 4 1 ) Y ∼ B ( 1 , 1 6 ) Y \sim B(1,\frac{1}{6}) Y ∼ B ( 1 , 6 1 ) Cov ( X , Y ) = 1 24 \text{Cov}(X,Y)=\frac{1}{24} Cov ( X , Y ) = 24 1 ( X , Y ) (X,Y) ( X , Y ) X X X Y Y Y ρ X Y \rho_{XY} ρ X Y P { X Y = 0 } P\{XY=0\} P { X Y = 0 }
设某营运车辆的使用寿命X X X 1 1000 \frac{1}{1000} 1000 1 m m m m m m m m m ln 2 \ln2 ln 2 ln 7 \ln7 ln 7
已知两只灯泡的寿命独立同分布于期望为2的指数分布。第一只灯泡先亮，若1小时内第一只灯泡坏掉，则在第1小时时第二只灯泡才亮；若1小时内第一只灯泡未坏掉，则在第一只灯泡坏掉时，立即点亮第二只灯泡。令T T T E ( T ) = E(T)= E ( T ) =
设随机变量X X X f X ( x ) = { 2 x , 0 < x < 1 0 , 其他 f_X(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases} f X ( x ) = { 2 x , 0 , 0 < x < 1 其他 X = x ( 0 < x < 1 ) X=x(0<x<1) X = x ( 0 < x < 1 ) Y Y Y ( − x , x ) (-x,x) ( − x , x ) P { 1 2 < X < 3 2 ∣ Y = E ( Y ) } P\{\frac{1}{2}<X<\frac{3}{2} | Y=E(Y)\} P { 2 1 < X < 2 3 ∣ Y = E ( Y )} X X X Y Y Y Z = X − Y Z=X-Y Z = X − Y f Z ( z ) f_Z(z) f Z ( z )
独立重复抛掷一枚均匀硬币两次，记X i = { 1 , 出现正面 0 , 出现反面 X_i=\begin{cases}1,&\text{出现正面}\\0,&\text{出现反面}\end{cases} X i = { 1 , 0 , 出现正面 出现反面 i = 1 , 2 i=1,2 i = 1 , 2 X 1 + X 2 X_1+X_2 X 1 + X 2 X 1 − X 2 X_1-X_2 X 1 − X 2
设随机变量( X , Y ) (X,Y) ( X , Y ) x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 ( a > 0 , b > 0 ) \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1(a>0,b>0) a 2 x 2 + b 2 y 2 ≤ 1 ( a > 0 , b > 0 ) X X X [ − a , a ] [-a,a] [ − a , a ] X X X Y Y Y Y Y Y [ − b , b ] [-b,b] [ − b , b ] X X X Y Y Y
设连续型随机变量X X X Y Y Y F ( x ) F(x) F ( x ) E ( X ) E(X) E ( X ) E ( ∣ X − Y ∣ ) = 1 E(|X-Y|)=1 E ( ∣ X − Y ∣ ) = 1 X X X F ( X ) F(X) F ( X ) 1 4 \frac{1}{4} 4 1 1 2 \frac{1}{2} 2 1
设随机变量X , Y X,Y X , Y Z = max { X , Y } Z=\max\{X,Y\} Z = max { X , Y } W = min { X , Y } W=\min\{X,Y\} W = min { X , Y } Z Z Z W W W 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 2 2 3 3 \frac{\sqrt{3}}{3} 3 3 5 5 \frac{\sqrt{5}}{5} 5 5
设总体X X X λ ( λ > 0 ) \lambda(\lambda>0) λ ( λ > 0 ) X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X 1 , X 2 , ⋯ , X n X X X ε \varepsilon ε lim n → ∞ P { ∣ 1 n ∑ i = 1 n X i 2 − 2 ∣ < ε } = 1 \lim\limits_{n \to \infty}P\{|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2-2|<\varepsilon\}=1 n → ∞ lim P { ∣ n 1 ∑ i = 1 n X i 2 − 2∣ < ε } = 1 D [ ∣ X − D ( X ) ∣ ] = D[|X-D(X)|]= D [ ∣ X − D ( X ) ∣ ] = 1 − 2 e 1-\frac{2}{e} 1 − e 2 1 + 2 e 1+\frac{2}{e} 1 + e 2 1 − 4 e 2 1-\frac{4}{e^2} 1 − e 2 4 1 + 4 e 2 1+\frac{4}{e^2} 1 + e 2 4
已知随机变量X X X ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) X = x ( 0 < x < 1 ) X=x(0<x<1) X = x ( 0 < x < 1 ) Y Y Y ( 0 , x ) (0,x) ( 0 , x ) Y Y Y f Y ( y ) f_Y(y) f Y ( y ) X X X Y Y Y ρ X Y \rho_{XY} ρ X Y
设二维随机变量( X , Y ) (X,Y) ( X , Y ) f ( x , y ) = { a x 2 y , x 2 ≤ y ≤ 1 0 , 其他 f(x,y)=\begin{cases}ax^2y,&x^2 \leq y \leq 1\\0,&\text{其他}\end{cases} f ( x , y ) = { a x 2 y , 0 , x 2 ≤ y ≤ 1 其他 a a a Z = X 2 Y Z=X^2Y Z = X 2 Y E ( Y ∣ X = 1 2 ) E(Y | X=\frac{1}{2}) E ( Y ∣ X = 2 1 )