第7章 一元函数微分学的应用(三) 物理应用

基础部分

1. 一动点 $P$ 在曲线 $9 y=4 x^{2}$ 上运动，设坐标轴的单位长度是$1\mathrm{cm}$，若点 $P$ 横坐标的变化率是$30\mathrm{cm/s}$，则当点 $P$ 经过点$(3,4)$ 时，点 $P$ 到原点距离的变化率为
2. 设二阶可导函数 $y=f(t)$ 表示某人在10分钟内心跳次数的变化曲线，则关于此人心跳次数的增长速度，说法正确的是 A. 0～3分钟增速变大；7～10分钟增速变大 B. 0～3分钟增速变大；7～10分钟增速变小 C. 0～3分钟增速变大；7～10分钟增速变大 D. 0～3分钟增速变小；7～10分钟增速变小
3. 已知一容器中水增加的速率为 $1\mathrm{m^3/min}$ 且水的体积 $V$ 与水面高度 $y$ 满足 $V=\frac{\pi}{2} y^{2}$，当水面上升到高为 $1\mathrm{m}$ 时，求水面高度上升的速率。
4. 已知某圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为$2\mathrm{cm/s}$，$-3\mathrm{cm/s}$，且圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为 $-100\pi\mathrm{cm^3/s}$，$40\pi\mathrm{cm^2/s}$，则圆柱体的底面半径与高分别为 A. $5\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$ B. $10\mathrm{cm},5\mathrm{cm}$ C. $5\mathrm{cm},10\mathrm{cm}$ D. $10\mathrm{cm},10\mathrm{cm}$
5. 一物体在距离同一水平面上的地面观测器 $10\mathrm{m}$ 处离地匀速垂直上升，其速度为$a\mathrm{m/s}$。若该物体上升到离地 $20\mathrm{m}$ 时，观测器视线倾角的变化率为 $\frac{1}{10}$，则 $a=$ A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

强化部分

1. 质点 $P$ 沿抛物线 $x=y^2(y>0)$ 移动，$P$ 的横坐标 $x$ 的变化速度为$5\mathrm{cm/s}$。当 $x=9$ 时，点 $P$ 到原点 $o$ 的距离变化速度为
2. 球的半径以$5\mathrm{cm/s}$ 的速度匀速增长，当球的半径为$50\mathrm{cm}$ 时，球的表面积和体积的增长速度各是多少？
3. 已知曲线 $L:y=\ln \sqrt{x}(2\leq x\leq4)$，在$L$ 上的任意点 $P(x,y)$ 作切线，记切线与曲线 $L$ 在 $2\leq x\leq4$ 时所围成的有界区域的面积为 $S$ (1) 求一点 $P_0$，使上述面积 $S$ 关于 $x$ 的变化率为零； (2)当点 $P(x,y)$ 在曲线上移动至 $(e,\frac{1}{2})$ 时，横坐标关于时间的变化率为1，求此时面积关于时间的变化率 $\frac{dS}{dt}$。