Skip to main content

第5章 特征值与特征向量

基础部分​

  1. 已知AA为3阶方阵，1,1,2是AA的3个特征值，α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3为这3个特征值对应的特征向量，则( ). A. α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3必为矩阵2E−A2E-A的特征向量 B. α1−α2\alpha_1-\alpha_2必为矩阵2E−A2E-A的特征向量 C. α1+α3\alpha_1+\alpha_3必为矩阵2E−A2E-A的特征向量 D. α1,α2\alpha_1,\alpha_2不是矩阵2E−A2E-A的特征向量，α3\alpha_3必为矩阵2E−A2E-A的特征向量
  2. A=[3−404−50a2−1]A=\begin{bmatrix}3&-4&0\\4&-5&0\\a&2&-1\end{bmatrix}，EE是AA的三重特征值λ\lambda对应两个线性无关的特征向量，则a=a=( ) A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
  3. 设P−1AP=[100030003]P^{-1}AP=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{bmatrix}，α1\alpha_1是矩阵AA属于特征值λ=1\lambda=1的特征向量，α2,α3\alpha_2,\alpha_3是矩阵AA属于特征值λ=3\lambda=3的线性无关的特征向量，则矩阵PP不可以是( ). A. [α1,−2α2,α3][\alpha_1,-2\alpha_2,\alpha_3] B. [α1,α2+α3,α2−2α3][\alpha_1,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_2-2\alpha_3] C. [α1,α3,α2][\alpha_1,\alpha_3,\alpha_2] D. [α1+α2,α1−α2,α3][\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1-\alpha_2,\alpha_3]
  4. λ=−1\lambda=-1是AA的特征值的充分必要条件为( ). A. A2=EA^2=E B. r(A+E)<nr(A+E)<n C. AA中每行元素之和为-1 D. A=−EA=-E
  5. 设A,PA,P都是nn阶可逆矩阵，λ,ξ\lambda,\xi分别是AA的特征值和对应的特征向量，则P−1A∗PP^{-1}A^*P的特征值和对应的特征向量分别是( ). A. ∣A∣λ,P−1ξ\frac{|A|}{\lambda},P^{-1}\xi B. ∣A∣λ,ξ\frac{|A|}{\lambda},\xi C. 1λ,Pξ\frac{1}{\lambda},P\xi D. 1λ,P−1ξ\frac{1}{\lambda},P^{-1}\xi
  6. 设AA是3阶矩阵，将AA的第2列加到第3列得矩阵BB，再将BB的第3行的-1倍加到第2行得[11002002a]\begin{bmatrix}1&1&0\\0&2&0\\0&2&a\end{bmatrix}，其中aa为常数，则AA的特征值为( ). A. 1,2,a B. 1,2,-2 C. 1,-1,2 D. 1,a,-a
  7. 下列矩阵中，不能相似对角化的是( ). A. [12−1201−110]\begin{bmatrix}1&2&-1\\2&0&1\\-1&1&0\end{bmatrix} B. [321021000]\begin{bmatrix}3&2&1\\0&2&1\\0&0&0\end{bmatrix} C. [200020101]\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\1&0&1\end{bmatrix} D. [000120012]\begin{bmatrix}0&0&0\\1&2&0\\0&1&2\end{bmatrix}
  8. 设AA为2阶矩阵，α=[10]\alpha=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}是方程组Ax=0Ax=0的解，β=[11]\beta=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}是方程组Ax=βAx=\beta的解，则矩阵A=A=
  9. 已知AA为2阶方阵，可逆矩阵P=[α,β]P=[\alpha,\beta]使得P−1AP=[1002]P^{-1}AP=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}，Q=[β,α]Q=[\beta,\alpha]，则Q−1A∗Q=Q^{-1}A^*Q=
  10. 设1与-1是矩阵A=[31−2−a−1a41−3]A=\begin{bmatrix}3&1&-2\\-a&-1&a\\4&1&-3\end{bmatrix}的特征值，若矩阵AA可相似对角化，则a=a=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
  11. 已知A=[1−1−a2a−2−a−11]A=\begin{bmatrix}1&-1&-a\\2&a&-2\\-a&-1&1\end{bmatrix}，求AA的特征值，并讨论AA是否可相似对角化.
