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第1章 行列式

基础部分​

  1. 设a,b,ca,b,c是方程x3−2x+4=0x^3-2x+4=0的三个不同的根，则行列式∣abcbcacab∣\begin{vmatrix}a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{vmatrix}的值等于( ). A. 1 B. 0 C. -1 D. -2
  2. 行列式∣x10101x11x10101x∣\begin{vmatrix}x&1&0&1\\0&1&x&1\\1&x&1&0\\1&0&1&x\end{vmatrix}展开式中的常数项为( ). A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
  3. D=∣5x123xx1212x3x122x∣D=\begin{vmatrix}5x&1&2&3\\x&x&1&2\\1&2&x&3\\x&1&2&2x\end{vmatrix}，则DD的展开式中x3x^3的系数与x4x^4的系数分别为( ). A. -5,10 B. -5,-10 C. 5,-10 D. 5,10
  4. 不恒为零的函数f(x)=∣a1+xb1+xc1+xa2+xb2+xc2+xa3+xb3+xc3+x∣f(x)=\begin{vmatrix}a_1+x&b_1+x&c_1+x\\a_2+x&b_2+x&c_2+x\\a_3+x&b_3+x&c_3+x\end{vmatrix}( ). A. 没有零点 B. 至多有1个零点 C. 恰有2个零点 D. 恰有3个零点
  5. f(x)=∣3x+1x+11x−2x+1x+4−1x7x−1∣f(x)=\begin{vmatrix}3x+1&x+11&x-2\\x+1&x+4&-1\\x&7&x-1\end{vmatrix}，则曲线f(x)f(x)的拐点为( ). A. (1,7)(1,7) B. (−1,−1)(-1,-1) C. (0,0)(0,0) D. (−2,−2)(-2,-2)
  6. 1717阶行列式Dn=∣210⋯0121⋯0012⋯0⋮⋮⋮⋮000⋯2∣D_n=\begin{vmatrix}2&1&0&\cdots&0\\1&2&1&\cdots&0\\0&1&2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&\cdots&2\end{vmatrix}( ). A. D1,D2,⋯ ,DnD_1,D_2,\cdots,D_n为等比数列 B. D1,D2,⋯ ,DnD_1,D_2,\cdots,D_n为等差数列 C. DnD_n为范德蒙德行列式 D. Dn=nD_n=n
  7. ∣−a−5b20−abb−2∣=\begin{vmatrix}-a&-5&b\\2&0&-a\\b&b&-2\end{vmatrix}=
  8. ∣210−1−12−5330ab1−350∣−∣210−1−12−5330ab1−110∣=\begin{vmatrix}2&1&0&-1\\-1&2&-5&3\\3&0&a&b\\1&-3&5&0\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}2&1&0&-1\\-1&2&-5&3\\3&0&a&b\\1&-1&1&0\end{vmatrix}=
  9. 设行列式∣2a−a−a2bb0−2∣=5\begin{vmatrix}2&a&-a\\-a&2&b\\b&0&-2\end{vmatrix}=5，A,BA,B均为4阶矩阵，r(AAT)=3r(AA^T)=3，且∣AB∣=∣2a0−a−a2−5bb0b−20−240∣=4|AB|=\begin{vmatrix}2&a&0&-a\\-a&2&-5&b\\b&0&b&-2\\0&-2&4&0\end{vmatrix}=4，则a=a=
  10. 设x≠0x\neq0，则D4=∣xx0011+2x2x0022+3x3x0033+4x∣=D_4=\begin{vmatrix}x&x&0&0\\1&1+2x&2x&0\\0&2&2+3x&3x\\0&0&3&3+4x\end{vmatrix}=
  11. 设AA是3阶矩阵，α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3是3维线性无关列向量，且满足Aα1=α1+2α2+α3A\alpha_1=\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3，Aα2=2α1+α2+α3A\alpha_2=2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3，Aα3=α1+α2+2α3A\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2+2\alpha_3，则∣A∣=|A|=

强化部分​

  1. 计算nn阶行列式：Dn=∣a1+x1a2⋯ana1a2+x2⋯an⋮⋮⋮a1a2⋯an+xn∣D_n=\begin{vmatrix}a_1+x_1&a_2&\cdots&a_n\\a_1&a_2+x_2&\cdots&a_n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_1&a_2&\cdots&a_n+x_n\end{vmatrix}，其中xi≠0,i=1,2,⋯ ,nx_i\neq0,i=1,2,\cdots,n.
  2. Dn=∣b−10⋯000b−1⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯b−1anan−1an−2⋯a2b+a1∣=D_n=\begin{vmatrix}b&-1&0&\cdots&0&0\\0&b&-1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&b&-1\\a_n&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots&a_2&b+a_1\end{vmatrix}=
  3. 已知3阶矩阵A,BA,B相似，λ1=1\lambda_1=1，λ2=2\lambda_2=2为AA的两个特征值，行列式∣B∣=2|B|=2，则行列式∣(A+E)−1OO(2B)∗∣=\begin{vmatrix}(A+E)^{-1}&O\\O&(2B)^*\end{vmatrix}=
  4. 设A=[α1,α2,α3]A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]，α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3为线性无关的3维列向量，PP为3阶矩阵，且PA=[−α1,−2α2,−3α3]PA=[-\alpha_1,-2\alpha_2,-3\alpha_3]，则∣P−E∣=|P-E|=( ) A. 6 B. -6 C. 24 D. -24
  5. 设AA是nn阶实对称矩阵，r(A)=rr(A)=r，且满足A2=AA^2=A，f(x)=x2−2x−3f(x)=x^2-2x-3，则∣f(A)−6E∣=|f(A)-6E|=
  6. 设AA为3阶矩阵，若∣E−A∣=∣E+A∣=∣2E−A∣=0|E-A|=|E+A|=|2E-A|=0，则∣3E−A∣=|3E-A|=( ) A. -2 B. -8 C. 8 D. 11
  7. 设AA为3阶矩阵，λ1,λ2,λ3\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3是AA的3个不同的特征值，其对应的特征向量为ξ1,ξ2,ξ3\xi_1,\xi_2,\xi_3，α=ξ1+ξ2+ξ3\alpha=\xi_1+\xi_2+\xi_3，P=[α,Aα,A2α]P=[\alpha,A\alpha,A^2\alpha]. (1)证明PP可逆；(2)若(A3−A)α=0(A^3-A)\alpha=0，求∣A−3E∣|A-3E|