第13章 多元函数微分学

基础部分

1. 设$z=\arctan[xy+\cos(x+y)]$，则$dz|_{(0,\pi)}=$
2. 设函数$f(u)$可导，$z=f(\cos y-\cos x)+xy$，则$\frac{1}{\sin x}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{\sin y}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}=$
3. 设函数$f(u)$可导，$z=yf(x^{y^2})$，则$2x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=$
4. 设函数$z=z(x,y)$由方程$(x+1)z+2y\ln z-\arctan(xy)=1$确定，则$\frac{\partial z}{\partial x}|_{(0,2)}=$
5. 设$F(x,y)=\int_{0}^{x-y}(x-y-t)e^tdt$，则$\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=$
6. 设函数$f(x,\sin x)=x+\sin x$，$f_x'(x,y)=1+2\cos x$，则$f_y'(x,y)|_{y=\sin x}=$
7. 设函数$f(x,y)$具有二阶连续偏导数，且满足$\frac{\partial^2[f(x,y)]}{\partial x\partial y}=1$，$f(0,y)=\sin y$，$f(x,0)=\sin x$，则$f(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})=$
8. 设$f(x+y,\frac{x}{y})=x^2-xy+y^2$，则$f_x'(x,y)=$
9. 设函数$f(x,y)=\sqrt{|xy|}$，求$\frac{\partial[f(x,y)]}{\partial x}$
10. 设$Q(x,y)=\frac{x}{y^2},y>0$，$P(x,y)dx+Q(x,y)dy$是某二元函数的全微分，则$P(x,y)$可取为（） A. $y^2-\frac{x^2}{y^3}$ B. $x^2-\frac{1}{y}$ C. $\frac{1}{y^2}-\frac{x^2}{y^3}$ D. $\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y}$
11. 设$z=f(u)$可导，$u=u(x,y)$由方程$u=\varphi(u)+\int_{y}^{x}P(t)dt$所确定，其中函数$P$连续，$\varphi$有连续导数，且$\varphi'(u)\neq1$，则$P(x)\frac{\partial z}{\partial y}+P(y)\frac{\partial z}{\partial x}=$
12. 设$f$具有二阶连续偏导数，且$u=f(x^2+y,xy)$，则$u''_{xy}=$
13. 设函数$f(u,v)$具有二阶连续偏导数，函数$g(x,y)=xy-f(\frac{y}{x},\frac{x}{y})$，求$x^2\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+2xy\frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y}+y^2\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$
14. 设函数$z=xyf(\frac{y}{x})$，其中$f(u)$可导，且满足$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=y^2(\ln y-\ln x)$，求：(1)$f(x)$的表达式；(2)$f(x)$与$x$轴所围图形的面积及该图形绕$x$轴旋转一周所得旋转体的体积
15. 已知函数$u(x,y)$满足$2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+3\frac{\partial u}{\partial x}+3\frac{\partial u}{\partial y}=0$，求$a,b$的值使得在变换$u(x,y)=v(x,y)e^{ax+by}$后，上述等式可化为函数$v(x,y)$的不含一阶偏导数的等式
16. 设函数$u=f(x,y)$具有二阶连续偏导数，作变量代换$\xi=x$，$\eta=y-x$，将方程$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$化为以$\xi,\eta$为自变量的方程
17. 设函数$z=z(x,y)$由方程$F(x+\frac{z}{y},y+\frac{z}{x})=0$确定，且$F(u,v)$具有连续偏导数，求$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}$
18. 设$f(x,y)$在有界闭区域$D$上连续，在$D$内有一阶偏导数，若$f(x,y)$在$D$的边界$\partial D$上的值均为0，且$\frac{\partial[f(x,y)]}{\partial x}+\frac{\partial[f(x,y)]}{\partial y}=f(x,y)$，则$f(x,y)$（） A. 在$D$内有正的最大值 B. 在$D$内有负的最小值 C. 只在$D$的边界$\partial D$上取到最大值 D. 在$D$的边界$\partial D$上可以取到最小值
19. 设$f(x,y)$在平面有界闭区域$D$上具有二阶连续偏导数，且满足$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}>0$与$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0$，则（） A. $f(x,y)$的最小值点和最大值点都在$D$的内部 B. $f(x,y)$的最小值点和最大值点都在$D$的边界上 C. $f(x,y)$的最小值点在$D$的内部，最大值点在$D$的边界上 D. $f(x,y)$的最大值点在$D$的内部，最小值点在$D$的边界上
20. 设$f(x,y)=x^4+y^4-(x+y)^2$，且$(1,1)$与$(-1,-1)$为函数$f(x,y)$的两个驻点，则（） A. $f(1,1)$与$f(-1,-1)$都是极大值 B. $f(1,1)$与$f(-1,-1)$都是极小值 C. $f(1,1)$是极大值，$f(-1,-1)$是极小值 D. $f(1,1)$是极小值，$f(-1,-1)$是极大值
