第5章 一元函数微分学的应用(一)——几何应用

基础部分

1. 函数 $y=e^x+\frac{e^{-x}}{2}$ 的最小值为
2. 若函数 $f(x)=e^{-ax}-ex$ 的极值点小于零，则常数 $a$ 的取值范围为
3. 设函数 $f(x)=\begin{cases}\cos|x|-1,&x\leq0\\x\ln x,&x>0\end{cases}$，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（） A. 可导点，极值点 B. 不可导点，极值点 C. 可导点，非极值点 D. 不可导点，非极值点
4. 已知 $x^2+ax^{-3}\geq\frac{10}{3}(x>0)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为
5. 已知函数 $y=f(x)$ 连续，其二阶导函数的图像如图所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为（） A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$
6. 设函数 $f(x)>0$ 且二阶可导，曲线 $y=\sqrt{f(x)}$ 有拐点 $(1,\sqrt{2})$，$f'(1)=2$，则 $f''(1)=$
7. 曲线 $y(x)=\ln|e^{2x}-1|$ 的斜渐近线为（） A. $y=2x+\frac{1}{e}$ B. $y=2x$ C. $y=-2x+\frac{1}{e}$ D. $y=-2x$
8. 曲线 $y=x\ln(e+\frac{1}{x})$ 的斜渐近线为（） A. $y=x+e$ B. $y=x-e$ C. $y=x+\frac{1}{e}$ D. $y=x-\frac{1}{e}$
9. 曲线 $x^2-xy+y^2=1$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率为
10. 已知曲线 $y=f(x)$ 在其点 $(0,1)$ 处的曲率圆方程为 $(x-1)^2+y^2=2$，且当 $x\to0$ 时，二阶可导函数 $f(x)$ 与 $a+bx+cx^2$ 的差为 $o(x^2)$，则（） A. $a=0,b=1,c=\frac{3}{2}$ B. $a=1,b=0,c=1$ C. $a=1,b=1,c=-1$ D. $a=1,b=0,c=-1$
11. 设在 $(-\infty,+\infty)$ 内，$f''(x)<0$，$f(0)\geq0$，则函数 $\frac{f(x)}{x}$（） A. 在 $(-\infty,0)$ 内单调减少，在 $(0,+\infty)$ 内单调增加 B. 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 内单调减少 C. 在 $(-\infty,0)$ 内单调增加，在 $(0,+\infty)$ 内单调减少 D. 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 内单调增加
12. 设 $f(x)$ 连续，且 $\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=k(k<0)$，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处（） A. 导数不存在 B. 导数存在，且 $f'(0)\neq0$ C. 取得极小值 D. 取得极大值
13. 设 $M=\max\{1,\sqrt{2},\sqrt[3]{3},\cdots,\sqrt[n]{n}\}(n>4)$，则 $M=$（） A. $\sqrt{2}$ B. $\sqrt[3]{3}$ C. $\sqrt[4]{4}$ D. $\sqrt[n]{n}$
14. 设函数 $f(x)=n^2e^{\frac{x}{n}}-(1+n)x$，若 $f(x)$ 在 $x=\xi_n$ 处取得极值，则 $\lim\limits_{n\to\infty}\xi_n=$
15. 曲线 $y=x+\frac{|\ln x|}{x}$（） A. 有铅直渐近线，也有斜渐近线 B. 有水平渐近线，也有斜渐近线 C. 有且仅有铅直渐近线 D. 有且仅有水平渐近线
16. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，$f(0)=0$，$f'(x)$ 严格单调递增，则对任意 $x\in(0,1)$，有（） A. $f(x)>f'(0)x>f(1)x$ B. $f'(0)x>f(x)>f(1)x$ C. $f(1)x>f(x)>f'(0)x$ D. $f(1)x>f'(0)x>f(x)$
17. 已知函数 $y=f(x)$ 对一切 $x$ 满足 $\sqrt[3]{x}f''(x)+xf'(x)=e^{-x}-1$，若 $f'(x_0)=0(x_0\neq0)$，则（） A. $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点 B. $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的极大值点 C. $(x_0,f(x_0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点 D. 以上结论均不正确
18. 已知函数 $f(x)=ax^3+x^2+2$ 在 $x=0$ 和 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的增减区间、极大值、极小值和拐点
19. 设 $f(x)=nx(1-x)^n(n\in N_+)$，且记 $M(n)=\max\limits_{x\in[0,1]}f(x)$，则必有（） A. $\lim\limits_{n\to\infty}M(n)=e$ B. $\lim\limits_{n\to\infty}M(n)=\frac{1}{e}$ C. $\lim\limits_{n\to\infty}M(n)=0$ D. $\lim\limits_{n\to\infty}M(n)=\infty$
