第18章 多元函数积分学

基础部分

1. 设平面曲线$z^2=2x$绕$x$轴旋转一周所得空间曲面$\Sigma$与平面$x=1$，$x=2$围成的空间区域为$\Omega$，则$I=\iiint\limits_{\Omega} \frac{1}{x^2+y^2+z^2} d v=$
2. 设$\Omega$是由上半球面$z=\sqrt{4-x^2-y^2}$与曲面$x^2+y^2=3z$所围成的空间有界闭区域，则$\Omega$的形心竖坐标$\bar{z}=$
3. 设$L$为圆周$x^2+y^2=1$，则$\oint_{L}(x^3+y^2) d s=$
4. 设$\Gamma$为曲面$x^2+y^2+z^2=1$与平面$x+y+z=1$的交线，则$\oint_{\Gamma}(y^2+2x-z) d s=$
5. 设$l$是从点$(1,1,1)$到点$(4,4,4)$的直线段，则$\int_{l} \frac{x d x+y d y+z d z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2-x-y+2z}}=$
6. 若$(2a x^3 y^3-3y^2+5) d x+(3x^4 y^2-2b x y-4) d y$是某函数$u(x,y)$的全微分，则$u(x,y)=$
7. 使得$\oint_{L}(2y^3-3y) d x-x^3 d y$的值最大的平面正向边界曲线$L$为（） A. $3x^2+y^2=1$ B. $2x^2+y^2=1$ C. $x^2+3y^2=1$ D. $x^2+2y^2=1$
8. 设$x>0$，$I=\int_{L} x(1+y\sin x) d x+\frac{f(x)}{x} d y$与路径$L$无关，$f(x)$有连续导数且$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$，当$L$是从点$A\left(\frac{\pi}{2},1\right)$到点$B(\pi,0)$的任一曲线时，$I=$
9. 设$D \subset \mathbb{R}^2$是单连通有界闭区域，$I(D)=\iint\limits_{D}(1-x^2-y^2) d x d y$取得最大值的积分域记为$D_1$。(1)求$I(D_1)$的值；(2)计算$\oint_{\partial D_1} \frac{(x e^{x^2+2y^2}+y) d x+(2y e^{x^2+2y^2}-x) d y}{x^2+2y^2}$，$\partial D_1$为$D_1$的正向边界。
10. 已知$\Omega=\{(x,y,z) | y^2+z^2 \leq1,0 \leq x \leq1\}$，$\Sigma$为$\Omega$的边界面且取外侧，则$\oiint_{\Sigma}(y^3+z\sin x) d z d x+(x^2 y-z^3) d y d z+(2x y+y^2 z) d x d y=$
11. 设$\Sigma$为上半球体$0 \leq z \leq\sqrt{a^2-x^2-y^2}(a>0)$的表面外侧，则曲面积分$\oiint_{\Sigma} x z^2 d y d z+(x^2 y-z^3) d z d x+(2x y+y^2 z) d x d y=$
12. 设$\Sigma=\{(x,y,z) | x^2+y^2+z^2=1,x\geq0,y\geq0\}$，指向右侧，则$\iint_{\Sigma} x d S=$
13. 设$\Sigma$是曲线$x=e^y(0 \leq y \leq a)$绕$x$轴旋转而成的旋转曲面，取后侧，则$I=\iint_{\Sigma} 2(1-x^2) d y d z+8x y d z d x-4x z d x d y=$
14. 设$\Sigma$为曲面$x=y^2+z^2(x \leq1)$的后侧，计算曲面积分$I=\iint_{\Sigma}(x-1) d y d z+(y-1)^3 d z d x+(z-1)^3 d x d y$。
15. 设曲面$\Sigma$为$z^2=x^2+y^2-1$介于$z=0$与$z=1$之间的部分，取外侧，$f(x)$为连续函数，计算$I=\iint_{\Sigma}[y f(x y)-2x] d y d z+\left[y^2-x f(x y)\right] d z d x+(z-1)^2 d x d y$。
16. 设空间曲线$\Gamma: \begin{cases}|x|+|y|=1 \\ z=\arctan (x+y)\end{cases}$，从$z$轴正向往$z$轴负向看，$\Gamma$的方向为逆时针，计算$I=\oint_{\Gamma}\left(x^2-y\right) d x+\left(2x+y^2\right) d y+z^2 d z$。

强化部分

1. 设$\Omega=\{(x,y,z) | x^2+y^2+z^2\leq1,x\geq0,y\geq0,z\geq0\}$，则$\iiint\limits_{\Omega}(x^2+2y^2+3z^2) dxdydz=$_____。