  12. 设AA是3阶实对称矩阵，已知AA的每行元素之和为3，且有二重特征值λ1=λ2=1\lambda_1=\lambda_2=1，求AA的全部特征值、特征向量，并求AnA^n
  13. 设AA是3阶实对称矩阵，满足A+A2+12A3=0A+A^2+\frac{1}{2}A^3=0，则r(A)=r(A)=
  14. (1) 设A,BA,B是nn阶矩阵，AA有特征值λ=1,2,⋯ ,n\lambda=1,2,\cdots,n.证明ABAB和BABA有相同的特征值且AB∼BAAB\sim BA；(2) 对一般的nn阶矩阵A,BA,B，是否必有AB∼BAAB\sim BA，说明理由.
  15. 已知A=[3a42−12−2−a−3]A=\begin{bmatrix}3&a&4\\2&-1&2\\-2&-a&-3\end{bmatrix}，求AA的特征值，问aa为何值时，AA不能相似于对角矩阵；aa为何值时，AA相似于对角矩阵，并求可逆矩阵PP，使得P−1AP=ΛP^{-1}AP=\Lambda
  16. 已知3阶矩阵AA有三个特征值−1,2,13-1,2,\frac{1}{3}，对应的特征向量分别是ξ1,ξ2,ξ3\xi_1,\xi_2,\xi_3，取P=[2ξ2,−ξ1,3ξ3]P=[2\xi_2,-\xi_1,3\xi_3]，则P−1AP=P^{-1}AP=
  17. 已知AA是3阶矩阵，r(A)=1r(A)=1，则λ=0\lambda=0是AA的特征值，其重数( ). A. 必为2 B. 可能为2或3 C. 可能为1或2 D. 可能为1,2或3
  18. 设AA是2阶矩阵，有特征值λ1=1\lambda_1=1，λ2=2\lambda_2=2，f(x)=x2−3x+3f(x)=x^2-3x+3，则f(A)=f(A)=_____.
  19. 设A,BA,B是nn阶可逆矩阵，且A∼BA\sim B，则以下结论中： (1)A−1∼B−1A^{-1}\sim B^{-1}；(2)AT∼BTA^T\sim B^T；(3)A∗∼B∗A^*\sim B^*；(4)AB∼BAAB\sim BA. 正确结论的个数是( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
  20. 设A=E−3αTαααTA=E-\frac{3}{\alpha^T\alpha}\alpha\alpha^T，其中EE是nn阶单位矩阵，α=[a1,a2,⋯ ,an]T≠0\alpha=[a_1,a_2,\cdots,a_n]^T\neq0. (1)计算A2A^2，并求A−1A^{-1}；(2)验证α\alpha是AA的特征向量，并求AA的对应于α\alpha的特征值.
  21. 设AA是3阶矩阵，λ0\lambda_0是AA的特征值，对应的特征向量为ξ=[1,1,1]T\xi=[1,1,1]^T，且∣A∣=1|A|=1，A∗A^*是AA的伴随矩阵，A∗=[−a1−2−1b−722−3a]A^*=\begin{bmatrix}-a&1&-2\\-1&b&-\frac{7}{2}\\2&-3&a\end{bmatrix}，求a,ba,b及λ0\lambda_0
  22. 设AA是3阶矩阵，λ1,λ2,λ3\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3是AA的三个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1,ξ2,ξ3\xi_1,\xi_2,\xi_3，令β=ξ1+ξ2+ξ3\beta=\xi_1+\xi_2+\xi_3，证明： (1) β\beta不是AA的特征向量；(2) 向量组β,Aβ,A2β\beta,A\beta,A^2\beta线性无关.