20. 曲线 $y=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}$ 的渐近线的条数为（） A. $4$ B. $3$ C. $2$ D. $1$
21. 曲线 $y=\frac{2+e^{-x^4}}{1-e^{-x^4}}$（） A. 仅有斜渐近线 B. 仅有水平渐近线 C. 仅有铅直渐近线 D. 既有水平渐近线，又有铅直渐近线
22. 曲线 $y=(4+5x)e^{\frac{1}{x}}$ 的斜渐近线是
23. 曲线 $y=e^{\frac{1}{x}}\sqrt{x^2-4x+1}$ 的渐近线条数为（） A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$
24. 曲线 $x^2=y+1$ 在点 $(0,-1)$ 的曲率圆方程为

强化部分

1. 设 $f(x)=|\ln|x||$，则（） A. $x=1$ 不是 $f(x)$ 的极值点 B. $(1,0)$ 不是 $y=f(x)$ 的拐点 C. $x=-1$ 不是 $f(x)$ 的驻点 D. $x=0$ 不是 $y=f(x)$ 的渐近线
2. 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to0}\frac{[f(x)+1]x^2}{x-\sin x}=2$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程为
3. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且在点 $x=a$ 处取最小值，在点 $x=b$ 处取最大值，则（） A. $f_+'(a)\leq0,f_-'(b)\leq0$ B. $f_+'(a)\leq0,f_-'(b)\geq0$ C. $f_+'(a)\geq0,f_-'(b)\leq0$ D. $f_+'(a)\geq0,f_-'(b)\geq0$
4. 设函数 $f(x)=(x^2+a)e^x$，若 $f(x)$ 既没有极值点也没有拐点，则 $a$ 的取值范围是（） A. $[0,1)$ B. $[1,+\infty)$ C. $[1,2)$ D. $[2,+\infty)$
5. 使得 $\ln x\leq a\sqrt{x}$ 恒成立的最小正数 $a$ 为
6. 设 $e^{ax}\geq1+x$ 对任意实数 $x$ 均成立，则 $a$ 的取值范围为
7. 设函数 $f(x)=\int_{0}^{1}|t(t-x)|dt(0<x<1)$，则 $f(x)$ 的单调区间及曲线 $y=f(x)$ 的凹凸区间分别为（） A. 单调增区间 $(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$；单调减区间 $(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$；在 $(0,1)$ 内曲线为凹 B. 单调减区间 $(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$；单调增区间 $(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$；在 $(0,1)$ 内曲线为凹 C. 单调增区间 $(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$；单调减区间 $(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$；在 $(0,1)$ 内曲线为凸 D. 单调减区间 $(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$；单调增区间 $(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$；在 $(0,1)$ 内曲线为凸
8. 求函数 $f(x)=\int_{1}^{x}(x^2-t^2)\ln(1+t^2)dt$ 的极值
9. 设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，则以下结论正确的是（） A. 若 $f(0)=0,f'(0)=0$，则 $x=0$ 必不是极值点 B. 若 $f'(0)=0,f''(0)=0$，则 $x=0$ 必是极值点 C. 若 $f(0)=0,f'(0)>0$，则存在 $\delta>0$，使得 $f(x)$ 在 $(0,\delta)$ 内单调递增 D. 若 $f'(0)=0,f''(0)>0$，则存在 $\delta>0$，使得 $f(x)$ 在 $(-\delta,0)$ 内单调递减
10. 曲线 $x^3-y^3=3x^2$ 的斜渐近线方程为（） A. $x+y-1=0$ B. $x+y+1=0$ C. $x-y+1=0$ D. $x-y-1=0$
11. 设 $f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调增加，$f(0)=f'(0)=0$，则在 $[0,1]$ 上（） A. $e^xf(x)$ 单调增加，$e^{-x}f(x)$ 单调减少 B. $e^xf(x)$ 单调增加，$e^{-x}f(x)$ 单调增加 C. $e^xf(x)$ 单调减少，$e^{-x}f(x)$ 单调增加 D. $e^xf(x)$ 单调减少，$e^{-x}f(x)$ 单调减少
12. 已知函数 $y=f(x)$ 对一切 $x$ 满足 $xf''(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^{-x}$，若 $f'(x_0)=0(x_0\neq0)$，则（） A. $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的极大值 B. $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的极小值 C. $(x_0,f(x_0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点 D. $f(x_0)$ 不是函数 $f(x)$ 的极值，$(x_0,f(x_0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
