第6章 一元函数微分学的应用(二)——中值定理、微分等式与微分不等式

基础部分

1. 设函数 $f(x)=x(2x-3)(4x-5)$，则方程 $f'(x)=0$ 的实根个数为（） A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $3$
2. 若方程 $x-e\ln x-k=0$ 在 $(0,1]$ 上有解，则 $k$ 的最小值为（） A. $-1$ B. $\frac{1}{e}$ C. $1$ D. $e$
3. 设函数 $f(x)=ae^x-bx(a>0)$ 有两个零点，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（） A. $(0,\frac{1}{e})$ B. $(0,e)$ C. $(\frac{1}{e},+\infty)$ D. $(e,+\infty)$
4. 已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{x}{e}+a(x>0)$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是（） A. $(-1,0)$ B. $(0,1)$ C. $(-\infty,0)$ D. $(0,+\infty)$
5. 设存在 $0<\theta<1$，使得 $\arcsin x=\frac{x}{\sqrt{1-(\theta x)^2}}(-1\leq x\leq1)$，则 $\lim\limits_{x\to0}\theta=$
6. 设 $x>0$，证明 $\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x$
7. 设 $x>0$，证明 $\frac{1}{1+x}<\ln(1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}$
8. 设函数 $f(x)$ 可导，且 $|f'(x)|\leq1$，$f(0)=1$，证明 $|f(x)|\leq1+x,0<x<1$
9. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)(a>0)$ 上一阶导数连续，$\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=0$，则（） A. $\lim\limits_{x\to+\infty}[f(2x)+f(x)]=0$ B. $\lim\limits_{x\to+\infty}[f(2x)-f(x)]=0$ C. $\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x+1)-f(x)]=0$ D. $\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x+1)+f(x)]=0$
10. 设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处一阶导数连续，且 $f'(1)=2$，则 $\lim\limits_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{\ln x}=$
11. 设 $f'(1)=2$，计算 $\lim\limits_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{\ln x}$，并指出与第10题的区别
12. (1) 将 $\sin x$ 在 $x=0$ 处展开成一阶带拉格朗日余项的泰勒公式； (2) 证明 $|\frac{\sin x}{x}-1|\leq\frac{1}{2}|x|,x\neq0$
13. 求曲线 $y=e^{-\frac{x}{2}}$ 与曲线 $y=x^3-3x$ 的交点个数
14. 设 $f(x)$ 是连续可导函数，当 $0<a<x<b$ 时，恒有 $xf'(x)<f(x)$，则（） A. $af(x)>xf(a)$ B. $bf(x)>xf(b)$ C. $xf(x)>bf(b)$ D. $xf(x)<af(a)$
15. 方程 $x^4+4x+b=0$ 有两个不等的实根，则 $b$ 的取值满足（） A. $b<3$ B. $b>3$ C. $b<-3$ D. $b>-3$
16. 设常数 $k>0$，函数 $f(x)=\frac{1}{\ln x-\frac{x}{e}+k}$ 在 $(0,+\infty)$ 内的间断点个数为（） A. $3$ B. $2$ C. $1$ D. $0$
17. 设 $f(x),g(x)$ 为恒大于零的可导函数，且 $f'(x)g(x)<f(x)g'(x)$，则当 $a<x<b$ 时，下列不等式恒成立的是（） A. $f(a)g(x)>f(x)g(b)$ B. $f(x)g(a)>f(b)g(x)$ C. $f(a)g(b)>f(b)g(x)$ D. $f(x)g(b)>f(b)g(x)$
18. 设 $0\leq x\leq1,p>1$，证明 $\frac{1}{2^{p-1}}\leq x^p+(1-x)^p\leq1$
19. 对于 $k$ 的不同取值情况，确定方程 $x^3-3x+k=0$ 实根的个数，并证明你的结论
20. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导 $(a>0)$，证明：在 $(a,b)$ 内 $2x[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(x)$ 至少有一个实根
21. 设 $a_0+\frac{a_1}{2}+\cdots+\frac{a_n}{n+1}=0(a_i$ 为实数，$i=0,1,2,\cdots,n)$，则在区间 $(0,1)$ 内，方程 $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$（） A. 没有实根 B. 至少有一个实根 C. 仅有一个实根 D. 是否有实根不能判定
22. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，$c\in(a,b)$，证明： (1) 存在一点 $\xi\in(a,c)$，使得 $f(c)-f(a)=f'(\xi)(c-a)$； (2) 存在一点 $\eta\in(a,b)$，使得 $f(b)-f(a)=f'(\eta)(b-a)$ 且 $\eta>\xi$