  23. 设AA为3阶实对称矩阵，tr(A)=1tr(A)=1，齐次线性方程组Ax=0Ax=0的通解为x=k1[−2,1,0]T+k2[−3,0,1]Tx=k_1[-2,1,0]^T+k_2[-3,0,1]^T，k1,k2k_1,k_2为任意常数，求AnA^n

强化部分​

  1. 设A=[10ab200c3]A=\begin{bmatrix}1&0&a\\b&2&0\\0&c&3\end{bmatrix}，abc=−6abc=-6，则AA的伴随矩阵A∗A^*有非零特征值( ). A. -8 B. 8 C. -11 D. 11
  2. A=[1−22a4b−3−68]A=\begin{bmatrix}1&-2&2\\a&4&b\\-3&-6&8\end{bmatrix}有三个线性无关的特征向量，λ=2\lambda=2是AA的二重特征值，则( ). A. a=1,b=−2a=1,b=-2 B. a=−1,b=2a=-1,b=2 C. a=2,b=−1a=2,b=-1 D. a=−2,b=1a=-2,b=1
  3. 设AA是3阶矩阵，有特征值λ1=0\lambda_1=0，λ2=1\lambda_2=1，λ3=−1\lambda_3=-1，对应的特征向量分别是ξ1,ξ2,ξ3\xi_1,\xi_2,\xi_3，以下k,k1,k2k,k_1,k_2为任意常数，则非齐次线性方程组Ax=ξ2+ξ3Ax=\xi_2+\xi_3的通解是( ). A. k1ξ1+k2ξ2+ξ3k_1\xi_1+k_2\xi_2+\xi_3 B. k1ξ1+k2ξ3+ξ2k_1\xi_1+k_2\xi_3+\xi_2 C. kξ1−ξ2+ξ3k\xi_1-\xi_2+\xi_3 D. kξ1+ξ2−ξ3k\xi_1+\xi_2-\xi_3
  4. 设AA是3阶矩阵，Ax=0Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2(k1,k2k_1\xi_1+k_2\xi_2(k_1,k_2为任意常数)，Aξ3=ξ3A\xi_3=\xi_3，则存在可逆矩阵PP，使得P−1AP=[000000001]P^{-1}AP=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}，则PP是( ). A. [ξ1,ξ2,ξ1+ξ3][\xi_1,\xi_2,\xi_1+\xi_3] B. [ξ2,ξ3,ξ1][\xi_2,\xi_3,\xi_1] C. [ξ1+ξ2,−ξ2,2ξ3][\xi_1+\xi_2,-\xi_2,2\xi_3] D. [ξ1+ξ2,ξ2−ξ3,ξ3][\xi_1+\xi_2,\xi_2-\xi_3,\xi_3]
  5. 设3阶矩阵AA的某一行元素全是1，且AA有3个特征向量ξ1=[10−1]\xi_1=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}，ξ2=[101]\xi_2=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}，ξ3=[1−11]\xi_3=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}，则AA的迹tr(A)=tr(A)=
  6. 设A=[1−23a21a22a23a31a32a33]A=\begin{bmatrix}1&-2&3\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}有特征向量ξ1=[121]\xi_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}，ξ2=[−111]\xi_2=\begin{bmatrix}-1\\1\\1\end{bmatrix}，ξ3=[−122]\xi_3=\begin{bmatrix}-1\\2\\2\end{bmatrix}. (1)求AA的对应于ξi(i=1,2,3)\xi_i(i=1,2,3)的特征值；(2)求Ax=0Ax=0的通解；(3)求AA
  7. 设AA是3阶不可逆矩阵，α,β\alpha,\beta是3维线性无关列向量，满足Aα=βA\alpha=\beta，Aβ=αA\beta=\alpha，且A∼ΛA\sim\Lambda，则A=A=
  8. 设A,BA,B均为nn阶矩阵，∣B∣≠0|B|\neq0，α\alpha为nn维非零列向量，则“α\alpha是ABAB的特征向量”是“BαB\alpha是BABA的特征向量”的( ). A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
  9. 设[xnyn]=[1243][xn−1yn−1]\begin{bmatrix}x_n\\y_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2\\4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{n-1}\\y_{n-1}\end{bmatrix}. (1) 当{x0=1y0=2\begin{cases}x_0=1\\y_0=2\end{cases}时，求x100,y100x_{100},y_{100}；(2)当{x0=1y0=1\begin{cases}x_0=1\\y_0=1\end{cases}时，求x100x_{100}

相似理论​

  1. 设A,B,DA,B,D均为2阶矩阵，∣A∣≠∣B∣|A|\neq|B|，∣A∣<0|A|<0，∣B∣<0|B|<0，C=[ADOB]C=\begin{bmatrix}A&D\\O&B\end{bmatrix}，则“tr(A)=tr(B)tr(A)=tr(B)”是“CC可以相似对角化”的( ). A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
  2. 以下两个矩阵，可用同一可逆矩阵PP相似对角化的是( ). A. [1110],[0111]\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix} B. [111−1],[−1111]\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1&1\\1&1\end{bmatrix} C. [0111],[−1110]\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1&1\\1&0\end{bmatrix} D. [011−1],[−1110]\begin{bmatrix}0&1\\1&-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1&1\\1&0\end{bmatrix}