13. 由 $\int_{0}^{y}e^{-\frac{t^2}{4}}dt=\frac{1}{3}(\sqrt{x}-2)^2$ 所确定的函数 $y=y(x)$（） A. 只有极大值点 $x=4$，极大值为 $0$ B. 只有极小值点 $x=4$，极小值为 $0$ C. 只有极大值点 $x=0$ D. 有极大值点和极小值点分别为 $x=0$，$x=4$
14. 设函数 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，$g'(x)>0$，则在 $(a,b)$ 上，“$\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 严格单调递增”是“$\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$ 严格单调递增”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
15. 曲线 $y=(5x-3)e^{-\frac{1}{x}}$ 有渐近线（） A. $x=0,y=5x+2$ B. $x=0,y=5x-8$ C. $x=0,y=5x-3$ D. $x=0,y=5x-2$
16. 曲线 $y=\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{e^x-1}$ 的渐近线共有（） A. $1$ 条 B. $2$ 条 C. $3$ 条 D. $4$ 条或 $4$ 条以上
17. 曲线 $r(3\theta-\pi)=1$ 的斜渐近线为（） A. $y=\sqrt{2}x-\frac{3}{2}$ B. $y=\sqrt{2}x+\frac{3}{2}$ C. $y=\sqrt{3}x-\frac{2}{3}$ D. $y=\sqrt{3}x+\frac{2}{3}$
18. 曲线 $y=x^2\ln(\sin\frac{1}{x}+\cos\frac{1}{x})$ 的斜渐近线为
19. 求曲线 $y=x^2\left[\frac{(1+\frac{1}{x})^x}{e}-1\right](x>0)$ 的斜渐近线
20. 设函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 的某邻域内连续，且有 $\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln[f(x+2)+e^{x^2}]}{1-\cos x}=4$，则 $x=2$ 是 $f(x)$ 的（） A. 不可导点 B. 驻点且是极大值点 C. 驻点且是极小值点 D. 可导点但不是驻点
21. 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其一阶导函数 $f'(x)$ 的图形如图所示，并设在 $f'(x)$ 存在处 $f''(x)$ 也存在，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为（） A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$
22. $f(x)=\frac{1}{1+|x|}+\frac{1}{1+|x-a|}(a>0)$ 的最大值为（） A. $\frac{1+a}{2+a}$ B. $\frac{2+a}{1+a}$ C. $\frac{1+2a}{2+a}$ D. $\frac{2+a}{1+2a}$
23. 设 $f'(x)$ 在区间 $[0,4]$ 上连续，曲线 $y=f'(x)$ 与直线 $x=0,x=4,y=0$ 围成如图所示的三个区域，其面积分别为 $S_1=3,S_2=4,S_3=2$，且 $f(0)=1$，则 $f(x)$ 在 $[0,4]$ 上的最大值与最小值分别为（） A. $2,-3$ B. $4,-3$ C. $2,-2$ D. $4,-2$
24. 设 $y=\tan^nx$ 在 $x=\frac{\pi}{4}$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $x_n$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}y(x_n)=$
25. 过曲线 $\frac{x^2}{4}+y^2=1(x>0,y>0)$ 任意点作该曲线的切线，切线夹在两坐标轴之间的部分为 $L$，求 $L$ 的最小长度，以及 $L$ 的长度达到最小时的切点坐标
26. 求 $f(x)=\int_{0}^{1}\ln|x-t|dt(0\leq x\leq1)$ 的最大值
27. 设 $y=y(x)$ 满足微分方程 $(xy'-2)\ln x+y=0$，$y(e)=2$ (1) 求 $y=y(x)$ 的表达式及其定义域； (2) 求函数 $y=y(x)$ 的极值
28. 设 $y=y(x)$ 满足 $(xy-1)dx+x^2dy=0$，$x>0$，$y(1)=0$，求： (1) $y=y(x)$ 的表达式； (2) 曲线 $y=y(x)$ 的拐点及渐近线
29. 曲线 $y=x\ln(2+\frac{1}{x-1})$ 的斜渐近线方程为（） A. $y=x\ln2+1$ B. $y=x\ln2+\frac{1}{2}$ C. $y=x\ln2-1$ D. $y=x\ln2-\frac{1}{2}$
30. 求曲线 $y=x^3(e^{\frac{1}{x}}+e^{-\frac{1}{x}}-2)$ 的全部渐近线
31. 设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=2e^t+t+1\\y=4(t-1)e^t+t^2\end{cases}$ 确定，求 $y=y(x)$ 在 $t=0$ 对应点处的法线方程
32. 设 $y=f(x)$ 是由方程 $x(1+y)-e^y+1=0$ 确定的隐函数，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率为
33. 设圆与曲线 $x=y^2$ 在 $(0,0)$ 处有公切线且它们关于 $y$ 的二阶导数值相同，则该圆的方程为