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第4章 一元函数微分学的计算

基础部分​

  1. 设 f(x)=x2f(x)=x^2，h(x)=f[1+g(x)]h(x)=f[1+g(x)]，其中 g(x)g(x) 可导，且 g′(1)=h′(1)=2g'(1)=h'(1)=2，则 g(1)=g(1)=（） A. −2-2 B. −12-\frac{1}{2} C. 12\frac{1}{2} D. 22
  2. 设 f(x)=(ln⁡x−1)(ln⁡2x−2)⋯(ln⁡nx−n),n≥2f(x)=(\ln x-1)(\ln^2 x-2)\cdots(\ln^n x-n),n\geq2，则 f′(e)=f'(e)=
  3. 设函数 f(x)f(x) 可导，f(0)=−1f(0)=-1，f′(0)=1f'(0)=1，若 y(x)=∣f(x−1)∣y(x)=|f(x-1)|，则 y′(1)=y'(1)=
  4. 设函数 f(x)f(x) 可导，f(1)=f′(1)=14f(1)=f'(1)=\frac{1}{4}，若 y(x)=ef(2x−1)y(x)=e^{\sqrt{f(2x-1)}}，则 y′(1)=y'(1)=（） A. e\sqrt{e} B. 14e\frac{1}{4}\sqrt{e} C. 12e\frac{1}{2}\sqrt{e} D. 2e2\sqrt{e}
  5. 已知函数 y=y(x)y=y(x) 满足 (x+y2)y′=1(x+y^2)y'=1，y(−1)=0y(-1)=0，则 dxdy∣y=0=\frac{dx}{dy}\bigg|_{y=0}=
  6. 设 y=ln⁡1−x1+x2y=\ln\sqrt{\frac{1-x}{1+x^2}}，则 y′∣x=0=y'\bigg|_{x=0}=
  7. 设 {x=t−t2tey+y+1=0\begin{cases}x=t-t^2\\te^y+y+1=0\end{cases}，则 dydx∣t=0=\frac{dy}{dx}\bigg|_{t=0}=
  8. 设函数 y=f(x)y=f(x) 由 {x=2t+∣t∣y=∣t∣tan⁡t\begin{cases}x=2t+|t|\\y=|t|\tan t\end{cases} 所确定，则在 (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) 内（） A. f(x)f(x) 连续，f′(0)f'(0) 不存在 B. f′(0)f'(0) 存在，f′(x)f'(x) 在 x=0x=0 处不连续 C. f′(x)f'(x) 连续，f′′(0)f''(0) 不存在 D. f′′(0)f''(0) 存在，f′′(x)f''(x) 连续
  9. 设可导的奇函数 f(x)f(x) 满足 f′(x)=f(2−x)f'(x)=f(2-x)，且 f(−1)=1f(-1)=1，则 f′(1)=f'(1)=
  10. 设可导函数 f(x)f(x) 满足 f′(x)=f(2−x)f'(x)=f(2-x)，且 f(0)=−1f(0)=-1，则在 x=0x=0 处的三阶导数 f′′′(0)=f'''(0)=（） A. −6-6 B. −4-4 C. 44 D. 66
  11. 已知函数 f(x)=x2ln⁡(1−x)f(x)=x^2\ln(1-x)，则当 n≥3n\geq3 时，f(n)(0)=f^{(n)}(0)=
  12. 设 f(t)=lim⁡n→∞cos⁡t⋅(n+tn−t)nf(t)=\lim\limits_{n\to\infty}\cos t\cdot\left(\frac{n+t}{n-t}\right)^n，则 f′(0)=f'(0)=
  13. 设 f(x)=lim⁡t→∞x(1+1t)tsin⁡xf(x)=\lim\limits_{t\to\infty}x\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t\sin x}，则 f′(x)=f'(x)=
  14. 设 f(x)=max⁡{x,x2},0<x<2f(x)=\max\{x,x^2\},0<x<2，则 f′(x)=f'(x)=
  15. 曲线 {x=etsin⁡2ty=etcos⁡t\begin{cases}x=e^t\sin2t\\y=e^t\cos t\end{cases} 在对应 t=0t=0 处的点的切线方程为
  16. 若 {x=ln⁡∣t∣y=e−t2\begin{cases}x=\ln|t|\\y=e^{-t^2}\end{cases}，则 d2ydx2∣t=2=\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{t=\sqrt{2}}=
  17. 已知函数 f(x)=x2ex+5f(x)=x^2e^{x+5}，则 f(5)(1)=f^{(5)}(1)=
  18. 设 f(x)=(x−1)10sin⁡xf(x)=(x-1)^{10}\sin x，则 f(10)(1)=f^{(10)}(1)=（） A. 10!⋅cos⁡110!\cdot\cos1 B. 11!⋅cos⁡111!\cdot\cos1 C. 10!⋅(−sin⁡1)10!\cdot(-\sin1) D. 11!⋅sin⁡111!\cdot\sin1

