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第2章 数列极限

基础部分​

  1. lim⁡n→∞(4πarctan⁡nn+1)n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{4}{\pi}\arctan\frac{n}{n+1}\right)^{n}=（） A. e−2πe^{-\frac{2}{\pi}} B. e−π2e^{-\frac{\pi}{2}} C. π2\frac{\pi}{2} D. 2π\frac{2}{\pi}
  2. lim⁡n→∞n99n100−(n−1)100=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{99}}{n^{100}-(n-1)^{100}}=
  3. 设 {an}\{a_{n}\} 非负有界，bn=∑k=1nkan+n2b_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{a_{n}+n^{2}}，则 lim⁡n→∞1bn=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{b_{n}}=
  4. 设 x0>0x_{0}>0，xn+1=12(xn+axn)(n=0,1,2,⋯ )x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_{n}+\frac{a}{x_{n}})(n=0,1,2,\cdots)，且 a>0a>0，证明 lim⁡n→∞xn\lim\limits_{n\to\infty}x_{n} 存在，并求此极限
  5. 当 0≤x≤π20\leq x\leq\frac{\pi}{2} 时，lim⁡n→∞sin⁡nx+cos⁡nxn=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin^{n}x+\cos^{n}x}=
  6. lim⁡n→∞1+∣x∣3nn=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+|x|^{3n}}=
  7. 设数列 {xn}\{x_{n}\} 满足 xn+1=ln⁡xn+1x_{n+1}=\ln x_{n}+1，xn>0x_{n}>0，n=1,2,⋯n=1,2,\cdots，则 {xn}\{x_{n}\}（） A. 单调不减 B. 单调不增 C. 严格单调递增 D. 严格单调递减
  8. 若对于数列 {xn}\{x_{n}\}，存在常数 k(0<k<1)k(0<k<1)，使得 ∣xn+1−a∣≤k∣xn−a∣|x_{n+1}-a|\leq k|x_{n}-a|，n=1,2,⋯n=1,2,\cdots，证明 {xn}\{x_{n}\} 收敛于 aa
  9. 若对于数列 {xn}\{x_{n}\}，xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_{n})，n=1,2,⋯n=1,2,\cdots，f(x)f(x) 可导，aa 是 f(x)=xf(x)=x 的唯一解，且对任意的 x∈Rx\in R，有 ∣f′(x)∣≤k<1|f'(x)|\leq k<1，证明 {xn}\{x_{n}\} 收敛于 aa
  10. 设 an>0a_{n}>0，lim⁡n→∞bn=0\lim\limits_{n\to\infty}b_{n}=0，且 ean+an=ebne^{a_{n}}+a_{n}=e^{b_{n}}，n=1,2,⋯n=1,2,\cdots，求 lim⁡n→∞an\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}
  11. 设 c=2ln⁡(1+b)c=2\ln(1+b)，b>a>0b>a>0，且 aa 是方程 x−2ln⁡(1+x)=0x-2\ln(1+x)=0 的唯一非零解，证明 c>ac>a
  12. 设单调递减数列 {xn}\{x_{n}\} 满足 xn+1=2ln⁡(1+xn)x_{n+1}=2\ln(1+x_{n})，n=1,2,⋯n=1,2,\cdots，x1>a>0x_{1}>a>0，且 aa 是 x−2ln⁡(1+x)=0x-2\ln(1+x)=0 的唯一非零解，证明 {xn}\{x_{n}\} 收敛

