第1章 随机事件与概率

基础部分

1. 对于任意事件$A,B,C$，若$\overline{A+B} \supset C$，则( ) A. $\overline{A+B}\supset \overline{C}$ B. $\overline{AB}\supset \overline{C}$ C. $A+B \subset \overline{C}$ D. $AB \subset C$

2. 甲、乙两个篮球队进行比赛，假设有三种可能的结局：甲胜，乙胜与平局。考虑事件$A=\{$甲胜而乙负$\}$，则$\bar{A}=$( ) A. $B_1=\{$甲负而乙胜$\}$ B. $B_2=\{$平局$\}$ C. $B_3=\{$甲胜或平局$\}$ D. $B_4=\{$乙胜或平局$\}$

3. 对于任意事件$A$，“$P(A)=P(\bar{A})$”是“$P(A)=\frac{1}{4}+[P(A)]^2$”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件

4. 一平面质点从原点出发，每次走一个单位，只有向上、向右两种走法，且向上走的概率为$p(0<p<1)$，现质点走到了点$(3,2)$，则这5步按照：右，上，右，上，右的方式走的概率为( ) A. $\frac{3}{20}$ B. $\frac{1}{13}$ C. $\frac{1}{20}$ D. $\frac{1}{10}$

5. 设$A,B$为随机事件，$0<P(A)<1$，$0<P(B)<1$，且$P(A-B)=0$，则( ) A. $\overline{A} \supset \overline{B}$ B. $P(\overline{A})<P(\overline{B})$ C. $P(\overline{B} | \overline{A})=0$ D. $P(\overline{A} | \overline{B})=1$

6. 已知$0<P(A)<1$且$P(B+C | A)=P(B | A)+P(C | A)$，则以下结论： (1)$P(B+C)=P(B)+P(C)$； (2)$P(B+C)=P(B | A)+P(C | A)$； (3)$P(B+C | \overline{A})=P(B | \overline{A})+P(C | \overline{A})$； (4)$P(BA+CA)=P(BA)+P(CA)$ 正确结论的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 设事件$A,B$满足$P(A | B)=P(B | A)=\frac{1}{3}$，$P(A-B)=\frac{1}{6}$，则$P(\overline{AB})=$_____。

8. 已知$A$发生且$B$不发生的概率为$\frac{1}{2}$，在$A$发生或$B$不发生的条件下$B$发生的概率为$\frac{1}{4}$，若$A$发生的概率为$\frac{7}{10}$，则$B$发生的概率为_____。

9. 对任意事件$A,B$，下列结论正确的是( ) A. $P(A)P(B) \geq P(A \cup B)P(AB)$ B. $P(A)+P(B) \leq 2P(AB)$ C. $P(A)+P(AB) \geq P(A \cup B)$ D. $P(A)+P(B) \leq P(A \cup B)P(AB)$

10. 从数1,2,3,4中有放回地取两次，每次取一个数，得到的两个数为$X_1,X_2$，记$X=\min\{X_1,X_2\}$，则$P\{X=2\}=$_____。

11. 设$P[A | (A \cup BC)]=\frac{1}{2}$，$P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$，其中$A,B$互不相容，$B,C$相互独立，则$P(A)=$( ) A. $\frac{1}{4}$ B. $\frac{3}{4}$ C. $\frac{1}{2}$ D. 1

12. 设$A,B,C$是3个随机事件，其中$A$与$B$相互独立，$A$与$C$互不相容，$P(A)=\frac{1}{2}$，$P(B)=\frac{1}{3}$，$P(C)=\frac{1}{4}$，$P(B | C)=\frac{1}{8}$，则$P(C | A \cup B)=$_____。

13. 设事件$A$和$B$互不相容，$\bar{A}$和$\bar{B}$也互不相容，则$A$和$B$为_____。

14. 设$A$和$B$是概率不等于0和1的任意两个事件，且满足$P(B | A)+P(\bar{B} | \bar{A})=1$，则事件$A$和$B$一定_____。

强化部分

1. 设口袋中有10个球，其中6个红球，4个白球，每次不放回地从中任取一个，取两次，若取出的两个球中有1个是白球，则两个都是白球的概率为( ) A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{1}{5}$ C. $\frac{1}{4}$ D. $\frac{1}{6}$

2. 设$A,B$为随机事件，且$0<P(B)<1$，下列命题中为假命题的是( ) A. 若$P(A | B)>P(A)$，则$P(\bar{A} | \bar{B})>P(\bar{A})$ B. 若$P(A | B)=P(A)$，则$P(A | \bar{B})=P(A)$ C. 若$P(A | B)>P(A | \bar{B})$，则$P(A | B)>P(A)$ D. 若$P(A | A \cup B)>P(B | A \cup B)$，则$P(A)>P(B)$

3. 设随机事件$A,B$满足$0<P(A)<1$，$0<P(B)<1$，则$P(AB)>P(A)P(B)$的充要条件是( ) A. $P(A\overline{B})>P(A)P(\overline{B})$ B. $P(\overline{AB})>P(\overline{A})P(\overline{B})$ C. $P(B | \overline{A})>P(B | A)$ D. $P(A | \overline{B})>P(A | B)$

4. 对于下列命题： ①若事件$A,B$相互独立，且$B,C$相互独立，则$A,C$相互独立； ②若事件$A,B$相互独立，且$C \subset A$，$D \subset B$，则$C,D$相互独立。 说法正确的是( ) A. ①正确，②不正确 B. ②正确，①不正确 C. ①②都正确 D. ①②都不正确

5. 设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有25%不合格，从这两批产品中任取1只，经检验是合格品，放回原处，并从原所在批次中再取1只，则这只产品是不合格品的概率为_____。

6. 设$X,Y$为随机变量，且$P\{X \geq 0,Y \geq 0\}=\frac{3}{7}$，$P\{X \geq 0\}=P\{Y \geq 0\}=\frac{4}{7}$，求下列事件的概率： (1)$A=\{\max\{X,Y\} \geq 0\}$； (2)$B=\{\max\{X,Y\} \geq 0,\min\{X,Y\}<0\}$。