2. 设曲线$L$的方程为$2x=y^2(0 \leq y \leq1)$，则$\int_{L} y d s=$_____。
3. 设$L$为曲线$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}$，取逆时针方向，$I=\oint_{L} 4y d x+(x+y)^2 d y$，$J=\oint_{L} 4x d x+(x+y)^2 d y$，$K=\oint_{L} 4x y d x+(x+y)^2 d y$，则$I,J,K$的大小顺序为（） A. $I<K \leq J$ B. $J \leq K \leq I$ C. $I<J<K$ D. $K<I<J$
4. 已知有界闭区域$\Omega$由锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$与平面$z=1$围成，计算三重积分$I=\iiint\limits_{\Omega}(x+y+z)^2 d x d y d z$
5. 设$\Gamma$是空间圆周$\begin{cases}x^2+y^2+z^2=a^2 \\ x+y+z=\frac{3}{2}a\end{cases}(a>0)$，则$\oint_{\Gamma}(2y z+2z x+2x y) d s=$_____
6. 设$\Gamma$是球面$x^2+y^2+z^2=1$与平面$x=y$的交线，则$\oint_{\Gamma}(x^2+y^2) d s=$_____
7. 设$\Gamma$为球面$x^2+y^2+z^2=m^2$与平面$x+z=m(m>0)$的交线，计算$I=\oint_{\Gamma} x z(1+y z-x y) d s$
8. 设$D=\{(x,y) | x^2+y^2 \leq4\}$，$\partial D$为$D$的正向边界，则$\oint_{\partial D} \frac{(x e^{x^2+4y^2}+y) d x+(4y e^{x^2+4y^2}-x) d y}{x^2+4y^2}=$_____
9. 设函数$f(x)$，$g(x)$二阶导数连续，$f(0)=0$，$g(0)=0$，且对于平面上任一简单闭曲线$L$均有$\oint_{L}\left[y^2 f(x)+2y e^x+2y g(x)\right] d x+2[y g(x)+f(x)] d y=0$。(1)求$f(x)$，$g(x)$的表达式；(2)设$L_1$为任一条从点$(0,0)$到点$(1,1)$的曲线，计算$\int_{L_1}\left[y^2 f(x)+2y e^x+2y g(x)\right] d x+2[y g(x)+f(x)] d y$。
10. 设$P(x,y,z)$为球面$\Sigma: x^2+y^2+z^2-2z=0$上的动点，球面$\Sigma$在点$P(x,y,z)$处的法线与平面$x+z=0$平行。(1)求点$P$的轨迹$\Gamma$的方程；(2)计算曲线积分$\oint_{\Gamma} y^2 d x+z^2 d y+x^2 d z$
11. 已知$\Sigma$为曲面$4x^2+y^2+z^2=1(x \geq0,y \geq0,z \geq0)$的上侧，$L$为$\Sigma$的边界曲线，其方向与$\Sigma$的正法向量满足右手法则，计算曲线积分$I=\oint_{L}(y z^2-\cos z) d x+2x z^2 d y+(2x y z+x\sin z) d z$
12. 设曲面$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$与平面$z=-x$的交线为$L$，起点为$A(0,1,0)$，终点为$B(0,-1,0)$，则$\int_{L}(x+y-z) d x+|y| d z=$
13. 设$L$为曲线$y=2\sqrt{1-x^2}$上从点$(0,2)$到点$(1,0)$的一段弧，则曲线积分$\int_{L}(2y+1) d x+(3x+2) d y=$
14. 设函数$f(x,y)$在区域$D=\{(x,y) | x^2+4y^2 \leq4\}$上二阶偏导数连续，$\partial D$是$D$取正向的边界曲线，则$\oint_{\partial D}[f_{x}'(x,y)-y] d x+f_{y}'(x,y) d y=$______。
15. 设$y'=f(x,y)$是一条简单封闭曲线$L$（取正向），$f(x,y) \neq0$，其所围区域记为$D$，$D$的面积为$a,a>0$，则$I=\oint_{L} x f(x,y) d x-\frac{y}{f(x,y)} d y=$。
16. 设$\Gamma$为曲线$\begin{cases}x^2+y^2+z^2=a^2 \\ y=x\tan\theta\end{cases}$，其中$a>0$，$-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$且$\theta \neq0$，从$x$轴的正向看去，$\Gamma$的方向为顺时针方向。当$\theta$为何值时，$I=\oint_{\Gamma}(y-z) d x+(z-x) d y+(x-y) d z$最大？并求出最大值。
