第11章 一元函数积分学的应用(二)——积分等式与积分不等式

基础部分

1. 设$a>0$则在$[0,a]$上方程$\int_{0}^{x}\sqrt{4a^{2}-t^{2}}dt+\int_{a}^{x}\frac{1}{\sqrt{4a^{2}-t^{2}}}dt=0$实根个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 设函数$f(x)$具有二阶导数，$f'(x)>0$，$f''(x)<0$，记$I_1=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin xdx$，$I_2=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos xdx$，则（） A. $I_1>0,I_2<0$ B. $I_1<0,I_2>0$ C. $I_1<0,I_2<0$ D. $I_1>0,I_2>0$
3. 设$f(x)$为连续函数，$T>0$，证明：$f(x)$以$T$为周期的充分必要条件是任给常数$a$，$\int_{a}^{a+T}f(x)dx$为常数
4. 设$f(x)$连续，证明：$\int_{0}^{x}[\int_{0}^{t}f(u)du]dt=\int_{0}^{x}f(t)(x-t)dt$
5. 设$f(x),g(x)$连续，$x\in[a,b]$，证明至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使$f(\xi)\int_{a}^{\xi}g(t)dt=g(\xi)\int_{\xi}^{b}f(t)dt$
6. 证明：$\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^4}=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx=\frac{\sqrt{2}}{4}\pi$
7. 已知函数$f(x),g(x)$可导，且$f'(x)>0$，$g'(x)<0$，则（） A. $\int_{-1}^{0}f(x)g(x)dx>\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx$ B. $\int_{-1}^{0}|f(x)g(x)|dx>\int_{0}^{1}|f(x)g(x)|dx$ C. $\int_{-1}^{0}f[g(x)]dx>\int_{0}^{1}f[g(x)]dx$ D. $\int_{-1}^{0}f[f(x)]dx>\int_{0}^{1}g[g(x)]dx$
8. 设$f(x),g(x)$在$[0,1]$上连续，则使得$\int_{0}^{1}f(x)dx\int_{0}^{1}g(x)dx\geq\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx$成立的条件是（） A. $f(x),g(x)$均为增函数 B. $f(x),g(x)$均为减函数 C. $f(x)$为减函数，$g(x)$为偶函数 D. $f(x)$为奇函数，$g(x)$为增函数
9. 设$f'(x)$在$[a,b]$上连续，$f(a)=f(b)=0$，证明：当$x\in(a,b)$时，$|f(x)|\leq\frac{1}{2}\int_{a}^{b}|f'(x)|dx$
10. 设$f'(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=0$，证明：$|\int_{0}^{1}f(x)dx|\leq\frac{M}{2}$，其中$M=\max\limits_{0\leq x\leq1}|f'(x)|$
11. 设$f(x)=\int_{x}^{x+1}\sin u^2du$，证明：当$x>0$时，有$|f(x)|\leq\frac{1}{x}$

强化部分

1. 设$f(x)$在$[0,1]$上可导，当$0\leq x\leq1$时，$f'(x)+f^2(x)\geq0$，$f(0)>0$，则（） A. $\int_{0}^{1}f(x)dx\leq\ln\frac{f(1)}{f(0)}$ B. $\int_{0}^{1}f(x)dx\geq\ln\frac{f(0)}{f(1)}$ C. $\int_{0}^{1}f(x)dx\leq\ln f(1)$ D. $\int_{0}^{1}f(x)dx\geq\ln f(0)$
2. 设函数$f(x)$是$[0,1]$上的连续函数，利用分部积分法证明：$\int_{0}^{1}[\int_{x^2}^{\sqrt{x}}f(t)dt]dx=\int_{0}^{1}(\sqrt{x}-x^2)f(x)dx$
3. 设$f(x)$是$[0,1]$上的可导函数，$f(0)=f(1)=1$，$\max\limits_{0\leq x\leq1}|f'(x)|=1$，则（） A. $\frac{1}{4}<\int_{0}^{1}f(x)dx<\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{2}<\int_{0}^{1}f(x)dx<\frac{3}{4}$ C. $\frac{3}{4}<\int_{0}^{1}f(x)dx<\frac{5}{4}$ D. $\frac{5}{4}<\int_{0}^{1}f(x)dx<\frac{7}{4}$
4. 证明：$\int_{0}^{1}(\int_{x}^{\sqrt{x}}\frac{\sin t}{t}dt)dx=1-\sin1$
5. 设函数$f(x),g(x)$在区间$[a,b]$上连续，对任意的$x\in[a,b]$，满足$\int_{a}^{x}f(t)dt\leq\int_{a}^{x}g(t)dt$，证明：$\int_{a}^{b}xf(x)dx\leq\int_{a}^{b}xg(x)dx$
6. 设$f(x)$在$[a,b]$上可导，且$f'(x)$连续，$f(a)=0$，证明：$\int_{a}^{b}f^2(x)dx\leq\frac{(b-a)^2}{2}\int_{a}^{b}[f'(x)]^2dx$
7. 设$f(x)$是$[0,1]$上单调增加的连续函数，则（） A. $\int_{0}^{\int_{0}^{1}e^{-x^2}dt}f(x)dx\geq\int_{0}^{1}f(x)e^{-x^2}dx$ B. $\int_{0}^{\int_{0}^{1}e^{-x^2}dt}f(x)dx\leq\int_{0}^{1}f(x)e^{-x^2}dx$ C. $\int_{0}^{\int_{0}^{1}e^{-x^2}dt}f(x)dx\geq\int_{0}^{1}f(x)dx$ D. $\int_{0}^{\int_{0}^{1}e^{-x^2}dt}f(x)dx\leq\int_{0}^{1}f(x)dx$
8. 设$f(x)$在$[0,\frac{3}{2}\pi]$上连续，在$(0,\frac{3}{2}\pi)$内是函数$\sin x$的一个原函数，$f(0)=0$ (1)证明$f(\frac{3}{2}\pi)>0$；(2)求方程$\int_{1}^{x}\frac{\sin t}{t}dt=\ln x^2$的实根个数
9. 设$f(x)$在$[0,1]$上具有二阶导数，$f(0)=f(1)=0$，$f''(x)<0$，$0\leq f(x)\leq1$，记曲线$y=f(x)$在$[0,1]$上的长度为$a$，证明：(1)存在$\xi\in(0,1)$，使得对任意$x\in(0,\xi)$，有$f'(x)>0$；(2)$a<3$