强化部分​

  1. 若 y=sin⁡(e−x)y=\sin(e^{-\sqrt{x}})，则 dydx∣x=1=\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1}=
  2. 设 f(x)f(x) 在 x=0x=0 的某邻域内具有连续导数，且 f(0)=1f(0)=1，f′(x)=12f[f(x)−1]f'(x)=\frac{1}{2}f[f(x)-1]，求 f′′(0)f''(0)
  3. 设函数 y=y(x)y=y(x) 是由方程 y3+xy+x2−2x+1=0y^3+xy+x^2-2x+1=0 确定并且满足 y(1)=0y(1)=0 的函数，则 lim⁡x→1(x−1)3∫1xy(t)dt=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x-1)^3}{\int_{1}^{x}y(t)dt}=
  4. 设函数 y=y(x)y=y(x) 由方程 arctan⁡xy=ln⁡x2+y2\arctan\frac{x}{y}=\ln\sqrt{x^2+y^2} 确定，求 dydx\frac{dy}{dx} 与 d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2}
  5. 设 y=2x+sin⁡xy=2x+\sin x，求其反函数 x=x(y)x=x(y) 的二阶导数 d2xdy2\frac{d^2x}{dy^2}
  6. 已知函数 y=y(x)y=y(x) 由 {x=arctan⁡(t+1)2t−∫1y+t2e−u2du=0\begin{cases}x=\arctan(t+1)\\2t-\int_{1}^{y+t^2}e^{-u^2}du=0\end{cases} 确定，则 dydx∣t=0=\frac{dy}{dx}\bigg|_{t=0}=
  7. 设 y=y(x)y=y(x) 由方程 x2−xy+y2=1x^2-xy+y^2=1 确定，则 d2ydx2=\frac{d^2y}{dx^2}=
  8. 设 y=y(x)y=y(x) 由方程 x=∫1y−xsin⁡2(π4t)dtx=\int_{1}^{y-x}\sin^2(\frac{\pi}{4}t)dt 确定，则 d2ydx2∣x=0=\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{x=0}=
  9. 设函数 y=y(x)y=y(x) 由 {x=t2−2t+1eysin⁡t−y+1=0\begin{cases}x=t^2-2t+1\\e^y\sin t-y+1=0\end{cases} 确定，则 d2ydx2∣t=0=\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{t=0}=
  10. 设 x=x(y)x=x(y) 由方程 y=∫1x−ycos⁡2(πt4)dty=\int_{1}^{x-y}\cos^2(\frac{\pi t}{4})dt 确定，则 lim⁡n→∞[nx(1n)−n]=\lim\limits_{n\to\infty}[nx(\frac{1}{n})-n]=
  11. 设 f(x)f(x) 在 x=0x=0 处存在二阶导数，且 lim⁡x→0f(x)+x1−cos⁡x=2\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)+x}{1-\cos x}=2，则 f′′(0)=f''(0)=
  12. 设 f′(ln⁡x)=xln⁡xf'(\ln x)=x\ln x，则 f(n)(x)=f^{(n)}(x)=
  13. 设 f(x)=ln⁡(1+x+x2)f(x)=\ln(1+x+x^2)，则 f(5)(0)=f^{(5)}(0)=
  14. 设 f(x)=1+x+x21−x+x2f(x)=\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}，则 f(4)(0)=f^{(4)}(0)=
  15. 设 f(x)=arctan⁡1+x1−xf(x)=\arctan\frac{1+x}{1-x}，整数 n≥0n\geq0，则 f(2n+1)(0)=f^{(2n+1)}(0)=
  16. 设 f(x)=∣x∣sin⁡2xf(x)=|x|\sin^2x，则使 f(n)(0)f^{(n)}(0) 存在的阶数 nn 的最大值为（） A. 11 B. 22 C. 33 D. 44