  3. (1) 下列矩阵中与矩阵M=[123000000]M=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}相似的是( ). A. A=[000123000]A=\begin{bmatrix}0&0&0\\1&2&3\\0&0&0\end{bmatrix} B. B=[000000123]B=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&2&3\end{bmatrix} C. C=[100200300]C=\begin{bmatrix}1&0&0\\2&0&0\\3&0&0\end{bmatrix} D. D=[120003000]D=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{bmatrix} (2) 下列矩阵中，与[100021002]\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{bmatrix}不相似的是( ). A. [20−1010002]\begin{bmatrix}2&0&-1\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix} B. [200−121001]\begin{bmatrix}2&0&0\\-1&2&1\\0&0&1\end{bmatrix} C. [210011002]\begin{bmatrix}2&1&0\\0&1&1\\0&0&2\end{bmatrix} D. [2−10120001]\begin{bmatrix}2&-1&0\\1&2&0\\0&0&1\end{bmatrix}
  4. 设3阶矩阵P=[α1,α2,α3]P=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]，其中α1,α2\alpha_1,\alpha_2分别是3阶矩阵AA对应于特征值-1与1的特征向量，且(A−E)α3−α2=0(A-E)\alpha_3-\alpha_2=0. (1)证明PP可逆；(2) 计算P−1A∗PP^{-1}A^*P.
  5. 设A,PA,P均为3阶矩阵，P=[α1,α2,α3]P=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]，其中α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3为3维列向量组且线性无关，若A[α1,α2,α3]=[3α3,2α2,α1]A[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]=[3\alpha_3,2\alpha_2,\alpha_1]. (1)证明AA可相似于对角矩阵Λ\Lambda；(2) 设P=[1−1−1010031]P=\begin{bmatrix}1&-1&-1\\0&1&0\\0&3&1\end{bmatrix}，求可逆矩阵CC使得C−1AC=ΛC^{-1}AC=\Lambda并写出Λ\Lambda.
  6. 设A=[1−21−21111−2]A=\begin{bmatrix}1&-2&1\\-2&1&1\\1&1&-2\end{bmatrix}，BB满足AB=A−BAB=A-B，求可逆矩阵PP，使P−1(AB)PP^{-1}(AB)P为对角矩阵，并写出该对角矩阵.
  7. 设A=[210120a1b]A=\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&0\\a&1&b\end{bmatrix}恰有2个不同的特征值且可相似对角化，a>0a>0，(A+E)(E−B)=E(A+E)(E-B)=E. (1)a,ba,b的值；(2) 可以使A,BA,B同时相似对角化的可逆矩阵PP.
  8. 若矩阵AA的伴随矩阵A∗=[32−20−10a2−3]A^*=\begin{bmatrix}3&2&-2\\0&-1&0\\a&2&-3\end{bmatrix}相似于矩阵B=[−100−21000−1]B=\begin{bmatrix}-1&0&0\\-2&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}，其中∣A∣>0|A|>0. (1) 求aa的值；(2)求A99A^{99}
  9. 设矩阵A=[−101120a03]A=\begin{bmatrix}-1&0&1\\1&2&0\\a&0&3\end{bmatrix}，B=[1b0010002]B=\begin{bmatrix}1&b&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}相似，且Ax=x+[b,−b,2b]TAx=x+[b,-b,2b]^T的一个解为[0,−1,1]T[0,-1,1]^T. (1)求a,ba,b的值；(2)求A100A^{100}
  10. 设A,BA,B是可逆矩阵，且AA与BB相似，则下列结论错误的是( ). A. ATA^T与BTB^T相似 B. A2+A−1A^2+A^{-1}与B2+B−1B^2+B^{-1}相似 C. A+ATA+A^T与B+BTB+B^T相似 D. A∗−A−1A^*-A^{-1}与B∗−B−1B^*-B^{-1}相似
  11. 设3阶矩阵A=[21012001t]A=\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&1&t\end{bmatrix}，B=[12−1212331]B=\begin{bmatrix}1&2&-1\\2&1&2\\3&3&1\end{bmatrix}，C=[23−1020−132]C=\begin{bmatrix}2&3&-1\\0&2&0\\-1&3&2\end{bmatrix}. (1)tt为何值时，矩阵A,BA,B等价？说明理由. (2)tt为何值时，矩阵A,CA,C相似？说明理由.