21. 求函数$f(x,y)=x^3-3xy-y^2-y-9$的极值
22. 求函数$f(x,y)=x^2(2x^2-4y-\frac{1}{7}x^5)+y^2$的极值
23. 设$f(x,y)$满足$f_x'(x,y)=y(1+x)e^{x-y}$，$f(1,y)=ye^{1-y}$，求：(1)$f(x,y)$的表达式；(2)$f(x,y)$的极值
24. 求曲线$x^2+xy+y^2+2x-2y-12=0$上的点到原点距离的最大值和最小值

强化部分

1. 设函数$f(x,y)=|x|+y|y|$，则（） A. $f_x'(0,0)$存在，$f_y'(0,0)$存在 B. $f_x'(0,0)$存在，$f_y'(0,0)$不存在 C. $f_x'(0,0)$不存在，$f_y'(0,0)$存在 D. $f_x'(0,0)$不存在，$f_y'(0,0)$不存在
2. 设$f(x,y)$具有一阶偏导数，且对任意的$(x,y)$都有$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}>0$，$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}<0$，则（） A. $f(0,0)>f(1,1)$ B. $f(0,0)<f(1,1)$ C. $f(0,1)>f(1,0)$ D. $f(0,1)<f(1,0)$
3. 已知$F(a,b)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(a\sin x-\sin^2 x+b)^2\cos xdx$，则使得$F(a,b)$取得最小值的$a,b$分别为（） A. $1,\frac{1}{6}$ B. $1,-\frac{1}{6}$ C. $-1,\frac{1}{6}$ D. $-1,-\frac{1}{6}$
4. 若$f(x,y)$在点$(0,0)$处的某个邻域内有定义，$f(0,0)=0$，且$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=a$，其中$a$为常数，(1)讨论函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处的连续性；(2)当$a$为何值时，函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微？并求$df|_{(0,0)}$
5. 设函数$u(x,y)$的全微分$du=[e^x+f'(x)]ydx+f'(x)dy$，其中$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内具有二阶连续导数，且$f(0)=4$，$f'(0)=3$，求$f(x)$
6. 已知$f(u)$在$(0,+\infty)$内有二阶连续导数，且$z=f(\frac{y}{x})$满足$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$，求$f(u)$的表达式
7. 设函数$z=f(x,y)$连续，且$\lim\limits_{(x,y)\to(1,0)}\frac{f(x,y)-3x+y+5}{(x-1)^2+y^2}=\frac{1}{4}$，则$dz|_{(1,0)}=$
8. 设函数$f(u,v)$具有连续偏导数，$z=f(xy,x+y)$，若$dz|_{x=2,y=3}=6dx+5dy$，则$f_u'(6,5)+f_v'(6,5)=$
9. 设函数$z=f(x,y)(xy\neq0)$满足$f(xy,\frac{y}{x})=y^2(x^2-1)$，则$dz=$
10. 设函数$f(x,y)=\int_{0}^{xy}e^{xt^2}dt$，则$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}|_{(1,1)}=$
11. 设$z=z(x,y)$是由$z+e^z=xy$所确定的二元函数，则$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}|_{z=0}=$
12. 设$z=z(x,y)$是由方程$e^{x-2y+3z}-2xe^{-y}\cos z=1$所确定的函数，则$dz|_{(0,0)}=$
13. 已知$\frac{aydy+xdx}{x^2+y^2-1}(x^2+y^2<1)$是某二元函数的全微分，则$a=$（） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
14. 设函数$z=z(x,y)$由方程$\sin(x-y)+\int_{1}^{z}e^{-t^2}dt=0$确定，则$dz|_{(0,0)}=$
15. 设$z=z(x,y)$是由方程$z+\ln z-\int_{y}^{x}e^{-t^2}dt=1$确定的函数，计算$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}|_{(0,0)}$
16. 设$f$与$g$均可微，$z=f[xy,\ln x+g(xy)]$，则$x\frac{\partial z}{\partial x}-y\frac{\partial z}{\partial y}=$（） A. $f_1'$ B. $f_2'$ C. $f_1'+f_2'$ D. $f_1'-f_2'$
17. 设$F(u,v)$具有一阶连续偏导数，且$z=z(x,y)$由方程$F(\frac{x}{z},yz)=0$所确定，设题中出现的分母不为零，则$x\frac{\partial z}{\partial x}-y\frac{\partial z}{\partial y}=$（） A. 0 B. $z$ C. $\frac{1}{z}$ D. 1
18. 设$z=z(x,y)$是由方程$3x+xyz+z^3=1$所确定的函数，则$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}|_{\substack{x=0\\y=0}}=$
19. 已知方程$2z-e^z+1+\int_{y}^{x^2}\sin(t^2)dt=0$在$(x_0,y_0,z_0)=(1,1,0)$的某个邻域中确定了一个隐函数$z=z(x,y)$，求$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}|_{(1,1)}$