强化部分​

  1. 若 {xn}\{x_{n}\}，{yn}\{y_{n}\} 满足 lim⁡n→∞xnyn=∞\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}y_{n}=\infty，则以下结论： (1) lim⁡n→∞xn=∞\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\infty 或 lim⁡n→∞yn=∞\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}=\infty； (2) lim⁡n→∞xn=∞\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\infty 且 lim⁡n→∞yn=∞\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}=\infty； ③ xnx_{n} 与 yny_{n} 中一个是无穷大量，另一个是无界量； ④当 xnx_{n} 是非零无穷小量时，lim⁡n→∞yn=∞\lim\limits_{n\to\infty}y_{n}=\infty 正确结论的个数为（） A. 11 B. 22 C. 33 D. 44
  2. lim⁡n→∞[12+16+⋯+1n(n+1)]n=\lim\limits_{n\to\infty}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\right]^{n}=
  3. 已知数列 {an}\{a_{n}\} 发散，bn=aneanb_{n}=a_{n}e^{a_{n}}，则（） A. 当 an>0a_{n}>0 时，{bn}\{b_{n}\} 收敛 B. 当 an<0a_{n}<0 时，{bn}\{b_{n}\} 收敛 C. 当 an>0a_{n}>0 时，{bn}\{b_{n}\} 发散 D. 当 an<0a_{n}<0 时，{bn}\{b_{n}\} 发散
  4. 设 an=∫01xn1−x2dxa_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}\sqrt{1-x^{2}}dx，bn=∫0π2sin⁡ntdtb_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}tdt，则极限 lim⁡n→∞[(n+1)anbn]n=\lim\limits_{n\to\infty}\left[\frac{(n+1)a_{n}}{b_{n}}\right]^{n}=（） A. 00 B. ee C. e−1e^{-1} D. +∞+\infty
  5. 设 0≤x1≤c0\leq x_{1}\leq\sqrt{c}，xn+1=c(1+xn)c+xnx_{n+1}=\frac{c(1+x_{n})}{c+x_{n}}，n∈N+n\in N_{+}，c>1c>1，证明数列 {xn}\{x_{n}\} 收敛，并求其极限值
  6. 设 x1<0x_{1}<0，xn+1=exn−1x_{n+1}=e^{x_{n}}-1，求 lim⁡n→∞(1xn−1xn+1)\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)
  7. 设数列 {xn}\{x_{n}\} 满足 0<xn<π20<x_{n}<\frac{\pi}{2}，cos⁡xn+1−xn+1=cos⁡xn\cos x_{n+1}-x_{n+1}=\cos x_{n}，n=1,2,⋯n=1,2,\cdots (1) 证明 lim⁡n→∞xn\lim\limits_{n\to\infty}x_{n} 存在并求其值； (2) 计算 lim⁡n→∞xn+1xn2\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}^{2}}
  8. 已知数列 {xn}\{x_{n}\} 满足 0<x1<π40<x_{1}<\frac{\pi}{4}，xn+1+tan⁡xn=2xnx_{n+1}+\tan x_{n}=2x_{n}，n=1,2,⋯n=1,2,\cdots (1) 证明 lim⁡n→∞xn\lim\limits_{n\to\infty}x_{n} 存在并求其值； (2) 求极限 lim⁡n→∞(1xn2−1xnxn+1)\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{x_{n}^{2}}-\frac{1}{x_{n}x_{n+1}}\right)
  9. 已知 an=∫01tn∣ln⁡t∣dta_{n}=\int_{0}^{1}t^{n}|\ln t|dt，n=1,2,⋯n=1,2,\cdots，计算 lim⁡n→∞(n2an)n\lim\limits_{n\to\infty}(n^{2}a_{n})^{n}
  10. 设数列 {an}\{a_{n}\} 的通项 an=∫0+∞dx(1+x2)na_{n}=\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^{2})^{n}}，n=2,3,⋯n=2,3,\cdots，计算 lim⁡n→∞(an+1an)ln⁡(1+e2n)\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)^{\ln(1+e^{2n})}
  11. 已知 f(x)f(x) 可导，且 ∣f′(x)∣≤1e|f'(x)|\leq\frac{1}{e}，方程 f(x)=xf(x)=x 有唯一解 x=0x=0，又 xn+1=f(xn)≠0x_{n+1}=f(x_{n})\neq0，n=1,2,⋯n=1,2,\cdots，证明：当 n→∞n\to\infty 时，xnx_{n} 是 e−n2e^{-\frac{n}{2}} 的高阶无穷小