  12. 设4阶实对称矩阵AA满足A4=OA^4=O，则r(A)=r(A)=( ) A. 0 B. 0或1 C. 1或2 D. 2或3
  13. 设AA是3阶实矩阵，则“AA是实对称矩阵”是“AA有3个相互正交的特征向量”的( ). A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
  14. 设2阶实对称矩阵AA的特征值为λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2，且λ1≠λ2\lambda_1\neq\lambda_2，α1,α2\alpha_1,\alpha_2分别是AA的对应于λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2的单位特征向量，则与矩阵A+α1α1TA+\alpha_1\alpha_1^T相似的对角矩阵为( ). A. [λ100λ2]\begin{bmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{bmatrix} B. [λ1+100λ2+1]\begin{bmatrix}\lambda_1+1&0\\0&\lambda_2+1\end{bmatrix} C. [λ100λ2+1]\begin{bmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2+1\end{bmatrix} D. [λ1+100λ2]\begin{bmatrix}\lambda_1+1&0\\0&\lambda_2\end{bmatrix}
  15. 设向量组α,Aα,A2α\alpha,A\alpha,A^2\alpha线性无关，其中AA为3阶矩阵，α\alpha为3维非零列向量，且A3α=3Aα−2A2αA^3\alpha=3A\alpha-2A^2\alpha，则AA的特征值为
  16. 设A,B,CA,B,C是nn阶方阵，满足(A+E)C=0(A+E)C=0，B(AT−2E)=0B(A^T-2E)=0，r(C)+r(B)=nr(C)+r(B)=n.证明AA相似于对角矩阵Λ\Lambda，并求AA
  17. 设A=[−4210−43a−317]A=\begin{bmatrix}-4&2&10\\-4&3&a\\-3&1&7\end{bmatrix}，且AA的所有特征向量中只有一个线性无关的特征向量，B=[210021002]B=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{bmatrix}. (1) 求aa的值；(2) 是否存在可逆矩阵PP，使P−1AP=BP^{-1}AP=B？若存在，求出矩阵PP；若不存在，说明理由.
  18. 设AA为3阶实对称矩阵，已知AA的各行元素之和及主对角线元素之和均为2，且α=[2,1,0]T\alpha=[2,1,0]^T与β=[0,1,2]T\beta=[0,1,2]^T是线性方程组(A−E)x=[1,1,1]T(A-E)x=[1,1,1]^T的两个解，求矩阵AA
  19. 在某一核反应堆中有α\alpha与β\beta两种粒子，若每秒钟1个α\alpha粒子分裂成3个β\beta粒子，且1个β\beta粒子分裂成2个β\beta粒子与1个α\alpha粒子.设在t=0t=0时刻，该反应堆中只有1个α\alpha粒子，记an,bna_n,b_n分别表示t=nt=n秒时α\alpha粒子、β\beta粒子的个数. (1) 证明[anan−1]=[2310]n−1[01]\begin{bmatrix}a_n\\a_{n-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&3\\1&0\end{bmatrix}^{n-1}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}；(2)求t=nt=n秒时反应堆中的粒子总数an+bna_n+b_n
  20. 已知矩阵A=[11111111210−1−1012]A=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\2&1&0&-1\\-1&0&1&2\end{bmatrix}，B=[11110110]B=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\\0&1\\1&0\end{bmatrix}，A=BCA=BC. (1) 求矩阵CC；(2)计算A10A^{10}