20. 设$f(u,v)$存在二阶连续偏导数，$z=z(x,y)$是由方程$f(z-x,z-y)=1$确定的隐函数，求$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$
21. 设$u=e^{x+y+z}$，其中$y(x)$和$z(x)$由方程组$\begin{cases}\int_{0}^{z}e^{t^2}dt+\ln(1+y)=0\\e^{y+z}=e+z\ln z\end{cases}$确定，求$\frac{du}{dx}|_{x=0}$
22. 函数$f(x,y)=x^2+y^2$在约束条件$(x-1)^3=y^2$下（） A. 有最大值，无最小值 B. 无最大值，有最小值 C. 有最大值，有最小值 D. 无最大值，无最小值
23. $f(x,y)=x^4+y^4-(x+y)^2$有（） A. 2个极小值点，1个极大值点 B. 1个极小值点，1个极大值点 C. 3个极小值点，无极大值点 D. 2个极小值点，无极大值点
24. $f(x,y)=\begin{cases}(y-e^{-\frac{1}{x^2}})(y-3e^{-\frac{1}{x^2}})y^2, & x\neq0\\0, & x=0\end{cases}$，则点$(0,0)$（） A. 是$f(x,x)$的极小值点，也是$f(x,y)$的极小值点 B. 是$f(x,x)$的极小值点，不是$f(x,y)$的极小值点 C. 不是$f(x,x)$的极小值点，是$f(x,y)$的极小值点 D. 不是$f(x,x)$的极小值点，也不是$f(x,y)$的极小值点
25. 设$f(x,y)=x^2+y^2(1+x)^3$，则点$(0,0)$（） A. 是$f(x,y)$的唯一极小值点，也是其最小值点 B. 是$f(x,y)$的唯一极大值点，也是其最大值点 C. 是$f(x,y)$的唯一极小值点，但不是其最小值点 D. 是$f(x,y)$的唯一极大值点，但不是其最大值点
26. 求由方程$2x^2+2y^2+z^2+8xz-z+8=0$所确定的函数$z=z(x,y)$的极值，并指出是极大值还是极小值
27. 设$f(x,y)=3x+4y-ax^2-2ay^2-2bxy$，当$a,b$满足何种条件时，$f(x,y)$有唯一的极大值，并说明理由
28. 求$|z|$在约束条件$\begin{cases}x^2+9y^2-2z^2=0\\x+3y+3z=5\end{cases}$下的最大值与最小值
29. 求曲线$C:\begin{cases}x^2+y^2-2z^2=0\\x+y+3z=5\end{cases}$上距离$xOy$平面最远和最近的点的坐标
30. 求函数$u=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$在约束条件$x+2y=1$与$x^2+2y^2+z^2=1$下的最值
31. 求曲线$x^2-xy+y^2=1(x>0,y>0)$上的一点$P$，使该点处的切线与$x$轴，$y$轴在第一象限所围的图形的面积最小
32. 设曲线$L_1:x^2+y^2=2y$内切于曲线$L_2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$，求$a,b$的值，使$L_2$所围面积最小
33. 设$u=u(x,y)$具有二阶连续偏导数，且满足$\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}=x^2y$，$u(x,0)=-x^2+2$，$u(1,y)=\cos y$，求：(1)$u=u(x,y)$的表达式；(2)$u(x,y)-\cos y$的极值
34. 设函数$f(x,y)$具有二阶连续偏导数，且满足$f(x,0)=x^2$，$f_y'(x,0)=\sqrt{2}x$，$f_{yy}''(x,y)=4$，求$f(x,y)$在约束条件$x^2+2y^2=4$下的最大值与最小值
35. 设$u=xz+ay^3,z\geq0$，且$x^2+y^2+z^2=1$，(1)当$a=\frac{1}{3}$时，求$u$的最大值；(2)当$a=t$（$t$为变量）时，$u$是否有最大值，若有，求出最大值，若没有，说明理由
36. 设$D=\{(x,y)|x+y\leq3,x\geq0,y\geq0\}$，求函数$f(x,y)=2x^3+2y^3-6x-6y+5$在区域$D$上的最大值与最小值
37. 设$f(x,y)=4x^2(x-2y)+16y(xy-3)-33x$，求其在平面区域$D=\{(x,y)|0\leq y\leq x\leq3\}$上的取值范围
38. 设函数$u=u(x,y)$在区域$D=\{(x,y)|2x^2+3y^2\leq4\}$上连续，在区域$D$的内部有二阶连续偏导数，且满足$-2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-3\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=u^2$，在区域$D$的边界$2x^2+3y^2=4$上$u(x,y)\geq0$，证明：当$2x^2+3y^2\leq4$时，$u(x,y)\geq0$
39. 已知可微函数$f(u,v)$满足$\frac{\partial[f(u,v)]}{\partial u}+\frac{\partial[f(u,v)]}{\partial v}=6(u+v)-3u^2$，且$f(u,0)=3u^2-u^3$，记$g(x,y)=f(x,x-y)$，(1)计算$\frac{\partial[g(x,y)]}{\partial x}$；(2)求$f(x,y)$在有界闭区域$D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq16\}$上的最值
40. 设$z=z(u,v)$具有二阶连续偏导数，且$z=z(x-y,x+2y)$满足$2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}$，$\frac{d[z(0,v)]}{dv}=\frac{1}{3}z(0,v)+e^{\frac{v}{3}}$，$z(u,0)=\sin u$，(1)证明$\frac{\partial^2 z}{\partial u\partial v}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\partial z}{\partial u}$；(2)求$z=z(u,v)$的表达式