17. 设函数$f(x)$具有一阶连续导数，且对右半平面$x>0$内任意分段光滑简单闭曲线$L$，均有$\oint_{L} \frac{f(x) y^2 d y-y^3 d x}{2x^2+y^6}=0$。(1)求$f(x)$的表达式；(2)计算$\oint_{L_0} \frac{f(x) y^2 d y-y^3 d x}{2x^2+y^6}$，$L_0: 2x^2+y^2=1$
18. 设$L$为从点$A(-1,0)$到点$B(3,0)$的上半个圆周$(x-1)^2+y^2=2^2$，$y \geq0$，则$\int_{L} \frac{(x-y) d x+(x+y) d y}{x^2+y^2}=$
19. 设$f(x)$有连续导数，且$f(0)=0$，若对于平面内的任意简单封闭曲线$L$，均有曲线积分$\oint_{L}[f(x)-e^x] y^2 d x-2y f(x) d y=0$，则$f(x)=$
20. 设$I_1=\int_{L} f(x,y) d x+(6x y-6x) d y$，$I_2=\int_{L}(6x^2 y+6x y+x) d x+f(x,y) d y$。已知曲线积分$I_1$与$I_2$均在整个$xOy$平面内与路径无关，且$f(0,0)=0$，求函数$f(x,y)$的极值。
21. 设$\Sigma$为球面$x^2+y^2+z^2=m$被平面$z=\frac{\sqrt{m}}{3}$所截下的顶部，计算$\iint_{\Sigma}(|x|y+\frac{1}{z}) d S$
22. 设$\Sigma$是由直线$\begin{cases}x=0 \\ y=0\end{cases}$绕$\begin{cases}x=t \\ y=t \\ z=t\end{cases}$（$t$为参数）旋转一周得到的曲面，$\Sigma_T$是$\Sigma$介于平面$x+y+z=0$与$x+y+z=1$之间部分的外侧。计算曲面积分$I=\iint_{\Sigma_T} x d y d z+(y+1) d z d x+(z+2) d x d y$
23. 设锥面$\Sigma$的顶点是$A(0,1,1)$，准线是$\begin{cases}x^2+y^2=1 \\ z=0\end{cases}$，直线$L$过顶点$A$和准线上任一点$M_1(x_1,y_1,0)$，$\Omega$是$\Sigma(0 \leq z \leq1)$与平面$z=0$所围成的锥体。求：(1)直线$L$和$\Sigma$的方程；(2)$\Omega$的形心坐标。
24. 设锥面$\Sigma$的顶点为原点，准线为曲线$\Gamma: \begin{cases}z=y^2(|y| \leq1) \\ x=1\end{cases}$。(1)求$\Sigma$的方程；(2)计算$I=\iint_{\Sigma} 2x^2 d y d z+x y d z d x+(z+1) d x d y$，$\Sigma$取上侧。
25. 设$a,b$为实数，函数$f(x,y)=a x^2+b y^2$在点$(1,1)$处沿方向$\boldsymbol{l}=\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}$的方向导数最大，最大值为$2\sqrt{2}$，若$\Sigma$为曲面$x^2+z^2=2z$被曲面$z=\sqrt{f(x,y)}$所截取的部分。(1)求$a,b$的值；(2)计算$\iint_{\Sigma} z d S$
26. 设$\Sigma$是柱面$x^2+y^2=1$介于平面$z=0$，$z=2$之间的部分，方向向外。记$I_1=\iint_{\Sigma} x^2 d S$，$I_2=\iint_{\Sigma} z^2 d S$，$I_3=\iint_{\Sigma}(x^2+z^2) d y d z$，则（） A. $I_1>I_2>I_3$ B. $I_2>I_1>I_3$ C. $I_3>I_1>I_2$ D. $I_3>I_2>I_1$
27. 设$P=2x z f(y+z)-y^3$，$Q=2y z f(y+z)+x^3$，$R=\int_{0}^{x^2+y^2} f(z-t) d t$，其中$f$具有一阶连续导数。$L$为曲面$z=x^2+y^2$与平面$y+z=1$的交线，从$z$轴正向往下看为逆时针方向，计算$\oint_{L} P d x+Q d y+R d z$
28. 设$\Sigma$为曲面$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$，$\alpha,\beta$分别为曲面$\Sigma$的外法线向量与$x$轴，$z$轴的夹角，则$\iint_{\Sigma}(|x y|\cos\alpha+z^2\cos\beta) d S=$
29. 设曲面$\Sigma: z=1-x^2-y^2(z \geq-3)$，取上侧，求曲面积分$I=\iint_{\Sigma} y z \sqrt{x^2+y^2+z^2} d y d z+x z \sqrt{x^2+y^2+z^2} d z d x+\left(x^2 y^2-2x y \sqrt{x^2+y^2+z^2}\right) d x d y$。