强化部分

1. 设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，对于以下结论： ①若 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ 存在，则 $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)$ 存在； ②若 $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)$ 存在，则 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ 存在； ③若 $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=a\neq0$，则 $f(x)$ 在 $x\to+\infty$ 时无界； ④若 $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=0$，则 $f(x)$ 在 $x\to+\infty$ 时有界 正确的个数为（） A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$
2. 设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，对于以下结论： ①若 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ 存在，$\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)$ 存在，则 $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=0$； ②若 $\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)+f'(x)]$ 存在，则 $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=0$ 正确的说法是（） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①与②均正确 D. ①与②均错误
3. 设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上可导，$f(0)=0,f(1)=1$，且 $f(x)$ 不恒等于 $x$，证明：存在 $\xi\in(0,1)$，使得 $f'(\xi)>1$
4. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导 (1) 若 $f(0)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$，求证：存在 $\xi\in(0,+\infty)$，使 $f'(\xi)=0$； (2) 若 $0\leq f(x)\leq\ln\frac{2x+1}{x+\sqrt{1+x^2}}$，求证：存在 $\xi\in(0,+\infty)$，使 $f'(\xi)=\frac{2}{2\xi+1}-\frac{1}{\sqrt{1+\xi^2}}$
5. 设正值函数 $f(x)$ 二阶可导且满足 $[f'(x)]^2>f(x)f''(x)$，函数 $f(x)-x$ 在 $x=0$ 处取得极值 $1$，证明 $f(x)\leq e^x$
6. 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上二阶可导，且 $f''(x)\geq0$，证明： (1) 对于任意 $x_0,x\in(-\infty,+\infty)$，有 $f(x)\geq f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$； (2) 若存在常数 $M>0$，使得任意 $x\in(-\infty,+\infty)$，均有 $|f(x)|\leq M$，则 $f(x)$ 为常值函数
7. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，$|f''(x)|\leq M,x\in[0,1],M>0$，$f(0)=f(1)=0$，证明： (1) $|f'(x)|\leq\frac{M}{2},x\in[0,1]$； (2) 若 $f(\frac{1}{2})=0$，则 $|f'(x)|<\frac{M}{2},x\in[0,1]$
8. 设函数 $f(x)$ 在区间 $[-2,2]$ 上可导，且 $f'(x)>2f(x)>0$，则（） A. $\frac{f(-2)}{f(-1)}>1$ B. $\frac{f(0)}{f(-1)}>e^2$ C. $\frac{f(1)}{f(-1)}<e^2$ D. $\frac{f(2)}{f(-1)}<e^3$
9. 若可导函数 $f(x)$ 满足 $f'(x)<2f(x)$，则当 $b>a>0$ 时，有（） A. $b^2f(a)>a^2f(b)$ B. $b^2f(\ln a)>a^2f(\ln b)$ C. $b^2f(a)<a^2f(b)$ D. $b^2f(\ln a)<a^2f(\ln b)$
10. 设 $f(x)=\int_{0}^{x}e^{t^2}dt,x\geq0$ (1) 证明 $\int_{0}^{x}e^{t^2}dt=xf'[x\cdot\theta(x)],0<\theta(x)<1,x>0$； (2) 求 $\lim\limits_{x\to0^+}\theta(x)$
11. 设 $f(x)$ 在 $[2,4]$ 上一阶可导且 $f'(x)\geq M>0$，$f(2)>0$，证明： (1) 对任意的 $x\in[3,4]$，均有 $f(x)>M$； (2) 存在 $\xi\in(3,4)$，使得 $f(\xi)>M\cdot\frac{e^{\xi-3}}{e-1}$
12. 设函数 $y=f(x)$ 在区间 $(\alpha,\beta)$ 内二阶可导，且其图像在 $(\alpha,\beta)$ 内有三个点满足关系 $y=ax^2+bx+c$，证明：必然存在一个点 $\xi\in(\alpha,\beta)$，使得 $f''(\xi)=2a$
13. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\int_{0}^{1}f(x)dx=0$，则（） A. 当 $f'(x)<0$ 时，$f(\frac{1}{2})<0$ B. 当 $f''(x)<0$ 时，$f(\frac{1}{2})<0$ C. 当 $f'(x)>0$ 时，$f(\frac{1}{2})<0$ D. 当 $f''(x)>0$ 时，$f(\frac{1}{2})<0$
14. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $f(0)=f(1)=0$，在 $(0,1)$ 内二阶可导且 $f''(x)<0$，记 $M=\max\limits_{0\leq x\leq1}\{f(x)\}$ (1) 证明对任意正整数 $n$，存在唯一的 $x_n\in(0,1)$，使得 $f'(x_n)=\frac{M}{n}$； (2) 对(1)中得到的 $\{x_n\}$，证明 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ 存在，且 $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=M$
15. 设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上二次可微，证明：对任意 $x\in(a,b)$ 及适当小的正数 $h$（使 $x+h,x-h\in(a,b)$），不等式 $f(x)\leq\frac{1}{2}[f(x+h)+f(x-h)]$ 成立的充要条件是 $f''(x)\geq0,x\in(a,b)$
16. 确定常数 $k$ 的取值范围，使方程 $x-\arctan x=kx^3$ 在 $(0,1]$ 内有实根
17. 设方程 $\frac{\tan x}{x}=k$ 在 $(0,\frac{\pi}{4})$ 内有实根，则常数 $k$ 的取值范围为（） A. $0<k<\frac{4}{\pi}-1$ B. $\frac{4}{\pi}-1<k<\frac{4}{\pi}$ C. $1<k<\frac{4}{\pi}$ D. $\frac{4}{\pi}-1<k<1$
18. 设 $b>0>a$，则（） A. $ae^a(e^b-1)>be^b(e^a-1)$ B. $ae^a(e^b-1)<be^b(e^a-1)$ C. $be^a(e^b-1)>ae^b(e^a-1)$ D. $be^a(e^b-1)<ae^b(e^a-1)$
19. 设 $e<a<b$，证明：$a^2<ab\frac{\ln a}{\ln b}<b^2$
20. 设 $f''(x)<0$ 且 $\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1$，证明：$f(x)\leq x$
21. 设 $f(x)>0,f''(x)$ 存在且 $f''(x)\leq0,x\in[0,+\infty)$，证明：对于任意 $x\in[0,+\infty)$，$f'(x)\geq0$